Bài tập Bất phương trình mũ lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Ta có 5^x + 5^x+1 + 5^x+2 < 2^x + 2^x+1 + 2^x+2

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: 2^x > 6 ⇔ x > log₂6

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (log₂6; \( + \infty \)).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: 3^x < 2 ⇔ x < log₃2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (–\(\infty \); log₃2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

2^2x < 2^x+6 ⇔ 2x < x + 6 (do 2 > 1)

⇔ 2x – x < 6 ⇔ x < 6.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (–\(\infty \); 6).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: 5^x+2 < \({\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{ - x}}\) ⇔ 5^x+2 < (25^–1)^–x ⇔ 5^x+2 < 25^x

⇔ 5^x+2 < (5²)^x ⇔ 5^x+2 < 5^2x

Vì a = 5 > 1 ⇒ x + 2 < 2x ⇔ x – 2x < –2 ⇔ –x < –2 ⇔ x > 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (2; \( + \infty \)).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: 3^x < e^x

Chia cả hai vế của bất phương trình cho e^x > 0, ta được:

\(\frac{{{3^x}}}{{{e^x}}}\) < 1 ⇔ \({\left( {\frac{3}{e}} \right)^x}\) < 1 ⇔ \({\left( {\frac{3}{e}} \right)^x}\) < \({\left( {\frac{3}{e}} \right)^0}\).

Vì a = \(\frac{3}{e}\) > 1 ⇒ x < 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (–\(\infty \); 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.               d) Đúng.

a) Sai. Thay x = \(\frac{1}{2}\) vào vế trái của bất phương trình (1), ta có:

\({25^{\frac{1}{2}}}\) – 6 ⋅ \({5^{\frac{1}{2}}}\) + 5 = \(\sqrt {25} \) – 6\(\sqrt 5 \) + 5 = 5 – 6\(\sqrt 5 \) + 5 = 10 – 6\(\sqrt 5 \)

Vì 10 = \(\sqrt {100} \) < 6\(\sqrt 5 \) = \(\sqrt {180} \) ⇒ 10 – 6\(\sqrt 5 \) < 0. Do đó, mệnh đề sai.

b) Đúng. Thay x = –1 vào vế trái của bất phương trình (1), ta có:

25^–1 – 6 ⋅ 5^–1 + 5 = \(\frac{1}{{25}}\) – \(\frac{6}{5}\) + 5 = \(\frac{{96}}{{25}}\) > 0

Vậy x = –1 là một nghiệm của bất phương trình (1).

c) Đúng. Ta có: 25^x – 6 ⋅ 5^x + 5 ≥ 0 ⇔ (5²)^x – 6 ⋅ 5^x + 5 ≥ 0.

Với t = 5^x (t > 0) ⇒ (1) trở thành t² – 6t + 5 ≥ 0.

d) Đúng. Theo câu c), ta có: t² – 6t + 5 ≥ 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}t \le 1\\t \ge 5\end{array} \right.\); kết hợp với điều kiện t > 0

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}0 < t \le 1\\t \ge 5\end{array} \right.\)

- Với t ≤ 1 ⇒ 5^x ≤ 5⁰ ⇔ x ≤ 0.

- Với t ≥ 5 ⇒ 5^x ≥ 5¹ ⇔ x ≥ 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là S = (–\(\infty \); 0] ∪ [1; \( + \infty \)).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                b) Sai.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: 16^x < \(\frac{1}{4}\) ⇔ 2^4x < 2^–2. Vì a = 2 > 1

⇒ 4x < – 2 ⇔ x < \( - \frac{1}{2}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\).

b) Sai. Ta có: 5^x–1 ≥ \({\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^x}\) ⇔ 5^x–1 ≥ (5^–2)^x ⇔ 5^x–1 ≥ 5^–2x.

Vì a = 5 > 1 ⇒ x – 1 ≥ –2x ⇔ x + 2x ≥ 1 ⇔ 3x ≥ 1 ⇔ x ≥ \(\frac{1}{3}\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = \(\left[ {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\)

⇒ Bất phương trình không có nghiệm lớn nhất.

c) Sai. Ta có: (0,3)^x–2 ≤ 3. Vì 0 < a = 0,3 < 1

⇒ x – 2 ≥ log_0,33 ⇔ x ≥ 2 + log_0,33

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [2 + log_0,33; +\(\infty \))

⇒ Bất phương trình không có nghiệm lớn nhất.

d) Đúng. Ta có: 2 ⋅ 7^x+2 > 9 ⇔ 7^x+2 > \(\frac{9}{2}\). Vì a = 7 > 1

⇒ x + 2 > \({\log _7}\left( {\frac{9}{2}} \right)\) ⇔ x > – 2 + \({\log _7}\left( {\frac{9}{2}} \right)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = \(\left( { - 2 + {{\log }_7}\left( {\frac{9}{2}} \right); + \infty } \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                b) Đúng.          c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Ta có: \({\left( {\frac{1}{9}} \right)^x}\) ≥ 27 ⋅ 3^x ⇔ 3^–2x ≥ 3³ ⋅ 3^x ⇔ 3^–2x ≥ 3^3+x.

⇒ Bất phương trình có chung tập nghiệm với 3^–2x ≥ 3^3+x.

b) Đúng. Theo câu a), bất phương trình có chung tập nghiệm với 3^–2x ≥ 3^3+x

Vì a = 3 > 1

⇒ –2x ≥ 3 + x ⇔ –2x – x ≥ 3 ⇔ –3x ≥ 3 ⇔ x ≤ –1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (–\(\infty \); –1] ⇒ b = –1.

c) Đúng. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (3x + 2)\) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (3x + 2) = - \infty \).

d) Sai. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to b} (3x + 2)\) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} (3x + 2)\) = 3×(–1) + 2 = –1 ≠ 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.                   b) Đúng.           c) Sai.                   d) Đúng.

a) Sai. Ta có: \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 32\) ⇔ (2^–1)^x > 2⁵ ⇔ 2^–x > 2⁵. Vì a = 2 > 1

⇒ –x > 5 ⇔ x < –5

Xét bất phương trình 2^x < 32, ta có: 2^x < 2⁵. Vì a = 2 > 1 ⇒ x < 5

Vậy mệnh đề a sai.

b) Đúng. Theo câu a), ta có nghiệm của bất phương trình (1) là:

x < –5 ⇔ x + 5 < –5 + 5 ⇔ x + 5 < 0

Vì a = 2 > 1 ⇒ 2^x+5 < 2⁰ ⇔ 2^x+5 < 1

Vậy bất phương trình (1) tương đương với 2^x+5 < 1.

c) Sai. Xét bất phương trình 2^x > \(\frac{1}{{32}}\) ⇔ 2^x > 2^–5. Vì a = 2 > 1 ⇒ x > –5.

⇒ Mệnh đề c) sai.

d) Đúng. Vì nghiệm của bất phương trình là x < –5 ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S = (–\(\infty \); –5).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                   b) Sai.            c) Sai.                 d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2.

b) Sai. Ta có: \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{x - 2}}}}\) ≥ 1 ⇔ \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{x - 2}}}}\) ≥ \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^0}\)

⇔ \(\frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{x - 2}}\) ≤ 0 (do 0 < \(\frac{1}{3}\) < 1)

c) Sai. Theo câu b), ta có: \(\frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{x - 2}}\) ≤ 0 ⇔ \(\frac{{(x - 1)(x - 4)}}{{x - 2}}\) ≤ 0

Gọi f(x) = \(\frac{{(x - 1)(x - 4)}}{{x - 2}}\) ≤ 0 với x ≠ 2, ta có:

⇒ f(x) ≤ 0 ⇔ x ≤ 1 hoặc 2 < x ≤ 4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (\( - \infty \); 1] ∪ (2; 4].

d) Đúng. Theo câu c, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (\( - \infty \); 1] ∪ (2; 4]

⇒ Các số nguyên dương thuộc tập nghiệm là: x = 1; x = 3; x = 4

Vậy bất phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm nguyên dương.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

Ta có: \({3^{{x^2} - 4x - 7}} < \frac{1}{9}\) ⇔ \({3^{{x^2} - 4x - 7}} < {3^{ - 2}}\). Vì a = 3 > 1 ⇒ x² – 4x – 7 < –2

⇔ x² – 4x – 7 + 2 < 0 ⇔ x² – 4x – 5 < 0 ⇔ –1 < x < 5 ⇔ x ∈ (–1; 5)

Vì x ∈ ℤ nên x ∈ {0; 1; 2; 3; 4}

Vậy số phần tử của S bằng 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Ta có: \(\frac{{64}}{{{2^{x - 2}}}} \ge {4^{\frac{x}{2}}}\) ⇔ 64 ≥ \({\left( {{2^2}} \right)^{\frac{x}{2}}}\) ⋅ 2^x–2

⇔ 64 ≥ 2^x ⋅ 2^x–2 ⇔ 2⁶ ≥ 2^2x–2. Vì a = 2 > 1

⇒ 6 ≥ 2x – 2 ⇔ 6 + 2 ≥ 2x ⇔ 8 ≥ 2x ⇔ x ≤ 4.

⇒ Nghiệm nguyên dương của bất phương trình là: x ∈{1; 2; 3; 4}

Vậy số nghiệm nguyên dương của bất phương trình là 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1,11

Ta có: 25^x – 5^{1+ x} – 6 ≥ 0 ⇔ 5^2x – 5 ⋅ 5^x – 6 ≥ 0 ⇔ \({({5^x})^2}\) – 5 ⋅ 5^x – 6 ≥ 0

Đặt t = 5^x (t > 0)

⇒ t² – 5t – 6 ≥ 0 ⇔ (t – 6)(t + 1) ≥ 0.

Vì t > 0 ⇒ t + 1 > 1 > 0

Do đó: t – 6 ≥ 0 ⇔ t ≥ 6

Thay t = 5^x ta được 5^x ≥ 6. Vì a = 5 > 1 ⇒ x ≥ log₅6.

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S = [log₅6; \( + \infty \))

⇒ a = log₅6 ≈ 1,11

Vậy giá trị của a ≈ 1,11.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta có: \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge \frac{1}{{125}}\) ⇔ \({\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge {\left( {\frac{1}{5}} \right)^3}\)⇔ x² – 2x ≤ 3 (do 0 < \(\frac{1}{5}\) < 1)

⇔ x² – 2x – 3 ≤ 0 ⇔ –1 ≤ x ≤ 3

⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S = [–1; 3] ⇒ a = –1; b = 3

Vậy P = a + b = –1 + 3 = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Ta có: 7^x – 7^2–x < 48 ⇔ 7^x – \(\frac{{{7^2}}}{{{7^x}}}\) < 48 ⇔ 7^x – \(\frac{{49}}{{{7^x}}}\) < 48

Đặt t = 7^x (t > 0)

⇒ t – \(\frac{{49}}{t}\) < 48. Nhân cả hai vế của bất phương trình với t > 0, ta được:

t² – 49 < 48t ⇔ t² – 48t – 49 < 0 ⇔ –1 < t < 49, kết hợp với t > 0

⇒ 0 < t < 49

Thay t = 7^x: 0 < 7^x < 49.

Vì 7^x > 0 với mọi x ⇒ 7^x < 49 ⇔ 7^x < 7² ⇔ x < 2 (do a = 7 > 1)

⇒ Nghiệm nguyên dương của bất phương trình là: x = 1

Vậy số nghiệm nguyên dương của bất phương trình là 1.