Trắc nghiệm Bài tập nâng cao Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức A về dạng $\mathrm{A}=\sqrt{{\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^2+\mathrm{a}}$

Bước 2: Đánh giá và tìm giá trị nhỏ nhất của A

Lời giải

Ta có: $\mathrm{A}=\sqrt{\frac{{\mathrm{x}}^2}{9}+2\mathrm{x}+10}$$=\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{x}}{3}\right)}^2+2.\frac{\mathrm{x}}{3}.3+3^2+1}$$=\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{x}}{3}+3\right)}^2+1}$

Vì ${\left(\frac{\mathrm{x}}{3}+3\right)}^2\ge 0,\forall \mathrm{x}$ $\Rightarrow \sqrt{{\left(\frac{\mathrm{x}}{3}+3\right)}^2+1}\ge \sqrt{1}=1,\forall \mathrm{x}$

Suy ra, ${\mathrm{A}}_{\min }$ = 1$\iff {\left(\frac{\mathrm{x}}{3}+3\right)}^2=0\iff \mathrm{x}=-9$

Vậy cần điền vào chỗ chấm để ${\mathrm{A}}_{\min }$ = 1 khi x = −9

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức A về dạng: $\mathrm{A}=\sqrt{\mathrm{b}-{\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\right]}^2}$

Bước 2: Đánh giá và tìm giá trị lớn nhất của A

Lời giải

Vậy cần điền vào chỗ chấm: A_max = 3 khi a = −2

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức trong căn về hằng đẳng thức ${\left(\mathrm{A}\pm \mathrm{B}\right)}^2$

Bước 2: Khai căn, tính giá trị của biểu thức A

Lời giải

Đáp án A

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức trong căn về hằng đẳng thức ${\left(\mathrm{A}\pm \mathrm{B}\right)}^2$

Bước 2: Khai căn, tính giá trị của biểu thức A

Lời giải

Ta có:

Đáp án C

Hướng dẫn

Bước 1: Khai căn

Bước 2: Thu gọn A

Lời giải

Ta có:

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức trong căn về hằng đẳng thức  

Bước 2: Khai căn, thu gọn A

Lời giải

Hướng dẫn

Bước 1: Tìm điều kiện có nghĩa của căn thức

Bước 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

Bước 3: Tìm x

Lời giải

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {4; 49}

Vậy cần điền vào chỗ chấm là 4 hoặc 49.

Hướng dẫn

Bước 1: Tìm điều kiện để bất phương trình có nghĩa

Bước 2: Xét trường hợp x < 0

Bước 3: Giải bất phương trình với $\mathrm{x}\ge 0$

Bước 4: Kết luận tập nghiệm

Lời giải

Vậy nghiệm của bất phương trình là −1 < x < 2

Vậy số cần điền là −2 và 2

Hướng dẫn

Bước 1: Tìm điều kiện để $\sqrt{\mathrm{A}}$ có nghĩa

Bước 2: Giải bất phương trình 

Lời giải

Khi đó, giá trị nguyên của x tìm được là x = 1.

Vậy số cần điền là 1

Điều kiện xác định của $\sqrt{-{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-1}$ là:

$\begin{array}{l}-{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-1\ge 0\\ \iff -{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2\ge 0\\ \iff {\left(\mathrm{x}-1\right)}^2\le 0\left(1\right)\end{array}$

Mà ${\left(\mathrm{x}-1\right)}^2\ge 0\forall \mathrm{x}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra x – 1 = 0 $\iff$ x = 1

Vậy số cần điền là 1.

Đáp án D

Hướng dẫn

Với mọi số a, ta có: $\sqrt{{\mathrm{a}}^2}=\left|\mathrm{a}\right|$

Lời giải

$\begin{array}{l}\sqrt{{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2}=3\\ \iff \left|\mathrm{x}-1\right|=3\\ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}-1=3\\ \mathrm{x}-1=-3\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=4\\ \mathrm{x}=-2\end{array}\right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {4; −2}.

Đáp án A

Ta có:

$\sqrt{{\mathrm{a}}^8{\mathrm{b}}^3}$ có nghĩa $\iff {\mathrm{a}}^8{\mathrm{b}}^3\ge 0$

Mà ${\mathrm{a}}^8\ge 0,\forall \mathrm{a}$ nên ${\mathrm{a}}^8{\mathrm{b}}^3\ge 0\iff {\mathrm{b}}^3\ge 0\iff \mathrm{b}\ge 0$

Vì $\sqrt{2}-1>0$ nên ta có $\sqrt{2}-1=\sqrt{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}$$=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2.\sqrt{2}.1+1^2}$$=\sqrt{3-2\sqrt{2}}$

Vậy số cần điền là 3

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng ${(\mathrm{a} + \mathrm{b})}^2$

Bước 2: Vận dụng: Với mọi số a, ta có $\sqrt{{\mathrm{a}}^2}=\left|\mathrm{a}\right|$

Lời giải

Ta có: $\sqrt{8-2\sqrt{15}}$$=\sqrt{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-2.\sqrt{5}.\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}$$=\sqrt{{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}^2}=\left|\sqrt{5}-\sqrt{3}\right|$

$=\sqrt{5}-\sqrt{3}$ (vì $\sqrt{5}>\sqrt{3}$)

Vậy số cần điền là 3

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng ${(\mathrm{a} + \mathrm{b})}^2$

Bước 2: Vận dụng: Với mọi số a, ta có $\sqrt{{\mathrm{a}}^2}=\left|\mathrm{a}\right|$

Lời giải

Ta có:

$\sqrt{5+2\sqrt{6}}$$=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2.\sqrt{2}.\sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}$$=\sqrt{{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2}=\left|\sqrt{2}+\sqrt{3}\right|$$=\sqrt{2}+\sqrt{3}$

Vậy số cần điền là 2

Đáp án B

Ta có: $\sqrt{4-{\mathrm{a}}^2}$ có nghĩa khi 4 – ${\mathrm{a}}^2$$\ge 0$

$\begin{array}{l}\iff {\mathrm{a}}^2\le 4\\ \iff \left|\mathrm{a}\right|\le 2\\ \iff -2\le \mathrm{a}\le 2\end{array}$

Đáp án C

$\sqrt{{\mathrm{a}}^2-1}$ có nghĩa khi ${\mathrm{a}}^2-1\ge 0$

$\begin{array}{l}\iff {\mathrm{a}}^2\ge 1\\ \iff \left|\mathrm{a}\right|\ge 1\end{array}$

$\iff \mathrm{a}\ge 1$ hoặc $\mathrm{a}\le -1$