Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 3)
10 câu hỏi
a) Rút gọn biểu thức A=28+63−27
a) Rút gọn biểu thức A=28+63−27
Ta có :
A=28+63−27=4.7+9.7−27=27+37−27=37
Vậy A=37
b) Chứng minh rằng xy+yxxy:1x−y=x−yvới x>0,y>0và x≠y
b) Với x>0,y>0 và x≠y ta có :
VT=xy+yxxy:1x−y=xy.x+yxy.x−y1=x+yx−y=x−y=VP(dfcm)
a) Giải hệ phương trình x−2y=52x−y=7
a) x−2y=52x−y=7⇔x−2y=5−4x+2y=−14⇔−3x=−9y=2x−7⇔x=3y=−1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x;y=3;−1
b) Cho hàm số y=−14x2 có đồ thị P và đường thẳng d:y=12x−2 . Vẽ đồ thị P và tìm tọa độ giao điểm của P với đường thẳng d bằng phép tính
b) Vẽ đồ thị hàm số y=−14x2
Ta có bảng giá trị
x−4−2024y=−14x2−4−10−1−4
Vậy đồ thị hàm số P:y=−14x2 là đường cong đi qua các điểm −4;−4; −2;−1;0;0;2;−1;4;−4
Đồ thị hàm số
Phương trình hoành độ giao điểm của d và P là :
−14x2=12x−2⇔x2+2x−8=0
Phương trình có Δ'=−12+8=9>0⇒Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=−1+9=2⇒y=−1x2=−1−9=−4⇒y=−4
Vậy đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt 2;−1và −4;−4
Cho phương trình x2−m+2x+m+1=01 ( m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = -3
a) Khi m = -3 phương trình (1) trở thành x2+x−2=0
Vì a+b+c=1+1−2=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
x=1x=ca=−2.
Vậy khi m = -3thì phương trình có tập nghiệm S=1;−2
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi số thực m
b) Ta có : hệ số của x2 là 1 ≠0 nên phương trình (1) là phương trình bậc hai một ẩn
Lại có Δ=m+22−4m+1=m2+4m+4−4m−4=m2≥0(với mọi m)
Do đó phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi số thực m
c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền là h=25
c) Phương trình (1) có Δ=m+22−4m+1=m2+4m+4−4m−4=m2
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thì Δ>0⇔m≠0
Khi đó, áp dụng định lý Viet ta có : x1+x2=−ba=m+2x1x2=ca=m+1
Do hai nghiệm phân biệt x1,x2 là độ dài hai cạnh góc vuông nên ta có x1,x2>0 suy ra : x1+x2>0x1x2>0⇔m+2>0m+1>0⇔m>−1
Vì x1,x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền h=25 nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
1x12+1x22=1252⇔x12+x22x12x22=54⇔x1+x22−2x1x2x12x22=54⇔4.m+22−2m+1=5m+12⇔4m2+8m+8=5m2+10m+5⇔m2+2m−3=0
Ta có : a+b+c=1+2+−3=0 nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
m1=1(tm)m2=ca=−3(ktm)
Vậy m = 1là giá trị cần tìm.
Cho đường tròn O;R và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn O tại hai điểm A,B .Trên tia đối của tia BA lấy một điểm M qua M kẻ hai tiếp tuyến MC và MD với đường tròn O(C, là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB
a) Chứng minh rằng tứ giác OMCH nội tiếp được trong một đường tròn
a) Vì H là trung điểm của ABgt⇒OH⊥AB (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)⇒∠OHM=90°
Xét tứ giác OMCHcó ∠OHM=∠OCM=90°⇒OMCHlà tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau)
b) OM cắt đường tròn Otại I và cắt CD tại K. Chứng minh OK.OM=R2
b) Vì MC = MD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)⇒M thuộc trung trực của CD
OC=OD=R nên O thuộc trung trực của CD⇒OM là trung trực của CCD
⇒OM⊥CD tại K
Xét tam giác OMD vuông tại D có đường cao DK ta có :
OD2=OK.OM=R2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
c) Đường thẳng qua O vuông góc OM với cắt các tia MC, MD lần lượt tại P và Q. Tính độ dài OM theo R sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất
c) Ta có : MO là phân giác của ∠PMQ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
MO là đường cao của ΔPMQdoPQ⊥OMgt
⇒ΔMPQ cân tại M (tam giác có đường cao đồng thời là đường phân giác)
⇒MO đồng thời là trung tuyến của ΔMPQ⇒O là trung điểm của PQ
⇒OP=12PQ . Ta có : SΔMPQ=12.MO.PQ=OM.OP
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác OMP vuông tại O có đường cao OC ta có :
1OM2+1OP2=1OC2=1R2
Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương 1OM2và 1OP2 ta có :
1OM2+1OP2≥2OM.OP=2SΔMPQ⇒1R2≥2SMPQ⇔SΔMPQ≥2R2
Dấu "="xảy ra ⇔OM=OP2OM2=1R2⇔OM=OPOM=R2
Vậy SΔMPQđạt giá trị nhỏ nhất bằng 2R2 khiOM=R2
