Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 24)
6 câu hỏi
Giải phương trình :135−x+18x+8=61+x+35−xx+8
ĐKXĐ: 5−x≥0x+8≥0⇔−8≤x≤5
135−x+18x+8=61+x+35−xx+81
Đặt a=5−x,a≥0
(1) trở thành : 13a+1813−a2=61+5−a2+3a13−a2
⇔313−a26−a=−a2−13a+66⇔913−a26−a2=a2+13a−662⇔913−a2a2−12a+36=a4+26a3+37a2−1716a+4356⇔10a4−82a3+244a2−312a+144=0⇔a−2a−310a2−32a+24=0⇔a=2a=3a=65⇔x=1x=−4x=8925
Cả 3 nghiệm thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình có tập nghiệm S=−4;1;8925
Giải hệ phương trình : x4+y4+6x2y2=1xx+y4=x−y
TH1: x=0⇒y=0(loại)
Th2: x≠0
Suy ra x4+y4+6x2y2=1(1)x4+y4+6x2y2+4xyx2+y2=1−yx(2)
Lấy (2) - (1) ta được : 4xyx2+y2=−yx
⇔y=04x2x2+y2=−1
Với y = 0 thay vào phương trình (1) ⇒x4=1⇔x=±1
Với 4x2x2+y2=−1 (phương trình vô nghiệm do vế trái của phương trình luôn không âm)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm x;y∈−1;0,1;0
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất, biết rằng khi chia n cho 7, 9, 11, 13 ta nhận được các số dư tương ứng 3, 4, 5, 6
Vì n chia 7 dư 3 nên 2n chia 7 dư 6
Vì n chia 9 dư 4 nên 2n chia 9 dư 8
Vì n chia 111dư 5 nên 2n chia 11 dư 10
Vì n chia 13 dư 6 nên 2n chia 13 dư 12
⇒2n+1 chia hết cho 7,9,11,13
Mà n là số tự nhiên nhỏ nhất nên 2n+1=BCNN7;9;11;13
⇒2n+1=7.9.11.13⇒n=4504
Cho tam giác nhọn ABC có điểm P nằm trong tam giác (P không nằm trên các cạnh). Gọi I, K, L lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác PBC,PCA,PABa) Chứng minh rằng ∠BJC+∠CKA+∠ALB=450°
a)
Ta có : ∠BJC=180°−12∠PBC+∠PCB,∠CKA=180°−12∠PAC+∠PCA∠ALB=180°−12∠PAB+∠PBA⇒∠BJC+∠CKA+∠ALB=540°−12.180°=450°
b) Giả sử PB = PC và PC<PA.Gọi X, Y, Z lần lượt là hình chiếu vuông góc của I, K, L trên các cạnh BC, CA, AB. Dựng hình bình hành XYWZ . Chứng minh rằng W nằm trên phân giác ∠BAC
b) Kẻ BM//XYM∈AC,CN//XZN∈AB
Vì X là trung điểm của BC⇒Y là trung điểm của MC
Suy ra W là trung điểm của MN(1)
Mặt khác Y là trung điểm của MC⇒AM=AC−2CY
=AC−AC+CP−AP (vì K là tâm đường tròn nội tiếp ΔACP)
=AP−CP
Tương tự AN=AP−BP mà BP=CP⇒AM=AN⇒ΔAMNcân tại A (2)
Từ (1) và (2), suy ra AW là phân giác của ∠BAC
Cho tập A=1;2;3;....;2021 . Tìm số nguyên dương k lớn nhất k>2 sao cho ta có thể chọn được k số phân biệt từ tập A mà tổng của hai số phân biệt bất kỳ trong k số được chọn không chia hết cho hiệu của chúng .
Gọi B là tập con của tập A thỏa mãn hai phần tử bất kỳ của B có tổng không chia hết cho hiệu
Dễ thấy trong 3 số tự nhiên liên tiếp ta chỉ có thể chọn 1 phần tử vào B . Thật vậy
Với 3 số x,x+1,x+2 nếu có 2 phần tử trong B thì :
x+x+2=2x+2chia hết cho x+2−x=2
x+x+1=2x+1 chia hết cho x+1−x=1
x+1+x+2=2x+3 chia hết cho x+2−x+1=1
Với cách xây dựng tập B như vậy thì số phần tử của B không thể lớn hơn 20213+1=674
Tập B=1;4;7;.....;2020 có 674 phần tử thỏa mãn yêu cầu bài toán
Vậy giá trị lớn nhất của k là 674
