Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 23)
9 câu hỏi
Cho hai biểu thức A=xx+3 và B=2xx−3−3x+9x−9x≥0x≠9
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x= 16
a) Thay x=16(tmdk)⇒A=1616+3=44+3=47
Vậy khi x = 16 thì A=47
b) Chứng minh A+B=3x+3
b) Điều kiện :x≥0,x≠9
A+B=xx+3+2xx−3−3x+9x−9=x.x−3+2x.x+3−3x−9x+3x−3=x−3x+2x+6x−3x−9x+3x−3=3x−9x+3x−3=3x−3x+3x−3=3x+3(dfcm)
a) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một tổ sản xuất phải làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đó đã làm được nhiều hơn 100 bộ đồ bảo hộ y tế so với số bộ đồ bảo hộ y tế phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 8 ngày trước khi hết thời hạn, tổ sản xuất đã làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế đó. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu bộ đồ bảo hộ y tế ? (Giả định rằng số bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ đó làm xong trong mỗi ngày là bằng nhau).
a) Gọi số đồ bảo hộ y tế tổ sản xuất phải làm trong 1 ngày theo kế hoạch :xx∈ℕ*
⇒Thời gian theo kế hoạch tổ sản xuất làm xong 4800 bộ đồ : 4800x (ngày)
Thực tế mỗi ngày, tổ đó làm được số bộ đồ bảo hộ y tế: x + 100 (bộ)
⇒Thời gian thực tế tổ sản xuất làm xong 4800 bộ đồ là 4800x+100 (ngày)
Theo đề bài, tổ sản xuất đã làm xong 4800 bộ đồ trước 8 ngày so với kế hoạch nên ta có phương trình : 4800x−4800x+100=8
⇔4800x+100−4800x=8xx+100⇔600x+100−600x=xx+100⇔x2+100x−60000=0
Phương trình Δ'=502+60000=62500>0 có nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1=−50+62500=200(tm)x2=−50−62500=−300(ktm)
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày tổ sản xuất phải làm 200 bộ đồ bảo hộ y tế
b) Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao 1,6 m và bán kính đáy 0,5 m . Người ta sơn toàn bộ phía ngoài mặt xung quanh của thùng nước này (trừ hai mặt đáy). Tính diện tích bề mặt được sơn của thùng nước (lấy π≈3,14)
b) Thùng nước hình trụ có chiều cao h = 1,6 cm và bán kính đáy R = 0,5 m
Diện tích bề mặt được sơn của thùng nước : 2πRh=2.3,14.0,5.1,6=5,024m2
Vậy diện tích bề mặt được sơn của thùng nước là 5,024m2
a) Giải hệ phương trình 3x+1−2y=−15x+1+3y=11
a) ĐKXĐ: x≠−1 , Đặt 1x+1=t, hệ phương trình trở thành 3t−2y=−15t+3y=11
Ta có :
3t−2y=−15t+3y=11⇔9t−6y=−310t+6y=22⇔19t=193t−2y=−1⇔t=1y=2
Với t=1⇒1x+1=1⇔x=0
Vậy hệ phương trình có nghiệm x;y=0;2
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol P:y=x2và đường thẳng d:y=2x+m−2. Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1;x2 sao cho x1−x2=2
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)
x2=2x+m−2⇔x2−2x−m+2=0*
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2⇒Phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt x1,x2
⇔Δ'>0⇔1+m−2>0⇔m−1>0⇔m>1
Khi đó, theo định lý Vi-et ta có : x1+x2=2x1x1=−m+2. Theo giả thiết:
x1−x2=2⇔x1−x22=4⇔x12+x22−2x1x2=4⇔x1+x22−4x1x2=4⇔4−4−m+2=4⇔m=2(tm)
Vậy m = 2
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm C, bán kính CA. Từ điểm B kẻ tiếp tuyến BM với đường tròn (C; CA) (M là tiếp điểm, M và A nằm khác phía đối với đường thẳng BC)
a) Chứng minh bốn điểm A, C, M và B cùng thuộc một đường tròn
a)
Ta có : tam giác ABC vuông tại A nên ∠BAC=90°
MB là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA) nên ∠CMB=90° (định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn)
Xét tứ giác ACMB ta có : ∠CAB+∠CMB=90°+90°=180°
⇒ACMB là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°
Hay bốn điểm A, C, M, B cùng thuộc một đường tròn (đpcm)
b) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng AB (N khác A, N khác B). Lấy điểm P thuộc tia đối của tia MB sao cho MP = AN. Chứng minh tam giác CPN là tam giác cân và đường thẳng AM đi qua trung điểm của đoạn thẳng NP
b) 
Với các số thực a và b thỏa mãn a2+b2=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3a+b+ab
Ta có :
a+b2=a2+b2+2ab=2+2ab⇒ab=a+b2−22=12a+b2−1
Khi đó ta có: P=3a+b+ab=3a+b+12a+b2−1
P=12a+b2+6a+b+9−112⇒P=12a+b+32−112
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
a+b2≤2a2+b2=2.2=4⇒−2≤a+b≤2
⇒−1≤a+b+3≤5⇒−5≤12a+b+32−112≤7⇔Pmin=−5
Dấu "="xảy ra khi và chỉ khi a2+b2=2a=ba+b=−2⇔a=b=−1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng −5⇔a=b=−1
