Tổng hợp đề thi chính thức vào 10 môn Toán năm 2021 có đáp án (Phần 1) (Đề 20)

a) ĐKXĐ: x≥0x−x≠0x−1≠0x−12≠0⇔x>0x≠1

A=1x−x+1x−1:x+1x−12=1+xxx−1.x−12x+1=x−1x

Vậy với x>0,x≠1ta có : A=x−1x

b) A>0⇔x−1x>0⇒x−1>0  do  x>0⇒x>1⇔x>1

Kết hợp với điều kiện ta được x>1thỏa mãn

Vậy x>1thì A>0

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

x2=m2−4x+m2−3⇔x2−m2−4x−m2+3=01

Thay m = 0 vào phương trình trên ta được phương trình: x2+4x+3=0

Ta có Δ'=4−3=1>0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt :

x1=−2+1=−1,x2=−2−1=−3

x1=−1⇒y1=1;x2=−3⇒y2=9

Vậy khi m = 0 thì (d) cắt (P) tại hai điểm −1;1,−3;9

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d), (P) là :

x2−m2−4x−m2+3=01

Đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt ⇔1có hai nghiệm phân biệt⇔Δ>0⇔m2−42−4−m2+3>0⇔m4−8m2+16+4m2−12>0⇔m4−4m2+4>0⇔m2−22>0⇔m2−2≠0⇔m≠±2

Vậy với m≠±2 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Gọi số sản phẩm phân xưởng I phải làm theo kế hoạch là x (sản phẩm) x∈ℕ*

⇒số sản phẩm phân xưởng II làm theo kế hoạch là 300 - x (sản phẩm)

Vì khi thực hiện thì phân xưởng I vượt mức 10% so với kế hoạch nên số sản phẩm phân xưởng I làm được là : x+x.10%=x+0,1x=1,1x (sản phẩm)

Phân xưởng II vượt mức 20% so với kế hoạch nên số sản phẩm phân xưởng 2 làm được là : 300−x+300−x.20%=300−x.1,2(sản phẩm)

Tổng số sản phẩm cả hai phân xưởng làm được là 340 sản phẩm nên ta có phương trình : 1,1x+300−x.1,2=340⇔x=200(tm)

Vậy phân xưởng I cần làm 200 sản phẩm và phân xưởng II cần làm 300−200=100 sản phẩm

a) Do H là trung điểm của AB nên OH⊥AB(tính chất đường kính – dây cung)

Xét tứ giác MDOH có: ∠MHO+∠MDO=90°+90°=180°

⇒Tứ giác MDOH nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)

Vậy các điểm M,D, O,H cùng nằm trên một đường tròn

b) Do MC, MD là hai tiếp tuyến của (O) nên MO là phân giác của ∠CMD  hay  MI là phân giác của ∠CMD1

OI là phân giác của ∠COD hay ∠COI=∠DOI⇒CI=DI⇒∠ICM=∠ICD

Suy ra CI là phân giác của ∠MCD2

Từ 1,2⇒I là giao điểm của các đường phân giác của ∆MCD

⇒Ilà tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD(đpcm)

c) Ta có : SMPQ=12MO.PQ=12MO.2.OP=MO.OP
Mà ΔMCO∽ΔMOP(g.g)⇒MOMP=COOP⇒MO.OP=MP.CO

⇒SMPQ=MP.CO=MC+CP.CO≥2MC.CP.CO

Dấu "="xảy ra ⇔MC=CP⇔ΔMOPvuông cân

⇔∠PMO=45°⇔∠CMD=90°

⇔MCOD là hình vuông cạnh R⇔MO=R2

Vậy diện tích tam giác MQP bé nhất khi MO=R2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x4 và yz ta có : x4+yz≥2x4zy=2x2yz

Tương tự : y4+xz≥2y2xzz4+xy≥2z2xy

⇒x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤x22x2yz+y22y2xz+z22z2xy⇔ x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤121yz+1xz+1xy⇔x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤12.x+y+zxyz

Sử dụng bất đẳng thức phụ : a+b+c2≤3a2+b2+c2(sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh)

x+y+z2≤3x+y+z⇒x+y+z2≤3.x2+y2+z2=9xyz⇒x+y+z≤3xyz⇒x+y+z2≤3.3xyz=9xyz⇒x+y+z≤3xyz4⇒x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤12.3xyz4xyz=32.1xyz4

Ta sẽ chứng minh xyz4≥1

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số x2,y2,z2ta được :

x2+y2+z2≥3xyz23⇒3xyz≥3xyz23⇒xyz3≥1( do xyz>0)⇒xyz≥1⇒xyz4≥1

⇒x2x4+yz+y2y4+xz+z2z4+xy≤12.3xyz4xyz=32.1xyz4≤32

Dấu "="xảy ra khi x=y=z=1