Tổng hợp các bài toán thực tế ôn thi vào 10 Toán 9 có đáp án (Phần 2: Hình học)
87 câu hỏi
Để đo chiều cao CD của một cái tháp (C là chân tháp, D là đỉnh tháp), một người chọn 2 điểm A,B sao cho C,A,B thẳng hàng và quan sát tháp, kết quả quan sát như hình vẽ, và A cách B 24m. Tính chiều cao của tháp.
Áp dụng các công thức lượng giác trong tam giác CAD,CBD: ACDC=cotDAC^=cot600;BCDC=cotDBC^=cot480
⇒BC−ACDC=cot480−cot600⇒CD=ABcot480−cot600≈74,3(m)
Vậy chiều cao của tháp xấp xỉ 74,3m
Hai học sinh A (vị trí A) và học sinh B (vị trí B) đang đứng ở mặt đất cách nhau 100m cùng nhìn máy bay trực thăng ở vị trí C. Biết góc nâng ở vị trí A là 55 độ, góc nâng ở vị trí B là 48 độ. Hãy tính độ cao của máy bay so với mặt đất.
Áp dụng các công thức lượng giác trong tam giác CHA,CHB:
AHCH=cotCAH^=cot550;BHCH=cotCBH^=cot400
⇒BH+AHCH=cot400+cot550⇒CH=ABcot400+cot550≈52,86(m)
Vậy độ cao của máy bay so với mặt đất xấp xỉ 52,86m.
Một người thợ sử dụng thước ngắm có góc vuông để đo chiều cao của một cây dừa, với các kích thước đo được như hình bên. Khoảng cách từ vị trí gốc cây đến vị trí chân của người thợ là 4,8m và từ vị trí chân đứng thẳng trên mặt đất đến mắt của người ngắm là 1,6m. Hỏi với các kích thước trên thì người thợ đo được chiều cao của cây đó là bao nhiêu? (làm tròn đến mét).
Hình vẽ minh họa bài toán:
Xét tứ giác ABDH có:
A^=B^=H^=900 (hình vẽ)
Tứ giác ABDH là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)
⇒BA=DH=1,6m; BD=AH=4,8m
Xét ∆ADC vuông tại D và DB là đường cao, ta có:
DB2=BA.BC (hệ thức lượng)
⇒BC=DB2BA=4,821,6=14,4m
⇒AC=AB+BC=1,6+14,4=16m
Vậy chiều cao của cây dừa là 16m
Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B nằm bên kia bờ sông, ông Việt vạch từ A đường vuông góc với AB. Trên đường vuông góc này lấy một đoạn thẳng AC = 30m, rồi vạch CD vuông góc với phương BC cắt AB tại D (xem hình vẽ). Đo AD = 20m, từ đó ông Việt tính được khoảng cách từ A đến B. Em hãy tính độ dài AB và số đo góc ACB.
Xét ∆BCD vuông tại C và CA là đường cao, ta có:
AB.AD=AC2 (hệ thức lượng)
⇒AB=AC2AD=30220=45m
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:
tanACB=ABAC=4530=1,5 (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒ACB^≈56018'
Vậy tính độ dài AB = 45m và số đo góc ACB là 56018’
Một cây cau có chiều cao 6m. Để hái một buồn cau xuống, phải đặt thang tre sao cho đầu thang tre đạt độ cao đó, khi đó góc của thang tre với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài 8m (làm tròn đến phút)
Hình vẽ minh họa bài toán:
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:
sinB=ACBC=68=34 (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒B^≈48035'
Vậy góc giữa thang tre với mặt đất là 48035'
Một máy bay đang bay ở độ cao 12km. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất. 
a) Nếu cách sân bay 320km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu (làm tròn đến phút)?
a) Hình vẽ minh họa bài toán:
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:
sinB=ACBC=12320=380 (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒B^≈209'
Vậy góc nghiêng là 209'
b) Nếu phi công muốn tạo góc nghiêng 50 thì cách sân bay bao nhiêu kilômét phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)?
b) Hình vẽ minh họa bài toán:
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:
sinB=ACBC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒BC=ACsinB=12sin50≈137,7km
Vậy phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh khi cách sân bay 137,7km
Hải đăng kê Gà thuộc xã Tân Thành, huyện Hàm Thuận Nam, Bình Thuận là ngọn hải đăng được trung tâm sách kỷ lục Việt Nam xác nhận là ngọn hải đăng cao nhất và nhiều tuổi nhất. Hải đăng Kê Gà được xây dựng từ năm 1897 – 1899 và toàn bộ bằng đá. Tháp đèn có hình bát giác, cao 66m so với mực nước biển. Ngọn đèn đặt trong tháp có thể phát sáng xa 22 hải lý (tương đương 40km).
Một người đi thuyền thúng trên biển, muốn đến ngọn hải đăng có độ cao 66m, người đó đứng trên mũi thuyền và dùng giác kế đo được góc giữa thuyền và tia nắng chiều từ đỉnh ngọn hải đăng đến thuyền là 250. Tính khoảng cách của thuyền đến ngọn hải đăng (làm tròn đến m).
Hình vẽ minh họa bài toán:
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:
tanC=ABAC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒AC=ABtanC=66tan250≈142m
Vậy khoảng cách của thuyền đến ngọn hải đăng là 142m
Trường bạn An có một chiếc thang dài 6 mét. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” là 650 (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng)
Hình vẽ minh họa bài toán:
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:
cosB=ABBC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒AB=BC.cosB=6.cos650≈2,5m
Vậy cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng 2,5m
Thang xếp chữ A gồm 2 thang đơn tựa vào nhau. Để an toàn, mỗi thang đơn tạo với mặt đất một góc khoảng 750. Nếu muốn tạo một thang xếp chữ A cao 2m tính từ mặt đất thì mỗi thang đơn phải dài bao nhiêu?
Hình vẽ minh họa bài toán:
Do tam giác ABC cân nên đường cao AH cũng là trung tuyến hay H là trung điểm BC
Xét ∆ABH vuông tại H, ta có:
sinB=AHAB (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒AB=AHsinB=2sin750≈2,07m
Vậy thang đơn cần có chiều dài 2,07m
Từ một đài quan sát cao 350m so với mực nước biển, người ta nhìn thấy một chiếc thuyền bị nạn dưới góc 200 so với phương ngang của mực nước biển. Muốn đến cứu con thuyền thì phải đi quãng đường dài bao nhiêu mét?
Hình vẽ minh họa bài toán:
Theo đề bài, ta có: BCA^=CBx^=200(vì AC // Bx và 2 góc ở vị trí so le trong)
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:
tanACB=ABAC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒AC=ABtanACB=350tan200≈961,6m
Vậy muốn cứu con thuyền thì phải đi quãng đường dài khoảng 961,6m
Một khối u của một bệnh nhân cách mặt da 5,7cm được chiếu bởi một chùm tia gamma. Để tránh làm tổn thương mô, bác sĩ đặt nguồn tia cách khối u (trên mặt da) 8,3cm (xem hình vẽ). Tính góc tạo bởi chùm tia với mặt da và chùm tia phải đi một đoạn dài bao nhiêu để đến được khối u?
Dựa vào hình vẽ bài toán, ta có:
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:
tanB=ACAB=5,78,3 (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒B^≈34028'
Và: BC2=AB2+AC2 (định lý Pytago)
⇒BC=AB2+AC2=8,32+5,72 ≈10,1cm
Vậy góc tạo bởi chùm tia với mặt da là 34028’ và chùm tia phải đi một đoạn dài khoảng 10,1cm để đến được khối u.
Một người quan sát đứng cách một cái tháp 10m, nhìn thẳng đỉnh tháp và chân tháp lần lượt dưới 1 góc 550 và 100 so với phương ngang của mặt đất. Hãy tính chiều cao của tháp. 
Hình vẽ minh họa bài toán:
Dựa vào hình vẽ minh họa, ta có: AH = BD = 10m
Xét ∆AHB vuông tại H, ta có:
tanBAH=BHAH (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒BH=AH.tanBAH=10.tan100 m
Xét ∆AHC vuông tại H, ta có:
tanCAH=CHAH (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒CH=AH.tanCAH=10.tan550 m
Ta có: BC=BH+CH=10.tan100+10.tan550≈16m
Vậy chiều cao của tháp là 16m
Một cần cẩu có góc nghiêng so với mặt đất nằm ngang là 400. Vậy muốn nâng một vật nặng lên cao 8,1 mét thì cần cẩu phải dài bao nhiêu? Biết chiều cao của xe là 2,6 mét, chiều cao của vật nặng là 1 mét (làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân)
Hình vẽ minh họa bài toán:
Ta có: AK=CH
⇒AD+DK=CH
⇒AD=CH−DK=2,6−1=1,6m
Mà: AB+AD=BD
⇒AB=BD−AD=8,1−1,6=6,5m
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:
sinC=ABBC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒BC=ABsinC=6,5sin400≈10,1m
Vậy cần cẩu phải dài 10,1m
Một con thuyền qua khúc sông với vận tốc 3,5km/h mất hết 6 phút. Do dòng nước chảy mạnh nên đã đẩy con thuyền đi qua sông trên đường đi tạo với bờ một góc 250. Hãy tính chiều rộng của con sông? 
Hình vẽ minh họa bài toán:
Chuyển đổi: 6 phút =110h
Quãng đường con thuyền đi được là:
AC=sAC=v.t=3,5.110=0,35km=350m
Xét ∆ABC vuông tại B, ta có:
cosA=ABAC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒AB=AC.sinA=350.cos250≈317,21m
Vậy chiều rộng của con sông là 147,92m
Một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất là 272m, cùng thời điểm đó một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 14m. Em hãy cho biết tòa nhà đó có bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao 3,4m? 
Hình vẽ minh họa bài toán:
Vì các góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là bằng nhau nên góc C bằng góc C’
⇒tanC=tanC'⇔ABAC=A'B'A'C' (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒A'B'=AB.A'C'AC=7.27214=136m
Vậy tòa nhà có: 1363,4=40 (tầng)
Tòa nhà Bitexco Financial, Bitexco Financial Tower hay Tháp Tài chính Bitexco là một tòa nhà chọc trời được xây dựng tại trung tâm Quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh. Tòa nhà có 68 tầng (không tính 3 tầng hầm). Biết rằng, khi tòa nhà có bóng in trên mặt đất dài 47,3 mét, thì cùng thời điểm đó có một cột tiêu (được cắm thẳng đứng trên mặt đất) cao 15 mét có bóng in trên mặt đất dài 2,64 mét.
a) Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất (đơn vị đo góc được làm tròn đến độ)
b) Tính chiều cao của tòa nhà (làm tròn đến hàng đơn vị).
Hình vẽ minh họa bài toán:
a) Vì các góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là bằng nhau nên góc B bằng góc B’
⇒tanB=tanB'=A'C'A'B'=152,64 (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒B^=B'^≈800
Vậy góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là 800
b) Ta có: tanB=ACAB (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒AC=AB.tanB=47,3.152,64≈268,8m
Vậy chiều cao của tòa nhà là 268,8m
Giông bão thổi mạnh, một cây tre gãy gập xuống làm ngọn cây chạm đất và ngọn cây tạo với mặt đất một góc 300. Người ta đo được khoảng cách từ chỗ ngọn cây chạm đất đến gốc cây tre là 8,5m. Giả sử cây tre mọc vuông góc với mặt đất, hãy tính chiều cao của cây tre đó (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Hình vẽ minh họa bài toán:
Xét ∆ADC vuông tại C, ta có:
tanDCA=ADAC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒AD=AC.tanDCA=8,5.tan300 m
Và: cosDCA=ACDC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒DC=ACcosDCA=8,5cos300 m
⇒AB=AD+DC=8,5.tan300+8,5cos300≈14,72m
Vậy chiều cao của cây tre là 14,72m
Tính chiều cao của trụ cầu Cần thơ so với mặt sông Hậu cho biết tại hai điểm cách nhau 89m trên mặt sông người ta nhìn thấy đỉnh trụ cầu với góc nâng lần lượt là 400 và 300.
Hình vẽ minh họa bài toán:
Xét ∆ABD vuông tại A, ta có:
tanADB=ABAD (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒AD=ABtanADB=ABtan400m (1)
Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:
tanACB=ABAC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒AC=ABtanACB=ABtan300m (2)
Ta có: AD+DC=AC (vì D thuộc AC)
⇔ABtan400+89=ABtan300⇔ABtan300−ABtan400=89⇔AB.1tan300−1tan400=89⇔AB=891tan300−1tan400⇔AB≈164,7m
w Vậy chiều cao của trụ cầu Cần thơ so với mặt sông Hậu là 164,7m
Hai người A và B đứng cùng bờ sông nhìn ra một cồn nổi giữa sông. Người A nhìn ra cồn với 1 góc 430 so với bờ sông, người B nhìn ra cồn với 1 góc 280 so với bờ sông, 2 người đứng cách nhau 250m. Hỏi cồn cách bờ sông hai người đang đứng là bao nhiêu m?
Hình vẽ minh họa bài toán:
Xét ∆AHC vuông tại A, ta có:
tan CAH^=CHAH (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒AH=CH=CHtan430 m (1)
Xét ∆BHC vuông tại A, ta có:
tan CBH^=CHBH (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒BH=CHtan CBH^=CHtan280 (2)
Từ (1) và (2) ⇒AH+BH=CHtan430+CHtan280⇔AB=CH.1tan430+1tan280⇔250=CH.1tan430+1tan280
⇔CH=2501tan430+1tan280≈84,66m
Vậy cồn cách bờ sông hai người đang đứng là 84,66m
Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh họa như hình vẽ dưới đây. Tính khoảng cách giữa chúng (làm tròn đến mét).
Xét ∆AIK vuông tại I, ta có:
tanAKI=AIIK (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒AI=IK.tanAKI=380.tan500≈453m
Xét ∆BIK vuông tại I, ta có:
tanBKI=BIIK (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒BI=IK.tanBKI=380.tan150+500=380.tan650≈815m
Ta có: AB+AI=BI
⇒AB=BI−AI=815−453=362m
Vậy khoảng cách giữa chúng là 362m
Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) phải leo lên và xuống một con dốc như hình vẽ dưới. Cho biết đoạn AB dài 762m, góc A = 60, góc B = 40. 
a) Tính chiều cao con dốc.
a) Xét ∆ACH vuông tại H, ta có:
tanCAH=CHAH (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒AH=CHtanCAH=CHtan60 m (1)
Xét ∆BCH vuông tại H, ta có:
tanCBH=CHBH (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒BH=CHtanCBH=CHtan40 m (2)
Từ (1) và (2) ⇒AH+BH=CHtan60+CHtan40⇔AB=CH1tan60+1tan40⇔762=CH1tan60+1tan40
⇒CH=7621tan60+1tan40≈32m
Vậy chiều cao của con dốc là 32m
b) Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ? Biết rằng tốc độ lên dốc là 4km/h và tốc độ xuống dốc là 19km/h.
b) Xét ∆ACH vuông tại H, ta có:
sinCAH=CHAC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒AC=CHsin60=32sin60 m (3)
Xét ∆BCH vuông tại H, ta có:
sinCBH=CHCB (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒CB=CHsin40=32sin40 m (4)
Đổi đơn vị: 4km/h=109m/s; 19km/h=9518m/s
Thời gian lên dốc AC là:
tAC=SACvAC=ACvAC=32/sin6014,4s
Thời gian xuống dốc CB là:
tCB=SCBvCB=CBvCB=32/sin4068,4 s
Thời gian đi từ A đến B là:
tAB=tAC+tCB=32109.sin60+329518.sin40≈362,44s≈ 6 phút 3 giây
Trong một buổi luyện tập, một tàu ngầm ở trên mặt biển bắt đầu lặn xuống và di chuyển theo một đường thẳng tạo với mặt nước biển một góc 210.
a) Khi tàu chuyển động theo hướng đó và đi được 250m thì tàu ở độ sâu bao nhiêu so với mặt nước (làm tròn đến đơn vị mét).
a) Hình vẽ minh họa bài toán:
Xét ∆ABC vuông tại C, ta có:
sinA=CBAB (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒CB=AB.sinA=250.sin210≈89,6m
Vậy khi tàu đi được 250m, thì tàu ở độ sâu là 89,6m
b) Giả sử tốc độ trung bình của tàu là 9km/h thì sau bao lâu (tính từ lúc bắt đầu lặn) tàu ở độ sâu 200 mét (cách mặt nước biển 200m) làm tròn đến phút.
b) Đổi đơn vị: 9km/h=2,5m/s
Gọi ts là thời gian tàu đi để đạt được độ sâu là 200m
Quãng đường tàu đi được trong thời gian t(s) là:
AB=sAB=vAB.tAB=2,5t m
Xét ∆ABC vuông tại C, ta có:
sinA=CBAB (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇔sin210=2002,5t
⇒t=2002,5.sin210≈223s≈4 phút
Vậy thời gian tàu đi là 4 phút
Một chiếc cầu trượt bao gồm phần cầu thang (để bước lên) và phần ống trượt (để trượt xuống) nối liền với nhau. Biết rằng khi xây dựng phần ống trượt cần phải đặt ống trượt nghiêng với mặt đất một góc là 500. Hãy tính khoảng cách từ chân cầu thang đến chân ống trượt nếu xem phần cầu thang như một đường thẳng dài 2,5m, ống trượt dài 3m?
Hình vẽ minh họa bài toán:
Xét ∆CHB vuông tại H, ta có:
(tỉ số lượng giác của góc nhọn)
sinCBH=CHCB ⇒CH=CB.sinCBH=3.sin500 m
Và: cosCBH=HBCB (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒HB=CH.cosCBH=3.cos500 m
Xét ∆CHA vuông tại H, ta có:
AC2=AH2+CH2 (định lý Pytago)
⇒AH2=AC2−CH2=2,52−3.sin5002
⇒AH=2,52−3.sin5002 m
⇒AB=AH+HB=2,52−3.sin5002+3.cos500≈2,9m
Vậy khoảng cách từ chân cầu thang đến chân ống trượt là 2,9m
Trong các phòng ở khách sạn, bên cạnh bộ khóa cửa chính còn có một phụ kiện hữu ích khác chính là door guard (chốt trượt mở an toàn). Thiết bị này phòng trường hợp khi nghe tiếng gõ cửa mà không biết chính xác được là ai. Door guard là một dạng chốt nổi, tạo một khoảng cỡ 12cm đủ để người bên trong nhận diện người bên ngoài và nói chuyện với nhau. Nếu chiều rộng cánh cửa vào khoảng 90cm. Em hãy tính góc mở cánh cửa. 
Hình vẽ minh họa bài toán:
Ta có: AB = AC = 90cm nên ∆ABC cân tại A
Gọi H là trung điểm BC. Khi đó AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao của ∆ABC vừa là đường phân giác của góc BAC
Xét ∆ABH vuông tại H, ta có
sinBAH=BHAB (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
=BC/2AB=BC2AB=122.90=115 (vì H là trung điểm của AB)
⇒BAH^≈3,80
⇒BAC^=2.BAH^=2.3,8≈7,60 (vì AH là phân giác của góc BAC)
Vậy góc mở của cánh cửa khoảng 7,60
Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu sáng gắn trên tường cho một phòng triển lãm. Thiết bị này có góc chiếu sáng là 200 và cần đặt cao hơn mặt đất là 2,5m. Người ta đặt thiết bị này sát tường và canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường 2m. Hãy tính độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất.
Hình vẽ minh họa bài toán:
Xét ∆ABC vuông tại B, ta có:
tanBAC=BCAB=22,5=0,8 (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒BAC^≈38,70
Ta có: BAD^=BAC^+CAD^=38,70+200=58,70
Xét ∆ABD vuông tại B, ta có:
tanBAD=BDAB (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒BD=AB.tanBAD=2,5.tan58,70≈4,1m
⇒CD=BD−BC=4,1−2=2,1m
Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất là 2,1m
Trên nóc của một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5m. Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 500 và 400 so với phương nằm ngang. Tính chiều cao của tòa nhà.
Dựa vào hình vẽ bài toán, ta có:
BC = 5m
AD = EH = 7m
BAE^= 500; CAE^==400
CEA^=BEA^=900
Xét ∆CAE vuông tại E, ta có:
tanCAE=CEAE (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒CE=AE.tanCAE=AE.tan400 m (1)
Xét ∆BAE vuông tại E, ta có:
tanBAE=BEAE (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒BE=AE.tanBAE=AE.tan500 m (2)
Từ (1) và (2) ⇒BE−CE=AE.tan500−AE.tan400
⇔BC=AE.tan500−tan400⇔5=AE.tan500−tan400⇔AE=5tan500−tan400 m
Từ (1) ⇒CE=5tan500−tan400.tan400 m
⇒BH=BC+CE+EH=5+5.tan400tan500−tan400+7≈23,9m
Vậy chiều cao của tòa nhà là 23,9m
Một đồng hồ có kim giờ dài 4cm và kim phút dài 6cm. Hỏi lúc 14 giờ đúng, khoảng cách giữa hai đầu kim là bao nhiêu?
Một vòng tròn có số đo góc là 3600. Đồng hồ gồm 12 góc chia đều nhau => 1 góc có số đo là 300⇒AOB^=600.
Gọi Q là hình chiếu của A lên OB.
Xét tam giác vuông OAQ ta có cosAOQ^=OQOA⇔OQ=OA.cos60=2 cm.
⇒QB=OB−OQ=4 cm.
Lại có QA=OA2−OQ2=23 cm.
Xét tam giác vuông ABQ ta có AB=QB2+QA2=42+232=27 cm.
Ở các nước xứ lạnh, vào mùa Đông thường có tuyết rơi dày đặc khắp các con đường, trẻ em tại đây rất thích đắp hình dạng của người tuyết. Có thể xem phần thân dưới và thân trên của người tuyết là hai hình cầu tiếp xúc nhau. Em hãy tính kích thước của hai viên tuyết cần đắp để được một người tuyết cao 1,8m biết rằng đường kính của phần thân dưới phải gấp đôi đường kính của phần thân trên người tuyết.
Hình vẽ minh họa bài toán:
Ta có: 1,8m = 180cm
Gọi r (cm) là bán kính của đường tròn nhỏ
=> Đường kính của đường tròn nhỏ là 2r (cm) (r > 0)
=> Đường kính của đường tròn lớn là: 2.2r = 4r (cm)
Ta có: 2r + 4r = 180 (vì (O) tiếp xúc với (O’))
⇔6r=180⇔r=30cm
Vậy để đắp người tuyết có chiều cao là 1,8m thì ta cần đắp hai quả cầu tuyết có đường kính lần lượt là 60cm và 120cm.
Một vệ tinh nhân tạo địa tĩnh chuyển động theo quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất một khoảng , tâm quỹ đạo vệ tinh trùng với tâm O của Trái Đất. Vệ tinh phát tính hiệu vô tuyến theo đường thẳng đến một vị trí trên mặt đất. Hỏi vị trí xa nhất trên Trái Đất có thể nhận tín hiệu từ vệ tinh này cách vệ tinh một khoảng là bao nhiêu km? (ghi kết quả gần đúng chính xác đến hàng đơn vị). Biết rằng Trái Đất được xem như một hình cầu có bán kính 6400km.
Hình vẽ minh họa bài toán:
Ta có: CO = CE + EO = 36000 + 6400 = 42400km
Xét ∆COA vuông tại A (vì CA là tiếp tuyến của (O) nên CA OA)
⇒CO2=CA2+OA2 (định lí Pytago)
⇒CA2=CO2−OA2=424002−64002
⇒CA=424002−64002≈41914,2km
Vậy vị trí xa nhất trên Trái Đất có thể nhận tín hiệu của vệ tinh cách vệ tinh khoảng 41914,2km
Khí cầu là một túi đựng không khí nóng, thường có khối lượng riêng nhỏ hơn không khí xung quanh và nhờ vào lực đẩy Ác-si-mét có thể bay lên cao. Giả sử có thể xem khinh khí cầu là một khối cầu và các dây nối sẽ tiếp xúc với khối cầu này. Hãy tính chiều dài của các dây nối để khoảng cách từ buồng lái đến điểm thấp nhất của khí cầu là 8m. Biết rằng bán kính của khối cầu này là 10m.
Hình vẽ minh họa bài toán:
Ta có: OB = OC = OD = R = 10m
OA = AD + DO = 8 + 10 = 18m
Xét ∆ABO vuông tại B (vì AB là tiếp tuyến của (O))
⇒OA2=OB2+AB2 (định lí Pytago)
⇒AB2=OA2−OB2=182−102=224
⇒AB=224=414≈15m
Vậy chiều dài của các dây nối thỏa yêu cầu bài toán là 15m.
Người ta muốn xây dựng một cây cầu bắc qua một hồ nước hình tròn có bán kính 2km. Hãy tính chiều dài của cây cầu để khoảng cách từ cây cầu đến tâm của hồ nước là 1732m.
Hình vẽ minh họa bài toán:
Ta có: OA = OB = 2km (gt)
Gọi H là trung điểm của AB, dây AB không qua tâm O
OH vuông với AB tại H (liên hệ giữa đường kính và dây cung)
Xét ∆OHA vuông tại H
⇒OA2=OH2+AH2 (định lý Pytago)
⇒AH2=OA2−OH2=22−1,7322
⇒AH=22−1,7322≈1km
Ta có: AB=2AH=2.1=2km (vì H là trung điểm của AB)
Vậy chiều dài của cây cầu là khoảng 2km.
Một bánh xe có dạng hình tròn bán kính 20cm lăn đến bức tường hợp với mặt đất một góc 600. Hãy tính khoảng cách ngắn nhất từ tâm bánh xe đến góc tường.
Khi bánh xe chạm tới bức tường thì không thể di chuyển vào thêm được nữa. Điều này có nghĩa khoảng cách của tâm bánh xe đến góc tường ngắn nhất là khi bánh xe tiếp xúc với bức tường và mặt đất.
Hình vẽ minh họa bài toán:
Ta có: OB = OC = 20cm (gt)
BAC^=600 (gt)
OAB^=12BAC^=12.600=300 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Xét ∆OAB vuông tại B (vì AB tiếp tuyến của (O) nên AB vuông với OB)
⇒sin BAO^=OBOA (tỉ số lượng giác góc nhọn)
⇒OA=OB=20sin300=40cm
Vậy khoảng cách ngắn nhất từ tâm bánh xe đến góc tường là 40cm.
Đường hầm vượt eo biển Măng-sơ nối hai nước Anh và Pháp có chiều dài khoảng 51km. Giả sử rằng vị trí hai đầu đường hầm thuộc Anh và Pháp nằm trên cùng một kinh tuyến ở bề mặt Trái Đất (Trái Đất được xem như một hình cầu có bán kính 6400km). Hãy tính độ sâu nhất của đường hầm so với bề mặt Trái Đất.
Hình vẽ minh họa bài toán:
Ta có: AP = 51km, OP = 6400km (gt)
Kẻ OH ⊥ AP tại C
C là trung điểm của AP (liên hệ giữa đường kính và dây cung)
⇒PC=CA=AP2=512=25,5km
Xét ∆OCP vuông tại C
⇒sin POC^=PCOP=25,56400=0,398 (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒POC^≈23030'
Và: cos POC^=OCOP (tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒OC=OP.cosPOC=6400.cos23030'≈5869km
⇒CH=OH−OC=6400−5864=53,1km
Vậy độ sâu nhất của đường hầm so với bề mặt Trái Đất là 531km.
Một quả cầu gỗ có bán kính là R = 5cm được đặt trên một cái đế bằng gỗ có dạng là một nửa mặt cầu bán kính bằng R2. Hãy tính khoảng cách từ mặt đất đến điểm cao nhất của mặt cầu gỗ.
Hình vẽ minh họa bài toán:
Gọi H là trung điểm của AB và dây AB không qua tâm O
OH ⊥ AB (liên hệ giữa đường kính và dây cung)
Ta có: AB=2.R2=R (vì AB là đường kính)
Xét ∆OAB có: OA = OB = AB = R
∆OAB đều
⇒OAB^=600 hay OAH^=600
Xét ∆AHO vuông tại H
⇒cos OAH^=OHOA (tỉ số lượng giác góc nhọn)
⇒OH=OAcos OAH^=Rcos600=R.32
⇒ED=OE+OH+HD=R+R32+R2=R3+32=53+32≈11,83cm
Vậy chiều cao của quả cầu gỗ là 11,83cm.
Dây Cu-roa là một trong những bộ truyền được sử dụng rộng rãi trong công nghiệp. Chiều dài dây cu-roa được xác định theo công thức:
L=2a+πd1+d22+d2−d124a
Trong đó:
L: Chiều dài dây cu-roa.
a: Khoảng cách tâm của 2 pu-ly.
d1: Đường kính của pu-ly 1 (hình tròn nhỏ màu vàng)
d2: Đường kính của pu-ly 2 (hình tròn lớn màu vàng)
Cho:
d1=10cm,d2=20cm,a=60cm
a) Tính chiều dài của dây cu-roa.
b) Gọi AB là chiều dài một đoạn dây cu-roa, trong đó A, B lần lượt là tiếp điểm trên của dây cu-roa với 2 đường tròn tạo bởi mặt cắt của 2 pu-ly. Tính AB.
a) Thay d1 = 10, d2 = 20, a = 60 vào công thức L=2a+πd1+d22+d2−d124a, ta được:
L=2.6+π10+202+20−1024.6=1445+180π12≈68094cm
b) Hình vẽ minh họa bài toán:
Vẽ O’C vuông góc với OB (C thuộc OB)
Xét tứ giác CABO’ có: C^=A^=B^=900 (vì AB là tiếp tuyến chung của (O), (O’) và O’C ⊥ OB)
Tứ giác O’ABC là hình chữ nhật
AC = BO’
OC = OA – AC = OA – O’B = R – r = 20 – 10 = 10cm
Xét ∆OCO’ vuông tại C
⇒OO'2=OC2+O'C2 (định lý Pytago)
⇒O'C2=OO'2−OC2=602−102=3500
⇒O'C=3500=1035cm
⇒AB=O'C=1035cm (vì O’ABC là hình chữ nhật)
Vinasat-1 là vệ tinh viễn thông địa tĩnh đầu tiên của Việt Nam được phóng vào vũ trụ lúc 22 giờ 17 phút ngày 18 tháng 4 năm2008 (giờ UTC). Dự án vệ tinh Vinasat-1 đã khởi động từ năm 1998 với tổng mức đầu tư là khoảng hơn 300 triệu USD. Việt Nam đã tiến hành đàm phán với 27 quốc gia và vùng lãnh thổ để có được vị trí 132 độ Đông trên quỹ đạo địa tĩnh.
Hãy tìm khoảng cách từ vệ tinh Vinasat-1 đến mặt đất. Biết rằng khi vệ tinh phát tín hiệu vô tuyến đến một điểm xa nhất trên mặt đất thì từ lúc phát tín hiệu đến mặt đất cho đến lúc vệ tinh thu lại được tín hiệu phản hồi mất khoảng thời gian là 0,28s. Trái đất được xem như một hình cầu có bán kính khoảng 6400km. (ghi kết quả gần đúng chính xác đến hàng đơn vị), giả sử vận tốc sóng vô tuyến là 3.108 m/s.
Hình vẽ minh họa bài toán:
Do thời gian từ lúc truyền tín hiệu đến lúc nhận lại tín hiệu là 0,28s, nên thời gian tín hiệu truyền từ A đến M là: 0,28 : 2 = 0,14 (s)
Độ dài đoạn AM cũng là quãng đường tín hiệu truyền đi được trong 0,14s.
S = AM = v.t = 3.108.0,14 = 42.106m = 42000km
Vị trí xa nhất trên trái đất có thể nhận tín hiệu từ vệ tinh là vô số điểm M (với AM là tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn tâm O)
Vì AM là tiếp tuyến (O) ⇒OM⊥AM tại M
Xét tam giác vuông AMO, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
OA2=OM2+MA2=64002+420002=1804960000
⇒OA=42485km
Khoảng cách từ vệ tinh Vinasat-1 đến mặt đất là độ dài đoạn AH:
AH=AO−OH=42485−6400=36085km
Sóng cực ngắn có tần số 30 - 30000MHz. Năng lượng rất lớn, không bị tầng điện ly hấp thụ, truyền đi rất xa (> 2200km) theo đường thẳng. Dùng trong thông tin liên lạc vũ trụ, ra đa và truyền hình. Tại một thời điểm có hai vệ tinh đang ở hai vị trí A và B cùng cách mặt đất 230km, một tín hiệu (truyền bằng sóng cực ngắn) được truyền đi từ vệ tinh A truyền đến vệ tinh B theo phương AB. Hỏi vệ tinh B có nhận được tín hiệu đó không? Biết khoảng cách giữa A và B theo đường thẳng là 2200km và bán kính Trái Đất là 6400km.
Hình vẽ minh họa bài toán:
Kẻ OH⊥ABH∈AB
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của OA, OB với đường tròn (O).
Ta có: AM=BN=230 km (gt)
OM=ON=R=6400 km
⇒OA=OB=AM+OM=230+6400=6630 km
ΔAOB có OA = OB nên là tam giác cân tại O.
⇒OH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.
H là trung điểm AB.
⇒HA=HB=AB2=22002=1100 km
Ta có: ∆AOH vuông tại H
⇒OA2=OH2+AH2 (định lý Pytago)
⇒OH2=OA2−AH2
OH=OA2−AH2=66302−11002≈6538 km
Do OH>R6538 km>6400 km nên vệ tinh ở vị trí B có thể nhận được tín hiệu do vệ tinh ở vị trí A truyền tới theo phương AB.
Để giúp xe lửa chuyển từ một đường ray từ hướng này sang một đường ray theo hướng khác, người ta làm xen giữa một đoạn đường ray hình vòng cung (hình bên). Biết chiều rộng của đường ray là AB≈1,1m, đoạn BC≈28,4m. Hãy tính bán kính OA = R của đoạn đường ray hình vòng cung?
Hình vẽ minh họa bài toán:
Thanh ray trùng với BC tiếp xúc với đường tròn (O, OB) tại B nên là tiếp tuyến của đường tròn (O, OB) ⇒BC⊥OB OA cắt đường tròn (O, OA) tại điểm D D≠A ⇒AD=2R
∆ACD nội tiếp đường tròn (O, OA) có đường kính AD nên là tam giác vuông tại C.
Xét ∆ACD vuông tại C, đường cao BC, ta có:
CB2=AB . BD (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇔CB2=ABAD−AB⇔CB2=AB2R−AB⇔28,42=1,22R−1,1
⇔2R=807,77⇔R=367,2m
Một chiếc cầu được thiết kế như hình bên dưới có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB, (MK đi qua tâm của đường tròn chứa cung AMB)
Hình vẽ minh họa bài toán:
Gọi đường tròn (O; R) là đường tròn chứa cung AMB (như hình vẽ)
Do MK là chiều cao => MK vuông góc với AB tại K
Gọi MN là đường kính của đường tròn (O)
MK đi qua tâm O => N, O, K, M thẳng hàng
MN vuông góc với AB tại K => K là trung điểm AB
⇒KA=KB=AB2=402=20m
Ta có: ΔAMN nội tiếp đường tròn (O), có cạnh MN là đường kính
ΔAMN vuông tại A
Xét ΔKAN và ΔKMA, ta có:
AKN^=MKA^=900
MAK^=ANK^ (vì cùng phụ góc AMN)
ΔKAN ∽ ΔKMA (g.g)
⇒KAKM=KNKA⇔KA.KA=KN.KM⇔KA2=MN−KM.KM⇔KA2=2R−KMKM
⇔202=2R−3.3⇔400=6R−9⇔6R=409⇔R≈68,17m
Vậy bán kính của đường tròn chứa cung AMB là 68,17m
Một ngọn đèn hải đăng cao 85m đặt tại bờ biển có góc nâng của đèn không quá 850 so với phương thẳng đứng. Biết rằng ánh sáng của ngọn đèn hải đăng phát ra xem như một đường thẳng và đèn có thể xoay tròn xung quanh ngọn hải đăng. Một cây cầu bắc qua biển (rất dài) cách ngọn đèn hải đăng 750m. Hỏi ánh sáng của ngọn đèn hải đăng có chiếu sáng được một đoạn của chiếc cầu hay không? Nếu có hãy tính độ dài đoạn cầu được chiếu sáng đó.
Hình vẽ minh họa bài toán:
Xét ∆OBC vuông tại O
⇒tan OBC^=OCOB (tỉ số lượng giác góc nhọn)
⇒OC=OB.tan OBC^=85.tan850≈971,6m
Ta có: 971,6 > 750 do đó đèn chiếu sáng được một đoạn của chiếc cầu
Xét ∆OHD vuông tại H
⇒OD2=OH2+HD2 (định lý Pytago)
⇒HD2=OD2−OH2=971,62−7502
⇒HD=971,62−7502≈617,7m
⇒AD=2HD=2.617,7=1235,4m
Vậy độ dài đoạn cầu được chiếu sáng là khoảng 1235,4m.
Ở một nước nọ, có một hòn đảo hình tròn ở ngoài biển. Hãy xác định vị trí để làm một cái cầu AB (A là một điểm trên đất liền, B là một điểm trên đảo) sao cho độ dài của cây cầu là ngắn nhất.
Hình vẽ minh họa bài toán:
Xét 3 điểm O, A, B ta có: AB≥OA−OB (bất đẳng thức tam giác)
Vì OH ⊥ AB nên OA ≥ OH (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)
AB≥OH−OB
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A ≡ H và B nằm giữa A và O
Vậy để độ dài của chiếc cầu là ngắn nhất, ta đặt vị trí của A và B như sau: A là hình chiếu của O lên d, B là giao điểm của OH và (O)
Hai hòn đảo xem như hình tròn có khoảng cách từ tâm hòn đảo này đến tâm hòn đảo kia là khoảng 950m. Biết rằng đảo lớn có bán kính khoảng 500m, còn đảo nhỏ có bán kính khoảng 200m. Người ta cần xây dựng một cây cầu bắc từ đảo này sang đảo kia. Em hãy chọn vị trí để xây cây cầu sao cho chiều dài cây cầu là ngắn nhất, khi đó hãy tính chiều dài này.
Hình vẽ minh họa bài toán:
Xét 3 điểm O’, A, B ta có: AB≥O'A−O'B
Xét 3 điểm O’, O, A ta có: O'A≥OO'−OA
⇒AB≥OO'−OA−O'B=950−500−300=150m
Dấu “=” xảy ra khi O, A, B, O’ thẳng hàng theo thứ tự đó
Vậy ta nên đặt cầu trên đoạn nối tâm của hai đảo thì cây cầu sẽ có chiều dài ngắn nhất là 150m.
Ngày 12 tháng 4 năm 1961, nhà du hành vũ trụ đầu tiên của Trái Đất Gagarin đã bay vào không gian trên con tàu vũ trụ Phương Đông ở độ cao cách mặt đất 327km . Hỏi ở vị trí đó Gagarin có thể quan sát thấy một địa điểm trên mặt đất với khoảng cách xa nhất là bao nhiêu km (ghi kết quả gần đúng chính xác đến hàng đơn vị) biết rằng Trai Đất được xem như một hình cầu có bán kính khoảng 6400 km (tính theo km, làm tròn đến hàng đơn vị).
Theo đề bài ta có hình vẽ, M là vị trí của Gagarin, MA=327km
Vì T là điểm nhìn xa tối đa nên MT là tiếp tuyến của đường tròn (đường tròn coi như là trái đất)
Xét ΔMTA & ΔMBT coA^ chungMTA^=MBT^=12sđAT⏜⇒ΔMTA ~ ΔMBT(g.g)
⇒MTMB=MAMT⇒MT2=MA.MB,
mà MB=MA+AB=327+2.6400=13127 (AB là đường kính trái đất) ⇒MT2=327.13127=4292529⇒MT≃2072
Vậy Gagarin có thể nhìn thấy một địa điểm T trên biển tối đa là 2072km.
Chân một đống cát trên một mặt phẳng nằm ngang là một hình tròn, biết viền đống cát là đường tròn, có chu vi 10m. Hỏi chân đống cát chiếm diện tích bao nhiêu m2 (làm tròn đến 2 chữ số thập phân)
Gọi R là bán kính của đường tròn (R > 0)
Ta có: 2π R=10⇔R=5π m
Chân đống cát chiếm diện tích: π.R2=π.5π2≈7,96 m2
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB vẽ các nửa đường tròn có đường kính lần lượt AB, BC, AC (xem hình vẽ).
Hai con robot chạy từ A đến C, con robot thứ nhất chạy theo đường số 1 (nửa đường tròn đường kính AC), con robot thứ hai chạy theo đường số 2 (hai nửa đường tròn đường kính AB, BC). Biết chúng xuất phát cùng một thời điểm tại A và chạy cùng vận tốc không đổi. Cả hai con robot cùng đến C một lúc. Em hãy giải thích vì sao?
Chiều dài đường số 1 là: l1=12.CAC=12.π.AC
Chiều dài đường số 2 là: l2=12.CAB+12.CBC=12.π.AB+π.BC=12π.AB+BC=12π.AC
⇒l1=l2 =12π.AC
=> Quãng đường của 2 con robot bằng nhau
Mà 2 con robot xuất phát từ A và cùng vận tốc
Vậy hai con robot cùng đến C một lúc.
Với một tấm ván hình vuông cạnh 1m, một người thợ mộc vẽ 14 đường tròn có bán kính là cạnh hình vuông (xem hình), rồi cắt bỏ phần ván nằm ngoài 14 hình tròn (phần gạch chéo trên hình vẽ). Tính diện tích phần ván cắt bỏ đó (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Diện tích hình vuông là: 12=1 m2
Diện tích hình quạt là: 14.π.12=14.π m2
Diện tích phần ván cắt bỏ là: 1−14.π≈0,2 m2
Từ 1 giờ đến 3 giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm là bao nhiêu độ? Hãy trả lời câu hỏi trên khi kim giờ quay từ 3 giờ đến 6 giờ?
Kim giờ đồng hồ quay hết một vòng, nghĩa là với góc quay là 3600 thì tương ứng với thời gian là 12 giờ. Kim giờ đồng hồ quay từ 1 giờ đến 3 giờ tương ứng với thời gian là 2 giờ
=> Góc quay được sẽ là: 2.360012=600 Kim đồng hồ quay từ 3 giờ đến 6 giờ tương ứng với thời gian là 3 giờ
=> Góc quay được sẽ là: 3.360012=900
Trái Đất quay quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo xem như là đường tròn có bán kính là 150 triệu km. Giả sử rằng cứ hết 1 năm thì Trái Đất quay được một vòng quanh Mặt Trời. Biết rằng 1 năm có khoảng 365 ngày, hãy tính quãng đường đi được của Trái Đất sau 1 ngày.
Trái Đất đi hết một vòng quanh Mặt Trời, nghĩa là quay được một góc 3600 thì hết 365 ngày.
Vậy sau 1 ngày, Trái Đất quay được 1 góc là: 1.3600365=72730
Độ dài cung tròn 72730 là : π.150000000.7273360=1291065,5(km)
Vậy sau 1 ngày Trái Đất di chuyển được một đoạn dài 1291065,5km.
Vĩ độ của Hà Nội là 20001’. Mỗi vòng kinh tuyến của Trái Đất dài 40000km.
a) Tìm bán kính của Trái Đất.
a) Vòng kinh tuyến của Trái Đất dài 40000km, nghĩa là chu vi của đường tròn lớn là 40000km.Ta có: C=2π.R⇔R=C2π=400002π≈6366,2 km
Vậy bán kính Trái Đất vào khoảng 6366,2km.
b) Tính độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo.
b) Vĩ độ của Hà Nội là 20001’, nghĩa là góc hợp bởi đường thẳng đi qua tâm Trái Đất và Hà Nội với Xích Đạo là 20001’. Ta có hình ảnh sau: 
Trong đó:
+ Điểm B đại diện cho Hà Nội
+ Điểm A là một điểm nằm trên đường Xích Đạo có cùng kinh độ với Hà Nội
Độ dài cung AB là: π.6366,2.20,01180=2223,3 km
Vậy cung kinh tuyến từ Hà Nội đến Xích Đạo là 2223,3km.
Bánh xe đạp bơm căng có đường kính là 73cm.
a) Hỏi xe đạp đi được bao nhiêu km nếu bánh xe quay được 1000 vòng?
a) Chu vi của bánh xe là: C=π.d=π.73≈229,3 cm
Khi quay 1000 vòng nghĩa là bánh xe đi được một đoạn là: 1000.229,3=2293000 cm
Nghĩa là đi được 2,293km.
b) Hỏi bánh xe quay được bao nhiêu vòng khi xe đi được 4km?
b) Ta có: 4km = 400 000cm.
Số vòng bánh xe quay được là: 400000229,3≈1745vòng.
Máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trước. Khi bơm căng, bánh xe sau có đường kính là 1,672m và bánh xe trước có đường kính là 88cm (tính từ tâm bánh xe đến mép ngoài của bánh xe). Hỏi khi xe chạy trên đoạn đường thẳng, bánh xe sau lăn được 10 vòng thì xe di chuyển được bao nhiêu mét và bánh xe trước khi đó lăn được mấy vòng? 
Chu vi của bánh xe sau:
Csau=3,14.dsau=3,14.1,672=5,25008 m (d: là đường kính của bánh xe)
Chu vi của bánh xe trước:
Ctr=3,14.dtr=3,14.0,88=2,7632 m
Cứ một vòng quay của bánh xe sau, thì xe đi được quãng đường bằng chu vi của bánh xe. Vậy khi bánh xe sau lăn được 10 vòng, thì xe di chuyển được đoạn đường là:
S=10.5,25008=52,5008 m
Khi đó, bánh xe trước đã lăn được số vòng là: ntr=SCtr=52,50082,7632=19 (vòng)
Vậy: Khi bánh xe sau lăn được 10 vòng thì xe di chuyển được đoạn đường 52,5008 mét và bánh xe trước khi đó lăn được 19 vòng.
Có ba bánh xe răng cưa A, B, C cùng chuyển động ăn khớp với nhau. Khi một bánh xe quay thì hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 răng. Biết bán kính bánh xe C là 11cm. Hỏi:
a) Khi bánh xe C quay 60 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?
Ta có bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 răng nên suy ra chu vi của bánh xe B gấp đôi chu vi bánh xe C, chu vi bánh xe A gấp ba chu vi bánh xe C.
Chu vi bánh xe C là: 2πRC=2π.1=2π cm
Chu vi bánh xe B là: 2π.2=4π cm
Chu vi bánh xe A là: 2π.3=6π cm
a) Khi bánh xe C quay được 60 vòng thì quãng đường đi được là: 60.2π=120π cm
Khi đó, số vòng quay của bánh xe B là: 120π4π=30(vòng)
b) Khi bánh xe A quay 80 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?
b) Khi bánh xe A quay được 80 vòng thì quãng đường đi được là: 80.6π=480π cm
Khi đó, số vòng quay của bánh xe B là: 480π4π=120 (vòng)
c) Bán kính của các bánh xe A và B là bao nhiêu?
c) Bán kính của bánh xe B là: RB=4π2π=2 cm
Bán kính của bánh xe A là: RA=6π2π=3 cm
Một vườn có hình chữ nhật ABCD có AB = 40m, AD = 30m. Người ta muốn buộc hai con dê ở hai góc vườn A, B. Có hai cách buộc:
Cách 1: Mỗi dây thừng dài 20m.
Cách 2: Một dây thừng dài 30m và dây thừng kia dài 10m.
Hỏi với cách buộc nào thì diện tích cỏ mà hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn?
Theo cách buộc thứ nhất thì diện tích cỏ dành cho mỗi con dê là bằng nhau
Mỗi diện tích là 14 hình tròn bán kính 20m.
14π.202=100π m2
Cả hai diện tích là: S1=2.100π=200π m2 (1)
Theo cách buộc thứ hai, thì diện tích cỏ dành cho con dê buộc ở A là:
SA=14π.302=225π m2
Diện tích cỏ dành cho con dê buộc ở B là:
SB=14π.102=25π m2
Diện tích cỏ dành cho hai con dê là:
S2=SA+SB=225π+25π=250π m2So sánh (1) và (2) ta thấy với cách buộc thứ hai thì diện tích cỏ mà hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn.
Một chiếc bánh pizza đường kính 30cm được bán với giá 300 000 VNĐ còn một chiếc bánh pizza cùng loại với đường kính 40cm được bán với giá 400 000 VNĐ. Em hãy cho biết nên mua chiếc bánh nào thì có lợi hơn.
Diện tích chiếc bánh pizza đường kính 30cm là: S1=π.3024=225π cm2
Diện tích chiếc bánh pizza đường kính 40cm là: S2=π.4024=400π cm2
Ta có: S1300000=225π300000=3π4000 và S2400000=400π400000=π1000
Vì 3π4000<π1000 nên S1300000<S2400000
Vậy nên mua bánh pizza loại 400 000 VNĐ sẽ được lợi hơn.
Người ta làm một vườn hoa gồm hai hình tròn tâm A và tâm B tiếp xúc ngoài với nhau. Cho biết khoảng cách AB = 5m và diện tích của vườn hoa là 13,48πm2. Tính bán kính mỗi hình tròn.
Gọi x m,y m lần lượt là bán kính của hình tròn (A) và (B) 0<y<x<5
Theo đề bài, ta có hệ phương trình: x+y=5 π.x2+π.y2=13,48π⇔y=5−x x2+y2=13,4812
Thay (1) vào (2) ta được x2+5−x2=13,48
⇔x2+25−10x+x2−13,48=0⇔2x2−10x+11,52=0⇔x2−5x+5,76=0 *
Ta giải phương trình (*) được 2 nghiệm là:x1=3,2 hoặc x2=1,8
Thay x1=3,2 vào (1) ta được y1=5−3,2=1,8 (nhận)
Thay x2=1,8vào (1) ta được y2=5−1,8=3,2 (loại)
Vậy bán kính hình tròn (A) là 3,2m và bán kính của hình tròn (B) là 1,8m.
Nhà thiết kế muốn thiết kế một chiếc nhẫn có dạng như hai vòng tròn đồng tâm (hình bên dưới). Cần thiết kế nhẫn cho người đeo cỡ 7 (đường kính vào khoảng 15mm). Em hãy tính diện tích một bề mặt của chiếc nhẫn biết rằng khi sử dụng thước cặp pan-me để đo thì đường kính mà thước đo được là 17mm.
Phần diện tích cần tính là hình vành khăn. Kích cỡ đeo nhẫn chính là đường kính của đường tròn nhỏ, còn thước kẹp pan-me đo được đường kính của đường tròn lớn.
Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:
Phần diện tích cần tính là diện tích của hình vành khăn tạo bởi hai đường tròn đồng tâm O có đường kính lần lượt là 17mm và 15mm.
Vậy diện tích bề mặt là: π.1724−π.1524=16.π≈50,3 (mm2)
Người ta muốn may một chiếc khăn để phủ một chiếc bàn hình tròn có đường kính 76cm sao cho khăn rũ xuống mép bàn 10cm. Hỏi:
a) Diện tích vải cần dùng để may khăn trải bàn.
a) Bán kính mặt bàn là: 762=38 cm
Bán kính của khăn rũ xuống mép bàn 10cm là: 38+10=48 cm
Diện tích vải cần dùng để may trải bàn là: π.482≈7238,2 cm2
b) Người ta lại muốn ghép thêm riềm khăn rộng 2cm. Diện tích vải cần dùng để may riềm khăn.
b) Tính diện tích của riềm khăn thực chất là tính diện tích của hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn đồng tâm là khăn bàn và khăn bàn cả riềm khăn.
Bán kính của khăn bàn kể cả riềm là: 48+2=50 cm Diện tích khăn bàn kể cả riềm là: π.502≈7854 cm2
Vậy diện tích vải cần dùng để may riềm khăn là: 7854−7238,2≈615,8 cm2
Một viên gạch hình vuông có cạnh là 30cm được thiết kế như hình vẽ. Người ta dựng một cung tròn có tâm là một đỉnh của viên gạch với bán kính bằng 30cm, sau đó dựng thêm một cung tròn nữa như vậy nhưng có tâm là đỉnh đối diện với đỉnh trên. Em hãy tính diện tích phần giao nhau của hai cùng tròn đó.
Diện tích cần tính là tổng diện tích hình viên phân của đường tròn tâm A bán kính AB cung BD và diện tích hình viên phân của đường tròn tâm C bán kính CB cung BD. Gọi S1 là diện tích hình viên phân của đường tròn tâm A và S2 là diện tích hình viên phân của đường tròn tâm C.
SΔABD=12AD.AB=12.302=450 cm2
Diện tích hình quạt ADB là: Squat ADB=π.302.90360=225π cm2
S1=Squat ADB−SΔABD=225π−450≈256,9 cm2
Tương tự: S2≈256,9 cm2
⇒S1+S2=256,9+256,9=513,8 cm2
Vậy diện tích cần tính là 513,8 (cm3)
Thùng của một xe tải có dạng là một hình hộp chữ nhật có các kích thước như hình bên dưới:
a) Tính thể tích của thùng chứa.
b) Nếu 1m3 cát nặng 1,6 tấn và xe chở đến 34 trọng tải của nó thì sức nặng của cát lúc đó là bao nhiêu?
a) Thể tích của thùng chứa là: 3,1.7.1,6=34,72 m3
b) Thể tích của cát trong xe lúc này là: 34.34,72=26,04 (m3)
Sức nặng của cát khi xe chở đến 34 trọng tải của nó là: 26,04.1,6=41,664 (tấn)
Một bóng đèn huỳnh quang dài 1,2m, đường kính của đường tròn đáy là 4cm, được đặt khít vào một ống nhựa cứng dạng hình hộp.
a) Tính diện tích phần giấy cứng dùng để làm một hộp. (Hộp hở hai đầu, không tính lề và mép dán)
a) Diện tích phần giấy cứng cần tính chính là diện tích xung quanh của một hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh 4cm, chiều cao là 1,2m = 120cm
Diện tích xung quanh của hình hộp:
Sxq=4.4.120=1920 cm2=0,192 m2
b) Tính giá thành bìa cứng dùng để làm 10 hộp đèn, cho biết giá bìa là 10,800 đồng một m2 bìa cứng.
b) Diện tích bìa cứng để làm 10 chiếc hộp là: 10.0,192=1,92 m2
Giá tiền bìa cứng làm 10 hộp là: 1,92.10,800=20736 (đồng)
Một cái trục sơn lăn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 5cm, chiều dài lăn là 23cm (quan sát hình vẽ). Sau khi lăn trọn 15 vòng thì trục lăn tạo nên sân phẳng một diện tích là bao nhiêu?
Diện tích xung quanh của mặt trụ là:
Sxq=2π.R.l=2π.5.23=230π cm2
Sau khi lăn 15 vòng thì diện tích phần sơn được là: S=230π.15=3450π cm2
Vườn quốc gia Cúc Phương tỉnh Ninh Bình có những cây cổ thụ lâu năm, to đến mức phải 8 người dang tay ôm mới xuể. Cho biết thiết diện ngang của 1 thân cây như vậy là 1 hình tròn và mỗi sải tay của người ôm vào khoảng 1,5m. Hãy tính diện tích thiết diện ngang của thân cây π≈3,14
Chu vi thân cây cổ thụ là: 2.π.R=8.15⇒R=8.152.3,14=63,14 m
Diện tích thiết diện ngang của thân cây là: S=π.R2=3,14.63,142=11,46 m2
Thùng phuy hay thùng phi là một vật dụng hình ống dùng để chứa và chuyên chở chất lỏng với dung tích lớn. Mỗi thùng phuy có đường kính nắp và đáy là: 584mm, chiều cao là 876mm. Hãy tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của thùng phuy?
Coi thùng phuy là hình trụ, bán kính đáy là: R=5842=292 mmvà chiều cao h = 876 (mm)
Diện tích xung quanh thùng phuy: Sxq=2πRh=2π.292.876=511584 mm2
Diện tích toàn phần thùng phuy: Stp=2πRh+2πR2=511584π+2π.2922=682112π mm2
Thể tích thùng phuy: V=πR2h=π.2922.876=74691264π mm3
Một trường THCS ở thành phố chuẩn bị xây dựng một hồ bơi cho học sinh với kích thước như sau: chiều rộng là 6m, chiều dài là 12,5m, chiều sâu 2m. Sức chứa trung bình 0,5m2/người (Tính theo diện tích mặt đáy). Thiết kế như hình vẽ sau:
a) Hồ bơi có sức chứa tối đa bao nhiêu người?
a) Diện tích của mặt đáy là: 6.12,5=75 m2
Số người tối đa chứa trong hồ bơi là: 750,5=150 (người)
b) Tính thể tích của hồ bơi? Lúc này người ta đổ vào trong đó 120 000 lít nước. Tính khoảng cách của mực nước so với mặt hồ? (1m3 = 1000 lít).
b) Thể tích của hồ bơi là: 6.12,5.2=150 m3
Thể tích của nước trong hồ là: 120000:100=120 m3
Chiều cao của nước trong hồ là: 12075=1,6 m
Khoảng cách của mực nước so với mặt hồ là: 2−1,6=0,4 m .
Một bể hình hộp chữ nhật có chiều dài 2m. Lúc đầu bể không có nước. Sau khi đổ vào bể 120 thùng nước, mỗi thùng chứa 20 lít thì mực nước của bể cao 0,8m.
a) Tính chiều rộng của bể nước.
a) Thể tích của 120 thùng nước là:
V1=20.120=2400 (lít) = 2,4 (m3)
Chiều rộng của bể nước là: 2,40,8.2=1,5 (m)
b) Người ta đổ thêm vào bể 60 thùng nước nữa thì đầy bể. Hỏi bể cao bao nhiêu mét?
b) Thể tích của 60 thùng nước là:
V2=20.60=1200 (lít) = 1,2 (m3)
Thể tích của bể là:
V=V1+V2=2,4+1,2=3,6 m3
Chiều cao của bể là: 3,61,5.2=1,2 m
Người ta muốn làm xô nước dạng hình chóp cụt như hình dưới.
a) Hãy tính diện tích tôn cần thiết để gò nên xô nước theo các kích thước đã cho (xem phần ghép mí không đáng kể).
a) Diện tích tôn cần để gò nên cái xô chính là diện tích xung quanh hình chóp cụt:
Sxq=πR+rl=3,14.20+10.30=2826 cm2
b) Hỏi xô nước đã làm có thể chứa được tối đa bao nhiêu lít nước?
b) Thể tích của cái xô là: V=13πhR2+Rr+r2=13.3,14.25.202+20.10+102=18316 cm3
Vậy thể tích nước mà xô có thể chứa là 18,316 lít.
Một hồ bơi có dạng là một lăng trụ đứng tứ giác với đáy là hình thang vuông (mặt bên (1) của hồ bơi là 1 đáy của lăng trụ) và các kích thước như đã cho (xem hình vẽ). Biết rằng người ta dùng một máy bơm với lưu lượng là 42m3/phút và sẽ bơm đầy hồ mất 25 phút. Tính chiều dài của hồ. 
Gọi x m là chiều dài của hồ x>0
Diện tích hình thang vuông là: 3+0,5.x2=1,75x m2
Thể tích của hồ là: 1,75x.6=10,5x m3
Theo đề bài, ta có phương trình: 10,5x=25.42⇔x=100 (nhận)
Vậy chiều dài của hồ là 100m.
Nón lá dùng để che nắng, mưa, làm quạt khi nóng. Ngày nay nón lá cũng được xem là món quà đặc biệt cho du khách khi đến tham quan Việt Nam.
Biết một nón lá có đường kính vành là 50cm, đường sinh của nón là 35cm. Hãy tính thể tích của một nón lá.
Gọi bán kính mặt đáy nón là R và đường sinh AC là l thì R=502=25 cm và l = 35 (cm); OA = h
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AOC: OA2=AC2−OC2=352−252=600
⇒OA=106 cm
Thể tích nón lá: V=13π R2h=13π.252.106=625036.π cm3
Nón lá dùng để che nắng, mưa, làm quạt khi nóng. Ngày nay nón lá cũng được xem là món quà đặc biệt cho du khách khi đến tham quan Việt Nam.
Biết một nón lá có đường kính vành là 50cm, đường sinh của nón là 35cm. Hãy tính thể tích của một nón lá.
Gọi bán kính mặt đáy nón là R và đường sinh AC là l thì R=502=25 cm và l = 35 (cm); OA = h
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AOC: OA2=AC2−OC2=352−252=600
⇒OA=106 cm
Thể tích nón lá: V=13π R2h=13π.252.106=625036.π cm3
Người ta gắn một hình nón có bán kính đáy R = 8cm, độ dài đường cao h = 20 cm vào một nửa hình cầu có bán kính bằng bán kính hình nón (theo hình bên dưới). Tính giá trị gần đúng thể tích của hình tạo thành (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Thể tích của một nửa hình cầu là:
V1=12.43πR3=23π.83=10243π cm3
Thể tích của hình nón là:
V2=13Sh=13.π R2.h=13π.82.20=12803π cm3
Thể tích của hình tạo thành là:
V=V1+V2=10243π+12803π=768π=2413 cm3
Một cái bánh hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 3cm, chiều cao 4cm được đặt thẳng đứng trên mặt bàn. Một phần của cái bánh bị cắt rời ra theo các bán kính OA, OB và theo chiều thẳng đứng từ trên xuống dưới với AOB^=300 (như hình bên). Tính thể tích phần còn lại của cái bánh sau khi cắt?
Phần cái bánh bị cắt đi: 3003600=112 (cái bánh)
Phần cái bánh còn lại: 1−112=1112 (cái bánh)
Thể tích phần còn lại của cái bánh: π .32 . 4 . 1112=33π cm3
Tính lượng vải cần mua để tạo ra nón của chú Hề trong hình bên. Biết rằng tỉ lệ khâu hao vải khi may nón là 15%.
Bán kính của hình nón là: r=35−10.22=7,5 cm
Sxq=π.r.l=π.7,5.30=225π cm2
Svành nón=Stròn to−Stròn bé=π.3522−π.7,52=250π cm2
Diện tích vải cần có để làm nên cái mũ là tổng diện tích xung quanh của hình nón và diện tích vành nón với phần bị hao hụt 15% là: S=225π+250π+15%.225π+250π≈1716 cm2
Một con quạ đang khát nước. Nó bay rất lâu để tìm nước nhưng chẳng thấy một giọt nước nào. Mệt quá, nó đậu xuống cành cây nghỉ. Nó nhìn xung quanh và bỗng thấy một cái ly nước ở dưới một gốc cây. Khi tới gần, nó mới phát hiện ra rằng cái ly nước có dạng hình trụ: chiều cao là 15cm , đường kính đáy là 6cm , lượng nước ban đầu trong ly chỉ cao 5cm , cho nên nó không thể uống được nước. Nó thử đủ cách để thò mỏ được đến mặt nước, nhưng mọi cố gắng của nó đều thất bại. Nó nhìn xung quanh, nó thấy những viên sỏi hình cầu có cùng đường kính là 3cm nằm lay lắt ở gần đấy. Lập tức, nó dùng mỏ gắp 15 viên sỏi thả vào ly. Hỏi sau khi thả 15 viên sỏi, mực nước trong ly cách miệng ly bao nhiêu cm ? (P/S: chuyện hơi ly kỳ một tí, mong các bạn đừng “ném đá”, hãy chỉ chú ý đến kiến thức Toán trong câu chuyện).
Hình vẽ minh họa cho bài toán trên:
Diện tích đáy của ly nước: S=πD24=π.624=9π cm2
Thể tích của cái ly: V=S.h=9π.15=135π cm3
Thể tích nước trong ly: Vn=S.hn=9π.5=45π cm3
Bán kính viên sỏi: RS=32=1,5 cm
Thể tích của một viên sỏi: V1S=43π.RS3=43π.1,53=92π cm3
Thể tích của 15 viên sỏi: V15S=V1S.15=92π.15=1352π cm3
Sau khi cho 15 viên sỏi vào trong ly nước, tổng thể tích của nước và 15 viên sỏi là:
Vn−s=Vn+V15S=45π+1352π=2252π cm3
Thể tích phần ly mà nước chưa dâng lên tới là:
Vt=V−Vn−s=135π−2252π=452π=22,5π cm3
Gọi ht (cm) là chiều cao tính từ mặt thoáng của nước sau khi bỏ vào ly 15 viên sỏi đến miệng ly.
Ta có: Vt=S.ht⇔ht=VtS=22,5π9π=2,5 cm
Vậy khoảng cách tính từ mặt thoáng của nước sau khi bỏ vào ly 15 viên sỏi đến miệng ly là: 2,5cm.
Một hộp phô mai con bò cười gồm có 8 miếng, độ dày mỗi miếng là 20mm, nếu xếp chúng lại trên 1 đĩa thì thành hình trụ có đường kính 100mm.
a) Tính thể tích của 8 miếng phô mai.
Thể tích V=3,14hr2=3,14.20.10022=157000 mm3.
b) Biết khối lượng của mỗi miếng phô mai là 15g, hãy tính khối lượng riêng của nó? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
( Biết khối lượng riêng của vật cho bởi công thức d=PV , trong đó trọng lượng riêng của vật là P=9,8m, đơn vị N,với m là khối lượng vật đơn vị kg; V là thể tích vật, đơn vị m3; d có đơn vị N/m3).
Khối lượng riêng của hộp phô mai là d=PV=8.9,8.0,0150,000157=7490 N/m3.
