Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 9)
50 câu hỏi
Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ?
y=−x4+2x2−1
y=x4−2x2−1
y=x3−x2+x−1
y=−x4−2x2−1
Đáp án đúng là: A
Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số a<0 và có 3 điểm cực trị.
Một đội văn nghệ có 6 bạn nam và 4 bạn nữ. Có bao nhiêu cách chọn gồm 1 bạn nam và 1 bạn nữ để thể hiện một tiết mục song ca?
45
10
24
90
Đáp án đúng là: C
Có 6 cách chọn 1 bạn nam từ 6 bạn.
Có 4 cách chọn 1 bạn nữ từ 4 bạn.
Áp dụng quy tắc nhân, ta có 6.4 = 24 cách chọn gồm 1 bạn nam và 1 bạn nữ để thể hiện một tiết mục song ca.
Trong không gian Oxyz, đường thẳng d:x=1+3ty=−2−4tz=3−5t đi qua điểm nào dưới đây?
3;4;5
(-1;2;-3)
(-3;4;5)
(1;-2;3)
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng d:x=1+3ty=−2−4tz=3−5tđi qua điểm 1;−2;3
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=2x+52−x là đường thẳng có phương trình nào dưới đây?
y = -5
y = 2
y = 1
y = -2
Đáp án đúng là: D
Vì limx→±∞2x+52−x=−2nên y=−2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Cho ∫02fxdx=3 và ∫02gxdx=−1. Giá trị của tích phân ∫02fx−gxdx bằng
-2
2
4
-3
Đáp án đúng là: C
Ta có: ∫02fx−gxdx=∫02fxdx−∫02gxdx=3−−1=4
Môđun của số phức z=−3+4i bằng:
7
2
5
1
Đáp án đúng là: C
Ta có:z= −3+4i=32+42=5
Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là a; 2a; 3a là:
V=6a3
V=2a3
V=a3
V=3a3
Đáp án đúng là: A
Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là a, 2a, 3a là: V=a.2a.3a=6a3.
Đồ thị của hàm số y=2x−4x+1 cắt trục hoành tại điểm nào dưới đây?
(-2;0)
(-4;0)
(0;-4)
(2;0)
Đáp án đúng là: D
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2x−4x+1=0⇔x=2
Vậy đồ thị của hàm số y=2x−4x+1n2→=0;1;−2 cắt trục hoành tại điểm 2;0
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng P:x−2z+3=0 có một vectơ pháp tuyến là:
n1→=1;0;−2
n3→=1;−2;0
n4→=1;−2;3
n2→=1;2;3
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng P:x−2z+3=0 có một vectơ pháp tuyến là (1;0;-2).
Cho mặt cầu tâm O có đường kính 12 cm. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu đã cho khi và chỉ khi khoảng cách từ O đến (P) bằng
6cm
4 cm
24cm
12 cm
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tâm O có đường kính 12 cm khi và chỉ khi khoảng cách từ O đến (P) bằng bán kính mặt cầu và bằng .
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ và đồ thị y = f(x) như hình vẽ:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số nghịch biến trên khoảng −∞;−2
Hàm số đồng biến trên khoảng (-2;3)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1)
Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;1)
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng −∞;−2
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
của đồ thị hàm số đã cho là:
(-1;4)
(-1;0)
(3;-2)
(0;4)
Đáp án đúng là: A
Quan sát bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta thấy điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là (-1;4)
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ
Tổng giá trị cực đại và cực tiểu đã cho bằng
3
0
2
5
Đáp án đúng là: C
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số lần lượt là 3 và -1.
Vậy tổng giá trị cực đại và cực tiểu đã cho bằng 3 + (-1) = 2
Cho khối tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc vầB = AC = 2a, AD = 3a. Thể tích của khối tứ diện đã cho bằng
V=2a3.
V=3a3.
V=4a3.
V=a3.
Đáp án đúng là: A
Ta có AD⊥AB và AD⊥AC⇒AD⊥ABC
Thể tích khối tứ diện ABCD là V=13SABC⋅AD=13⋅12AB⋅AC⋅AD=2a3.
Đạo hàm của hàm số y=9x+2023 là:
y'=x.9x−1⋅
y'=9xln9⋅
y'=9x−1ln9⋅
y'=9xln9⋅
Đáp án đúng là: D
Ta có: y'=9x+2023'=9xln9
Cho cấp số cộng un, biết u1=1 và công sai d = 2. Giá trị u15 bằng
29
35
27
31
Đáp án đúng là: A
Ta có u15=u1+14d=1+14⋅2=29
Cho ∫1x2dx=Fx+C với x≠0 và C là hằng số. Khẳng định nào sau đây đúng?
F'x=2lnx
F'x=−2x3
F'x=1x2
F'x=−1x
Đáp án đúng là: C
Ta có ∫1x2dx=Fx+C⇒∫1x2dx'=Fx+C'⇔F'x=1x2.
Phần thực của số phức z=3−2i−4 là
7
1
- 2
-1
Đáp án đúng là: A
Ta có z=3−2i−4=7−2i có phần thực là .
Trên khoảng 0;+∞, đạo hàm của hàm số y=xe là
y'=exe−1
y'=1exe−1
y'=xe−1
y'=xe+1e+1
Đáp án đúng là: A
Ta có y'=xe'=e.xe−1.
Tập nghiệm của bất phương trình 42x+1≥64 là
1;+∞
−∞;1
−∞;−1
−1;+∞
Đáp án đúng là: A
Ta có 42x+1≥64⇔2x+1≥log464⇔2x+1≥3⇔x≥1.
Tập nghiệm của bất phương trình là S=1;+∞.
Tập nghiệm của bất phương trình log12x+1>−3 là
−1 ; 5
7 ; +∞
−1 ; 7
−1 ; 7
Đáp án đúng là: C
Ta có: log12x+1>−3⇔x+1>0x+1<12−3⇔x>−1x<7⇔−1<x<7.
Vậy tập nghiệm của bất phương là S=−1 ; 7.
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau 
Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2fx+m=0 có bốn nghiệm thực phân biệt là
7
4
6
5
Đáp án đúng là: D
Ta có : 2fx+m=0⇔fx=−m2.
Phương trình 2fx+m=0 có bốn nghiệm thực phân biệt ⇔−2<−m2<1⇔−2<m<4.
Kết hợp với điều kiện m∈ℤ⇒m∈−1; 0; 1; 2; 3.
Vậy có 5 giá trị m nguyên để phương trình 2fx+m=0 có bốn nghiệm thực phân biệt.
Cho hai số phức z1=1−i , z2=5i−3. Phần ảo của số phức w=z1⋅z¯2+z2 là
-1
3
-3
11
Đáp án đúng là: B
Ta có: w=z1.z¯2+z2=1−i.−3−5i+5i−3=−11+3i.
Phần ảo của số phức w là 3.
Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính của quả bóng bàn. Gọi S1 là tổng diện tích ba quả bóng bàn,S2là diện tích xung quanh hình trụ. Tỉ số S1S2 bằng
12
32
23
1
Đáp án đúng là: D
Gọi là bán kính của các quả bóng bàn.
Tổng diện tích ba quả bóng bàn là: S1=3.4πr2=12πr2.
Diện tích xung quanh hình trụ là: S2=2πr.6r=12πr2.
Vậy: S1S2=1.
Trong không gian Oxyz, gọi φ là góc giữa hai vectơ a→=1 ; 2; 0 , b→=2 ; 0; −1. Khi đó giá trị cosφ bằng
cosφ=25
cosφ=25
cosφ=0
cosφ=−25
Đáp án đúng là: A
Ta có: cosφ=a→.b→a→.b→=1.25.5=25.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;-3) và phương trình hai mặt phẳng (P): 2x + 2y + z +1 = 0, (Q): 2x – y + 2z – 1 = 0. Phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với cả (P) và (Q) là:
x−15=y−2−2=z+3−6
x−11=y−22=z+3−6
x−15=y−2−2=z+36
x−11=y−22=z+3−4
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là nP→=2;2;1.
Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến là nQ→=2;−1;2.
Đường thẳng d song song với cả (P) và (Q) nên có một vectơ chỉ phương là u→=nP→, nQ→ =5;−2;−6.
Vậy đường thẳng d cần tìm có phương trình là: x−15=y−2−2=z+3−6.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(2;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0 có bán kính bằng
R = 3
R = 9
R = 4
R = 2
Đáp án đúng là: D
Ta có: R=dI;P=2.2−1+2.1+122+−12+22=2.
Nếu ∫132fx+1dx=5 thì ∫13fxdx bằng
3
2
32
34
Đáp án đúng là: C
Ta có
∫132fx+1 dx=2∫13fx dx+∫131 dx=2∫13fx dx+2=5⇔∫13fx dx=32.
Cho hàm số fx=sinx+5x4. Khẳng định nào sau đây đúng?
∫fx dx=−cosx+20x3+C
∫fx dx=cosx+20x3+C
∫fx dx=−cosx+x5+C
∫fx dx=cosx+x5+C
Đáp án đúng là: C
Ta có ∫fx dx=∫sinx+5x4 dx=−cosx+x5+C.
Cho các số thực dương phân biệt a, b đều khác 1 và thỏa mãn lna=x, lnb=y. Tính giá trị của biểu thức P=lna5b4 theo x và y.
P=5x+4y
P=20xy
P=x5y4
P=x5+y4
Đáp án đúng là: A
Ta có P=lna5b4=5lna+4lnb=5x+4y.
Biết phương trình log22x+3log2x2−7=0 có hai nghiệm là x1,x2 (x1>x2). Giá trị của x1−2x2 bằng
12764
15
12964
14
Đáp án đúng là: A
Điều kiện: x > 0
log22x+3log2x2−7=0⇔log22x+6log2x−7=0
Đặt t=log3x, phương trình trở thành:
t2+6t−7=0⇔t=1t=−7⇔log2x=1log2x=−7⇔x1=2x2=1128 (do x1>x2)
Khi đó x1−2x2=3−2.12187=12764.
Cho hàm số y=fx xác định trên ℝ, có đạo hàm f'x=x3x−12(x+2),∀x∈ℝ. Khoảng nghịch biến của hàm số y=fx là:
−2; 0
−2; 0và (1;+∞).
−∞; −2và (0;1).
−∞; −2và (0;+∞).
Ta có: f'x=0 ⇔x3x−12(x+2)=0⇔x=0x=1 x=−2.
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;0).
Cho hình phẳng (H) giới hạn với đườngy=x−2,trục hoành và đường thẳng x = 9. Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) xung quanh trục hoành có thể tích V bằng:
V=11π6
V=5π6
V=13π6
V=7π6
Đáp án đúng là: A
Phương trình hoành độ giao điểm y=x−2 và trục hoành y = là
x−2=0⇔x≥0x=2⇔x≥0x=4⇔x=4.
Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:
V=π∫49x−22dx=π∫49x−4x+4dx=πx22−83x3+4x49=11π6.
Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a3,AC=a2 (tham khảo hình bên dưới)
Số đo góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng
60°.
90°.
30°.
45°.
Đáp án đúng là: A
Ta có: DC⊥ADDC⊥SA⇒DC⊥(SAD)⇒SD⊥DC
Khi đó SD⊥DCAD⊥DC⇒((SCD);(ABCD))=(SD;AD)=SDA^
Xét tam giác ADC có: AC=AD2=a22=a.
Xét tam giác vuông SCD vuông tại D có:
tanSDA^=SAAD=a3a=3⇒SDA^=60°.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 60°.
Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Xếp ngẫu nhiên các học sinh đó thành hàng ngang để chụp ảnh. Tính xác suất không có 2 học sinh nữ nào đứng cạnh nhau
6566
122
166
799
Đáp án đúng là: B
Số phần tử của không gian mẫu: nΩ=11!=39 916 800.
Gọi là biến cố “Không có 2 học sinh nữ nào đứng cạnh nhau”.
Bước 1: Xếp 6 bạn nam thành một hàng ngang có 6!=720 cách.
Bước 2: Giữa 6 bạn nam có 7 khoảng trống. Xếp 5 bạn nữ vào 7 vị trí xem giữa hai bạn nam hoặc ngoài cùng (để 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau).
Như vậy có A75=2 520 cách xếp.
⇒n(A)=720⋅2 520=1 814 400
Xác suất của biến cố A là: PA=nAnΩ=1 814 40039 916 800=122.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;6] và thỏa mãn f0=2, ∫022x−4f'xdx=4. Tính ∫06fx3dx.
I = 18
I = -6
I = -18
I = 6
Đáp án đúng là: D
Đặt x3=t⇒dx=3dt. Đổi cận: x=0⇒t=0x=6⇒t=2⇒∫06fx3dx=3∫02ftdt.
Đặt: 2x−4=uf'xdx=dv⇒2dx=dufx=v.
⇒∫022x−4f'xdx=2x−4fx02−2∫02fxdx=4f0−2∫02fxdx=4.
⇒4⋅2−2∫02fxdx=4⇒∫02fxdx=2.
Nên: ∫06fx3 dx=3∫02fxdx=6.
Cho số phức z thỏa mãn z−1=1. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w=1+i3z+2 là một đường tròn. Bán kính R của đường tròn đó là:
R = 8
R = 2
R = 16
R =
Đáp án đúng là: B
Ta có: w=1+i3z+2=1+i3z−1+3+i3.
⇒w−3−i3=1+i3z−1=1+i3z−1=2⋅1=2.
Gọi số phức w=x+yi.
⇒w−3−i3=x−3+y−3i=2
⇒x−32+y−32=2⇔x−32+y−32=22.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w=1+i3z+2 là một đường tròn có bán R = 2
Có bao nhiêu số phức z thỏa z+1−2i=z¯+3+4i và z−2iz¯+i là một số thuần ảo?
0
1
Vô số
D.
Đáp án đúng là: B
Giả sử z=x+yi x,y∈ℝ, điều kiện: x,y≠0;1 theo giả thiết: z+1−2i=z¯+3+4i
⇔x+12+y−22=x+32+4−y2
⇔x+12+y−22=x+32+4−y2
⇔x−y+5=0⇔x=y−5
Ta có:
z−2iz¯+i=x+y−2ix+1−yi=x+y−2ix−1−yix+1−yix−1−yi
z−2iz¯+i=x+y−2ix+1−yi=x+y−2ix−1−yix+1−yix−1−yi
Vì z−2iz¯+i thuần ảo nên x2+y−21−y=0⇔x2=y2−3y+2 *
Thế x=y−5 vào (*) ta được: y−52=y2−3y+2⇔7y=23⇔y=237 **
Với y=237⇒x=237−5=−127.
Vậy tồn tại 1 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong không gian Oxyzcho điểm M(4;2;0) và mặt phẳng (P): 2x + y – z – 4 = 0. Điểm H (a;b;c) là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P). Tính a + b + c.
a+b+c=6
a+b+c=4
a+b+c=-3
a+b+c=2
Đáp án đúng là: B
Phương trình đường thẳng HM đi qua M(4;2;0) nhận vectơ pháp tuyến của (P) là nP→=2;1;−1làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là x=4+2ty=2+tz=−t
⇒H4+2t;2+t;−t.
Mà H∈P⇒24+2t+2+t+t−4=0⇔t=−1
⇒H2;1;1⇒a+b+c=2+1+1=4.
Tính tổng tất cả các nghiệm nguyên của phương trình
log3x2+8−log3x+x2−9x+6≤0.
72
28
36
45
Đáp án đúng là: C
Điều kiện x > 0
log3x2+8−log3x+x2−9x+6≤0
⇔log3x2+8+x2+8≤log3x+2+9x
⇔log3x2+8+x2+8≤log39x+9x
⇔fx2+8≤f9x.
Với ft=log3t+t luôn đồng biến trên khoảng 0;+∞.
Do đó x2+8≤9x⇔x2−9x+8≤0⇔1≤x≤8
Vậy tổng tất cả nghiệm nguyên của phương trình là: 1+2+3+4+5+6+7+8=36.
Cho đồ thị (C) của hàm số đa thức bậc ba và parabol (P) có đỉnh trênOx và trục đối xứng của (P) vuông góc với trục hoành như hình vẽ. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C)và (P) (phần tô đen)
3017192
343192
1393192
937192
Đáp án đúng là: D
Xét P: fx=ax2+bx+c có đỉnh I−1;0 và có f(−1)=0 ; f1=2
⇒−b2a=−1a−b+c=0a+b+c=2⇔a=12b=1c=12
Vậy P: fx=12x2+x+12.
Xét C:gx=ax3+bx2+cx+d⇒g'x=3ax2+2bx+c.
Ta có g'−2=0g'0=0g0=−2g1=2⇔12a−4b+c=0c=0d=−2a+b+c+d=2⇔a=1b=3c=0d=−2
Vậy C:gx=x3+3x2−2=0
Phương trình hoành độ giao điểm
x3+3x2−2=12x2+x+12⇔x3+52x2−x−52=0⇔x=−52; x=−1; x=1.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C)và (P) là:
S=∫−521x3+3x2−2−12x2+x+12 dx
=∫−521x3+52x2−x−52 dx=∫−52−1x3+52x2−x−52 dx+∫−11x3+52x2−x−52 dx
=∫−52−1x3+52x2−x−52 dx+∫−11−x3−52x2+x+52 dx
=9964+103=937192.
Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y=x3+3x2+m−3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈−5;100 để tam giác OAB có góc OAB không tù (O là gốc tọa độ)?
102
101
100
103
Đáp án đúng là: D
Ta có y'=3x2+6x. Từ đó y'=3x2+6x=0⇔x=0x=−2
Vậy A0;m−3; B−2;m+1; OA2=m−32; OB2=4+m+12; AB2=20.
Áp dụng định lí côsin trong ΔAOB có: cosAOB^=OA2+OB2−AB22.OA.OB.
Khi đó để tam giác OAB có góc OAB không tù thì cosAOB^≥0
⇔OA2+OB2−AB2≥0⇔2m2−4m−6≥0⇔m≤−1m≥3
Lại có m∈ℤ và m∈−5;100 suy ra m∈−5;−4;...;−1;3;4;...;100.
Vậy có 103 giá trị của m.
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông cân tại C, BC=a2 và gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’B’. Biết khoảng cách từ A’ đến mặt phẳng (AC’M)bằng 223a. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
42a3
2a3
22a3
263a3
Đáp án đúng là: C
Ta có SABC=12BC2=a2 ;AB=A'B'=BC.2=2a; A'M=a
Kẻ A'H⊥AM .
Ta có C'M⊥A'AM⇒C'M⊥A'H.
Từ đó suy ra A'H⊥AMC'⇒dA';AC'M=A'H=22a3.
Xét tam giác A'AM có 1A'H2=1A'A2+1AM2⇒A'A=2a2
Vậy VABC.A'B'C'=A'A⋅SABC=22a3.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a, AB = 2a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnhAB và SH=a62. Tính khoảng cách d từ trọng tâm G của tam giác SCD đến mặt phẳng (SBC).
d=2a3
d=a66
d=215 a15
d=a612
Đáp án đúng là: D
Ta có: ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD=CD=a; AB=2a;
Hơn nữa H là trung điểm của AB do đó ADCH là hình vuông, DHBC là hình bình hành, tam giác BHC vuông cân tại H.
Gọi K là trung điểm của BC. Suy ra HK⊥BC
Từ H kẻ HI⊥SK
Do BC⊥HK, BC⊥SH⇒ BC⊥SHK⇒ BC⊥HI
Mà HI⊥SK ⇒HI⊥SBC.
Vậy dH,SBC=HI
Tam giác BHC vuông cân tại H với HB = HC = a nên HK=HB.22=a22.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHK ta có:
1HI2=1SH2+1HK2 =46a2+42a2=83a2⇒HI=a64
dG,SBC=23dM,SBC=23.12dD,SBC=13dH,SBC=13HI=a612.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu x+12+y−22+z−12=9 và mặt phẳng P:x+2y+2z+6=0;Q:x−2y+z+2023=0. Điểm N di động trên (S), điểm (M) đi động trên (P) sao cho MN vuông góc với (Q). Độ dài lớn nhất của đoạn thẳng MN bằng
96
206
9+23
116
Đáp án đúng là: B
Xét (S) có tâm I ( -1;2;1) và bán kính R =3.
Ta có: dI,P=−1+2.2+2.1+612+22+22=113>R.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng (P) và α là góc giữa MN và NH.
Vì MN→⊥Q nên góc α có số đo không đổi, α=HNM^.
Ta có HN=MN.cosα⇒MN=1cosα.HN nên MN lớn nhất ⇔HN lớn nhất.HN=dI,P+R=203.
Lại có cosα=cosu→,nP→=136 nên MN≤1cosαHN=136⋅203=206.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a∈−100;+∞ để hàm số y=x4+2ax2+8x−a2+55 nghịch biến trên khoảng −2;−1?
93
102
104
103
Đáp án đúng là: B
Xét hàm số fx=x4+2ax2+8x−a2+55
f'x=4x3+4ax+8
Để y=fx nghịch biến trên khoảng (-2;-1)
· Trường hợp 1: f'x≥0,∀x∈−2;−1f−1≤0
f'x=4x3+4ax+8≥0⇔a≤−x3−2x,∀x∈−2;−1⇔a≤Min−2;−1−x3−8x=−3. f−1≤0⇔1+2a−8−a2+55≤0⇔−a2+2a+48≤0⇔a≤−6a≥8 f−1≤0⇔1+2a−8−a2+55≤0⇔−a2+2a+48≤0⇔a≤−6a≥8. |
|
Suy ra a≤−6.
Kết hợp với điều kiện a∈−100;+∞⇒a=−99;−98;...;−6 có 94 giá trị.
· Trường hợp 2: f'x≤0,∀x∈−2;−13f−1≥04
f'x=4x3+4ax+8≤0⇔a≥−x3−2x,∀x∈−2;−1⇔a≥Max−2;−1−x3−8x=1 f−1≥0⇔1+2a−8−a2+55≥0⇔−a2+2a+48≥0⇔−6≤a≤8 |
|
Suy ra 1≤a≤8.
Kết hợp với điều kiện a∈−100;+∞⇒a=1;2;...;8 có 8 giá trị.
Kết luận: Có tất cả 94 + 8 = 102 giá trị thoả mãn
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;2), trong đó a, b là các số hữu tỷ dương tùy ý và mặt phẳng (P) có phương trình2x – 2y + 1 = 0. Biết rằng (ABC) vuông góc với (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng 233. Giá trị của ab bằng:
0
4
14
1
Đáp án đúng là: C
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểmAa;0;0, B0;b;0, C0;0;2 là
xa+yb+z2=1, a, b là các số hữu tỷ dương.
Đặt m=1a; n=1b ta có phương trình mặt phẳng ABC:mx+my+12z−1=0.
Vì a, b là các số hữu tỉ dương nên m>0; n>0nABC→nP→=0⇔2m−2n=0⇔m=n.
Do (ABC) vuông góc với (P) nên nABC→nP→=0⇔2m−2n=0⇔m=n.
Ta có dO,ABC=1m2+m2+14=233⇒m=2m=−2.
Kết hợp với điều kiện m > 0 ta chọn m = 2.
Với m=2⇒n=2⇒mn=1ab=4⇒ab=14.
Có bao nhiêu cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn
log3x2+y2+7x+14y2+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y
21
20
23
22
Đáp án đúng là: B
Điều kiện x2+y2+7x+14y≠0x2+y2+30x+60y>0x+2y>0⇔x+2y>0.
log3x2+y2+7x+14y2+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y
⇔2log3x2+y2+7x+14y+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y⇔2log3x2+y2+7x+14y+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y⇔2log3x2+y2+7x+14y+log2x2+y2≤log2x2+y2+30x+60y+2log3x+2y
⇔2log3x2+y2+7x+14y−2log3x+2y≤log2x2+y2+30x+60y−log2x2+y2
⇔2log3x2+y2+7x+14yx+2y≤log2x2+y2+30x+60yx2+y2
⇔2log3x2+y2x+2y+7≤log21+30x+2yx2+y2.
⇔2log3x2+y2x+2y+7−log21+30x+2yx2+y2≤0
Đặt t=x2+y2x+2y với t>0.
Khi đó, bất phương trình tương đương 2log3t+7−log21+30t≤0
Xét hàm số ft=2log3t+7−log21+30t.
Ta có f't=2t+7ln3+30t21+30tln2>0,∀t>0.
Nên f(t) đồng biến trên 0;+∞.
Mặt khác ft=0⇔t=2 nên 2log3t+7−log21+30t≤0⇔t≤2
⇔x2+y2x+2y≤2⇔x2+y2≤2x+4y⇔x−12+y−22≤5.
Mà x+2y>0 nên x−12+y−22≤5.
Vậy có tất cả 20 cặp (x,y) thỏa mãn.
Cho hai số phức z, w thỏa mãn w+i=310 và 10w=3−iz−3. Giá trị lớn nhất của biểu thức P=z−2−i+z−6−i bằng
3+10
258
310
253
Đáp án đúng là: D
Ta có: 10w=3−iz−3⇔10w+i=3−iz−3+10i.
Môđun hai vế ta được:
10w+i=3−iz−3+10i⇔10w+i=3−iz−3+10i3−i⇔10.310=3−iz−3−1+3i⇔310=3−i.z−4+3i⇔310=10.z−4+3i⇔z−4+3i=3Đặt z=x+yi x,y∈ℝ có điểm biểu diễn là Mx;y.
Khi đó z−4+3i=3⇔x−42+y+32=9 nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn (C) có tâm I = (4;-3) và bán kính bằng R = 3.
Ta có P=z−2−i+z−6−i=z−2+i+z−6+i=MA+MB vớiA2;1; B6;1.
Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AB, suy ra E (4;1).
Xét tam giác MAB ta có:
ME2=2MA2+MB2−AB24⇒2MA2+MB2=4ME2+AB2=4ME2+16.
Ta có:
P2=MA+MB2=1.MA+1.MB2≤12+12MA2+MB2
=2MA2+MB2=4ME2+16
⇒P2≤4ME2+16≤4IMmax+IE2+16=43+42+16=212⇒P≤212=253.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 253.
Cho hình nón (N) có đỉnhO, chiều cao h = 12 cm. Một khối nón (N’)có đỉnh là tâm đáy của (N) và có đáy là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O đã cho (tham khảo hình vẽ). Tính chiều cao x, (0 < x < 12) của khối nón (N’) để thể tích của nó là lớn nhất.
x= 6cm
x=63 cm
x = 4 cm
x = 8
Đáp án đúng là: C
Gọi x là chiều cao cần tìm; R,r lần lượt là chiều cao của khối nón lớn và bé.
Khi đó rR=h−xh⇒r=R(h−x)h.
Thể tích khối nón đỉnh (N') là
V=13πR(h−x)h2x=πR26h2(h−x)22x≤ πR26h2(h−x+h−x+2x)327=4πR2h81.
Dấu đẳng thức xảy ra khi h−x=2x⇔x=h3=123=4.
