Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 20)
50 câu hỏi
Cho khối chóp có diện tích đáy B = 3 và chiều cao h = 4. Tính thể tích của khối chóp đã cho.
4
12
6
36
Đáp án đúng là: A
Thể tích của khối chóp đã cho bằng: .13B.h=4
Trên khoảng 0 ; +∞, tính đạo hàm của hàm số y=x53.
y'=35x23
y'=38x83
y'=53x−23
y'=53x23
Đáp án đúng là: D
Có y'=x53'=53x23.
Nếu ∫12fxdx=5 và ∫23fxdx=−2 thì ∫13fxdx bằng
-7
3
7
-10
Đáp án đúng là: B
∫13fxdx=∫12fxdx+∫23fxdx=5+−2=3.
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a3, BC=a và AA'=2a3 (tham khảo hình vẽ).
Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.
3a3
6a3
a3
3a33
Đáp án đúng là: A
Thế tích khối lăng trụ là: V=S.h=12a23.2a3=3a3.
Với a là số thực dương tùy ý, log33a bằng
3+log3a
1+log3a
3log3a
1−log3a
Đáp án đúng là: B
log33a=log33+log3a=1+log3a.
Số phức liên hợp của số phức z=6−7i là
z¯=7−6i
z¯=6+7i
z¯=−6−7i
z¯=−3+7i
Đáp án đúng là: B
Số phức liên hợp của số phức z=6−7i là z¯=6+7i.
Cho hình trụ có chiều cao bằng 5và đường kính đáy bằng 8.Tính diện tích xung quanh của hình trụ đã cho
20π
80π
160π
40π
Đáp án đúng là: D
Bán kính đáy của trụ là: r=4
Áp dụng công thức diện tích xung quanh hình trụ ta được: Sxq=2πrl=2π.4.5=40π.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình x−23=y+1−1=z+32. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d?
M−1; −2 ; −1
N2 ; −1 ; −3
P5 ; −2 ; −1
Q−1 ; 0 ; −5
Đáp án đúng là: A
Thay tọa độ điểm M−1; −2 ; −1 vào phương trình đường thẳng d ta có −1−23≠−2+1−1=−1+32 nên điểm M−1 ; −2 ; −1∉d.
Cho cấp số cộng unvới u1=1 và u2=4. Tìm công sai của cấp số cộng đã cho.
-3
3
5
4
Đáp án đúng là: B
Công sai cấp số cộng: d=u2−u1=4−1=3.
Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm f’(x) như sau:
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
2
5
3
4
Đáp án đúng là: D
Dựa vào bảng xét dấu, hàm số đã cho có 4 điểm cực trị.
Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng (Oyz)?
x = 0
z = 0
y = 0
y - z = 0
Đáp án đúng là: A
Phương trình của mặt phẳng (Oyz) là x = 0.
Với n là số nguyên dương bất kì, n≥5, công thức nào dưới đây đúng?
An5=n!5!n−5!
An5=n!n−5!
An5=5!n−5!
An5=n−5!n!
Đáp án đúng là: B
Ta có An5=n!n−5!.
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=2x−1x+2 là đường thẳng có phương trình nào dưới đây?
x = 2
x = -2
y = -2
y = 2
Đáp án đúng là: B
Ta có limx→−2+y=limx→−2+2x−1x+2=−∞;limx→−2−y=limx→−2−2x−1x+2=+∞.
Vậy x=−2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm thực của phương trình 2f(x) – 1 = 0 là
1
2
4
3
Đáp án đúng là: C
Ta có 2fx−1=0⇔fx=12.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 4 nghiệm thực.
Số phức nào dưới đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như hình bên?
z1=1−2i
z2=1+2i
z4=2+i
z3=−2+i
Đáp án đúng là: D
Điểm biểu diễn của z3=−2+i là M(-2;1).
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
y=−x3+2x2+1
y=x4−2x2+3
y=x+1x−1
y=−x4+2x2+1
Đáp án đúng là: D
Ta có đây là hình dáng của đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương y=ax4+bx2+ca≠0, mặt khác nhánh cuối đi xuống nên a<0. Vậy chọn D.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P:2x−3y+z−2=0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?
n4→=2;1;−2
n2→=2;−3;−2
n3→=−3;1;−2
n1→=2;−3;1
Đáp án đúng là: D
n1→=2;−3;1 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Viết công thức tính thể tích V của khối cầu có bán kính R.
V=43πR3
V=13πR3
V=4πR3
V=πR3
Đáp án đúng là: A
Thể tích khối cầu là: V=43πR3.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S:x2+y2+z2+2y−2z−7=0. Tính bán kính của mặt cầu đã cho.
15
9
3
7
Đáp án đúng là: C
Ta có R=02+−12+12+7=3.
Tìm tập nghiệm của bất phương trình 2x−1<8.
5; +∞
−∞; 5
4; +∞
−∞; 4
Đáp án đúng là: D
Ta có 2x−1<8⇔2x−1<23⇔x−1<3⇔x<4.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là −∞; 4.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
(-1;1)
−∞;−1
−3; 1
1;+∞
Đáp án đúng là: A
Dựa vào đồ thị, hàm số đồng biến trên (-1;1).
Cho hai số phức z = 3 + 2i và w = 1 – 4i. Tính z + w.
4+2i
−2−6i
4−2i
2+6i
Đáp án đúng là: C
z+w=3+2i+1−4i=4−2i.
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
4
-3
2
-1
Đáp án đúng là: A
Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị cực đại của hàm số là 4.
Nếu ∫022x−3fxdx=3 thì ∫02fxdx bằng
13
52
−13
−52
Đáp án đúng là: A
∫022x−3fxdx=3⇔∫022xdx−3∫02fxdx=3⇔∫02fxdx=13.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số fx=13x3+mx2+4x−2 đồng biến trên ℝ?
4
5
2
3
Đáp án đúng là: B
TXĐ: D=ℝ.
Ta có f'x=x2+2mx+4.
Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ⇔f'x≥0 ∀x∈ℝ⇔m2−4≤0⇔−2≤m≤2.
Mà m∈ℤ⇒m=−2;−1;0;1;2.
Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 2log2b−3log2a=2. Khẳng định nào sau đây đúng?
a3b2=4
2b−3a=2
b2=4a3
b2−a3=4
Đáp án đúng là: C
Ta có: 2log2b−3log2a=2
⇔log2b2−log2a3=2⇔log2b2a3=2⇔b2a3=4⇔b2=4a3
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số fx=24x−3 trên khoảng 1;+∞ là
12ln4x−3+C
14ln4x−3+C
8ln4x−3+C
2ln4x−3+C
Đáp án đúng là: A
Đặt t=4x−3⇒dt=4dx
∫fxdx=∫2t.dt4=12∫1tdt=12lnt+C=12ln4x−3+C
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a (tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.
3a77
2a33
3a22
2a55
Đáp án đúng là: D
Kẻ AH⊥SD
Ta có: CD⊥ADCD⊥SASA⊥ABCD⇒CD⊥SAD⇒CD⊥AH
AH⊥SDAH⊥CD⇒AH⊥SCD
Mặt khác: AB//CD⇒AB//SCD
dAB,SD=dAB,SCD=dA,SCD=AH
Xét ΔSAD vuông tại A có:
1AH2=1SA2+1AD2=1a2+14a2⇒AH=25a5
.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P:4x+y+2z+1=0 và điểm M(4;2;1). Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (P).
M'12;4;5
M'−4;0;−3
M'−12;−2;−7
M'4;2;1
Đáp án đúng là: B
Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với P⇒ud→=nP→=4;1;2.
Ta có d:x=4+4ty=2+tz=1+2t. Gọi I=d∩P⇒I=4+4t;2+t;1+2t.
I∈P⇒44+4t+2+t+21+2t+1=0⇔21t+21=0⇔t=−1⇒I0;1;−1
Vì I là trung điểm của MM' nên M'(-4;0-3).
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình f’(f(x) + 3) = 0.
2
4
3
6
Đáp án đúng là: B
Từ đồ thị hàm số ta có:
f'fx+3=0⇔fx+3=−1fx+3=1⇔fx=−4fx=−2
Vậy phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt.
Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình log2x2+x+1=2+log2x.
6
3
1
32
Đáp án đúng là: B
Điều kiện: x > 0
Ta có log2x2+x+1=2+log2x
⇔log2x2+x+1=log24x
⇔x2+x+1=4x
⇔x2−3x+1=0⇔x=3±52(thoả mãn).
Vậy tổng các nghiệm bằng 3.
Cho số phức z thoả mãn điều kiện 1+2iz+z¯=i. Tính môđun của z.
z=12
z=5
z=22
z=5
Đáp án đúng là: C
Gọi z=a+bi⇒z¯=a−bi.
Ta có 1+2iz+z¯=i
⇒1+2ia+bi+a−bi=i
⇔2a−2b+2ai=i
⇔2a−2b=02a=1
⇔a=b=12.
Khi đó z=12+12i⇒z=22.
Tìm tập nghiệm của bất phương trình log3x2−2x≥1.
−1;3
−1;3
−∞;−1∪3;+∞
−∞;−1∪3;+∞
Đáp án đúng là: D
Điều kiện: x2−2x>0⇔x<0x>2.
Ta có log3x2−2x≥1⇔x2−2x≥3⇔x2−2x−3≥0⇔x≥3x≤−1.
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là −∞;−1∪3;+∞.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy và SA=a6 (tham khảo hình vẽ). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
30°
45°
90°
60°
Đáp án đúng là: D
Gọi O=AC∩BD. Suy ra O là trung điểm của AC và AO=AC2=AB22=a2.
Vì ABCD là hình vuông nên AC⊥BD(1).
Vì SA⊥ABCD⇒SA⊥BD mà AC⊥BD nên BD⊥SAC⇒BD⊥SO (2).
Từ (1) và (2), ta có góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là SOA^.
Xét ΔSOA vuông tại A, có tanSOA^=SAAO=a6a2=3⇒SOA^=60°.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;0), B(1;1;2) và C(2;3;1). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A và song song với đường thẳng BC.
x−11=y−22=z−1
x−13=y−24=z3
x+13=y+24=z3
x+11=y+22=z−1
Đáp án đúng là: A
Ta có Δ có một vectơ chỉ phương là BC→=1;2;−1.
Vậy phương trình đường thẳng Δ: x−11=y−22=z−1.
Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=−x2+3x và y = 0 xung quanh trục Ox.
5π2.
27π10.
81π10.
9π2.
Đáp án đúng là: C
Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đường y=−x2+3x và y=0 là −x2+3x=0⇔x=0x=3.
Do đó thể tích khối tròn xoay cần tính là V=π∫03−x2+3x2dx=81π10.
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số fx=ex+2x thỏa mãnF(0) = 2. Tìm F(x).
Fx=ex+x2+1
Fx=ex+x2+2
Fx=ex+2x2+1
Fx=ex+x2−1
Đáp án đúng là: A
Ta có, Fx=∫fxdx=∫ex+2xdx=ex+x2+C.
Mà F0=2⇒C=1.
Do đó Fx=ex+x2+1.
Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 5 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một viên bi. Tính xác suất để 2 viên bi lấy ra cùng màu.
935
2956
29105
2756
Đáp án đúng là: B
- Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một bi có C71.C81=56 cách.
Do đó số phần tử của không gian mẫu là nΩ=56.
- Gọi A là biến cố “Lấy được 2 viên bi cùng màu”.
+ Trường hợp 1: Lấy được 2 viên bi màu đỏ có C51.C41=20 cách.
+ Trường hợp 2: Lấy được 2 viên bi màu trắng có C31.C31=9 cách.
Suy ra số phần tử của biến cố A là nA=20+9=29.
Vậy xác suất của biến cố A là pA=nAnΩ=2956.
Trong không gianOxyz, cho hai đường thẳng Δ: x2=y+23=z4, d: x−12=y−21=z−12. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng Δ và song song với đường thẳng d. Tính khoảng cách từ điểm M(3;0;-1) đến mặt phẳng (P).
3
23
53
1
Đáp án đúng là: A
Δ đi qua điểm H(0;-2;) và có VTCP uΔ→=2; 3; 4.
d đi qua điểm N(1;2;1) và có VTCP ud→=2;1; 2.
nP→=uΔ→; ud→=1; 2; −2.
P: 1x−0+2y+2−2z−0=0⇔x+2y−2z+4=0.
Thử lại N∉P nên thỏa mãn.
dM; P=3+2.0−2−1+412+22+−22=3.
Trên tập hợp số phức, xét phương trình z2+az+b=0 (a, b là các số thực). Có bao nhiêu cặp số (a,b) để phương trình đó có hai nghiệm z1, z2 thỏa mãn z1−3=1−z2i ?
4
1
3
2
Đáp án đúng là: C
Ta có Δ=a2−4b.
TH1: Δ≥0⇔a2−4b≥0 thì z1, z2∈ℝ
z1−3=1−z2i⇔z1−3=00=1−z2⇔z1=3z2=1⇔z1=3z2=1hoặc z1=3z2=−1.
+) z1=3z2=1⇒S=4P=3⇔−a=4b=3⇔a=−4b=3 (thỏa mãn).
+) z1=3z2=−1⇒S=2P=−3⇔−a=2b=−3⇔a=−2b=−3 (thỏa mãn).
TH2: Δ<0⇔a2−4b<0 thì z1, z2∉ℝ⇒z1=z2¯.
z1−3=1−z2i⇔z1=3+1−z1i
⇒z1=9+1−z12⇔z12=10−2z1+z12⇔z1=5
⇒z1=3−4i⇒z2=3+4i ⇒S=6P=25⇔−a=6b=25⇔a=−6b=25(thỏa mãn).
Vậy có 3 cặp số (a,b) thỏa mãn.
Cho khối nón (N)có đỉnh S, tâm đường tròn đáy là O, góc ở đỉnh bằng 120°. Một mặt phẳng(P) đi qua S, cắt hình nón (N) theo thiết diện là tam giác vuôngSAB. Biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng ABvà SO bằng 4. Tính thể tích Vcủa khối nón (N).
V=192π
V=128π
V=96π
V=64π
Đáp án đúng là: D
Gọi I là trung điểm AB ⇒OI⊥SOOI⊥AB⇒dSO , AB=OI = 4 .
Đặt OE=R⇒SO=R33SE=2R33⇒SI=SO2+OI2=R23+16 .
Mặt khác AB=2AI=2AO2−OI2=2R2−16.
Vì ΔSAB vuông tại S nên
SI=12AB⇔R23+16=R2−16⇔R2=48⇔R=43 .
⇒h=SO=4
Vậy V=13πR2.h=13π.48.4=64π.
Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ. Gọi xFx,Gx là hai nguyên hàm của f(x) trên ℝ thỏa mãn 3F1+G0=6 và F1−G1=6.
Tính ∫0π2sin2x.fcos2xdx.
-2
4
2
-4
Đáp án đúng là: B
Đặt t=cos2x⇒dt=−sin2xdx.
Đổi cận x=0⇒t=1x=π2⇒t=0.
I=∫10ft−dt=∫01ftdt=tFt01=F1
Ta có: Gx=xFx+C.
3F(1)+G(0)=6F(1)−G(1)=6⇔3F(1)+C=6F(1)−F1−C=6⇔F1=4C=−6⇒I=4
Vậy I=4.
Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn log28x2+log33x3≥log2x.log3x?
27
8
134
133
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: x > 0.
log28x2+log33x3≥log2x.log3x
⇔2log2x+3log32.log2x−log2x.log32.log2x+4≥0
⇔−log32.log2x2+2+3log32.log2x+4≥0
⇔−0,897...⏟A≤log2x≤7,067...⏟B⇔0,536...≤x≤134,087...
Vì x∈ℤ nên x∈1; 2; ...; 134. Có 134 số nguyên x thỏa mãn.
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a và BC = 4a. Gọi M là trung điểm của B’C’, biết khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (B’AC) bằng 6a13. Tính thể tích Vcủa khối lăng trụ đã cho.
V=6a3
V=12a3
V=4a3
V=2a3
Đáp án đúng là: A
Ta có SΔABC=12AB.BC=12.3a.4a=6a2.
Gọi H là giao điểm của MB và B'C.
Khi đó, theo định lý Ta-let ta có HMHB=MB'BC=12.
Ta có dM,B'ACdB,B'AC=MHBH=12⇒dB,B'AC=2dM,B'AC=12a13.
Từ B dựng BK vuông góc với AC với K∈AC.
Kẻ BI vuông góc với B'K với I∈B'K.
Vì BK⊥AC,BB'⊥AC nên AC⊥BB'K⇒AC⊥BI.
Ta có BI⊥B'KBI⊥AC⇒BI⊥B'AC⇒BI=dB,B'AC=12a13.
Xét ΔABC vuông tại B, ta có:
AC=AB2+BC2=5a, BK.AC=BA.BC⇔BK=3a.4a5a=12a5.
Xét ΔBB'K vuông tại B có:
1BI2=1BK2+1BB'2⇔1BB'2=112a132−112a52=1a2⇔BB'2=a2⇔BB'=a
Vậy VABC.A'B'C'=SΔABC.BB'=6a2.a=6a3.
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số gx=f2x−mfx có đúng 5 điểm cực trị?
15
8
6
13
Đáp án đúng là: D
Ta có: gx=f2x−mfx⇒g'x=2fxf'x−m.f'x=f'x2fx−m
Nên: g'x=0⇔f'x=0fx=m2 để hàm số g(x) có 5 điểm cực trị thì phương trình g'(x) = 0 phải có 5 nghiệm bội lẻ, suy ra fx=m2 cần có 3 nghiệm bội lẻ: −3<m2<4⇔−6<m<8
Vậy có 13 giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) có 5 điểm cực trị.
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng Δ: x2=y−1−1=z−1−1. Hai điểm M, N thay đổi, lần lượt nằm trên các mặt phẳng P: x−2=0, Q: z−2=0 sao cho trung điểm K của đoạn thẳng MN luôn thuộc đường thẳng Δ. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN thuộc khoảng nào dưới đây?
(2;3)
(1;2)
(4;5)
(3;4)
Đáp án đúng là: D
Gọi M2; a; b∈P, K2t; 1−t; 1−t∈Δ.
Vì K là trung điểm của MN nên
xN=2.2t−2=4t−2yN=2.1−t−a=2−2t−azN=2.1−t−b=2−2t−b⇒N4t−2; 2−2t−a; 2−2t−b
Mà N∈Q nên −2t−b=0⇔2t=−b⇒M2; a; b, N−2b−2; 2+b−a; 2.
Ta có
MN2=4+2b2+2a−b−22+b−22=4a2−4ab−8a+6b2+16b+24
=2a−b−22+5b+652+645≥645⇒MN≥85≈3,5777...
Dấu bằng xảy ra khi 2a−b−2=0b+65=0⇔a=25b=−65.
Cho hàm số y = f’(x) có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y=2flnx−ln2x+1−m nghịch biến trên 1; e, biết f1=2?
5
3
4
2
Đáp án đúng là: C
Đặt t=lnx, ta có:
Bài toán trở thành tìm giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y=2ft−t2+1−m nghịch biến trên 0; 1.
Xét hàm số ht=2ft−t2+1−m trên 0; 1 có h't=2f't−t<0, ∀t∈0; 1.
Do đó yêu cầu bài toán ⇔h1≥0⇔2f1−12+1−m≥0⇔m≤4.
Vậy có 4 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn.
Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn
log35−x+2y+2log25−x+3≥log3y+log25−x+3y2?
50
61
60
51
Đáp án đúng là: A
Điều kiện: x; y∈ℤ5−x>0y≠0.
Ta có: log35−x+2y+2log25−x+3≥log3y+log25−x+3y2
⇔log35−xy+2+2log25−x5−x+3y+3≥0
⇔log35−xy+2−2log21+3y5−x+3≥0 (*).
Đặt t=5−xy>0
*⇔log3t+2−2log21+3t+3≥0 (**).
Xét hàm số ht=log3t+2−2log21+3t+3.
h't=1ln3t+2+6t2.1+3t.ln2>0, ∀t>0, mặt khác h1=0.
Do đó **⇔t≥1⇔5−xy≥1⇔y≤5−x.
Với x=0⇒y≤5⇒y∈−5,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,5, có 10 cặp (x;y) thỏa mãn.
Với x=±1⇒y≤4⇒y∈−4,−3,−2,−1,1,2,3,4, có 16 cặp (x;y) thỏa mãn.
Với x=±2⇒y≤3⇒y∈−3,−2,−1,1,2,3, có 12 cặp (x;y) thỏa mãn.
Với x=±3⇒y≤2⇒y∈−2,−1,1,2, có 8 cặp (x;y) thỏa mãn.
Với x=±4⇒y≤1⇒y∈−1,1, có 4 cặp (x;y) thỏa mãn.
Vậy có 50 cặp (x;y) thỏa mãn.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên 0; +∞, f(1) = 1 và thỏa mãn x3fx+2f3x=2x4f'x, ∀x∈0; +∞. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=1; x=4.
152
143
2554
625
Đáp án đúng là: D
Ta có x3fx+2f3x=2x4f'x
⇔x3fx−2xf'x=−2f3x
⇔x3fx−2xf'xf3x=−2
⇔x3.f2x−2xfx.f'xf4x=−2
⇔x3.x'.f2x−x.f2x'f4x=−2
⇔xf2x'=−2x3=1x2'
⇒xf2x=1x2+C
Cho x=1⇒1=1+C⇔C=0⇒f2x=x3⇔fx=xx.
Vậy S=∫14xx dx=625.
Xét các số phức z, w thỏa mãn z+2w=1 và 3z−w=2. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P=7z+w+z+9w. Tính giá trị của M2−m2.
65
16
64
17
Đáp án đúng là: B
Đặt z1=z+2w, z2=3z−w. Gọi Az1, Bz2⇒OA=1; OB=2.
P=4z1+z2+4z1−z2.
4z1+z22=4OA→+OB→2=16OA2+OB2+8OA→.OB→=20+16.cosOA→,OB→=20+16x
với x=cosOA→,OB→, x∈−1; 1.
4z1−z22=4OA→−OB→2=16OA2+OB2−8OA→.OB→=20−16.cosOA→,OB→=20−16x
Khi đó P=20+16x+20−16x.
Xét hàm số fx=20+16x+20−16x trên đoạn −1; 1.
f'x=820+16x−820−16x=0⇔20+16x=20−16x⇔x=0 (thỏa mãn).
Ta có f−1=f1=8=m; f0=45=M.
Vậy M2−m2=16.
