Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 15)

Đáp án đúng là: D

Thể tích khối lăng trụ là $V=S\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}h=\frac{a^{2}h\sqrt{3}}{4}$ .

Đáp án đúng là: C

Quan sát bảng xét dấu ta có: f'(x)  đổi dấu khi đi qua x = -2 và x = 0 nên hàm số đã cho có 2 cực trị.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\underset{2}{\overset{3}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=f\left(3\right)-f\left(2\right)=5-2=3$ .

Đáp án đúng là: A

Quan sát đồ thị ta nhận thấy đồ thị là của hàm số bậc 3 có hệ số chứa $x^3$  dương.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A\right)=\left(1;1;3\right)$

Đáp án đúng là: A

Hàm số đã cho xác định khi $1-4x^2\ne 0\iff x\ne \pm \frac{1}{2}$ .

Vậy tập xác định của hàm số là $ℝ\backslash \left\{\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right\}$ .

Đáp án đúng là: B

Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên $\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)\text{d}t=\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=-1$ .

Do đó $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=3+\left(-1\right)=2$ .

Đáp án đúng là: A

Dựa vào bảng biến thiên ta có a>0 . Loại đáp án B, D

Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;-3) nên loại đáp án C và chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: B

Nhìn bảng biến thiên ta thấy $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty \Rightarrow$x = 0  là TCĐ của đồ thị hàm số

Ta có

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=3\Rightarrow y=3$ là TCN của đồ thị hàm số

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=1\Rightarrow y=1$ là TCN của đồ thị hàm số

Vậy hàm số có 3 tiệm cận.

Đáp án đúng là: C.

Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập từ 5 chữ số đã cho là một hoán vị của 5 phần tử. Nên số các số tự nhiên cần tìm là 5! = 120 số.

Đáp án đúng là: A.

Khối lăng trụ ngũ giác 15 cạnh: gồm 10 cạnh đáy và 5 cạnh bên.

Đáp án đúng là: B

Từ 4 phương án và đồ thị hàm số ta thấy hàm số nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang nên đồ thị trên là đồ thị hàm số mũ.

Hơn nữa đồ thị của hàm số đi qua điểm có tọa độ (1;2) và (0;1) nên đồ thị đã cho là đồ thị hàm số $y=2^x$ .

Đáp án đúng là: D

Thể tích của khối trụ có độ dài đường sinh l  và bán kính đáy r  bằng $V=\pi r^{2}h=\pi r^{2}l$ .

Đáp án đúng là: B

Diện tích xung quanh của khối nón là $S_{\text{xq}}=\pi rl$ .

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x-3y-4z+1=0$  có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;-3;-4\right)$ .

Suy ra $\overrightarrow{n}=\left(-2;3;4\right)$  cũng là một vectơ pháp tuyến của $\left(\alpha \right)$ .

Đáp án đúng là: B

Thể tích V  của khối chóp có diện tích đáy bằng S  và chiều cao bằng h  là $V=\frac{1}{3}Sh$ .

Đáp án đúng là: C

Ta có: $2^{2x^2-7x+5}=1\iff 2^{2x^2-7x+5}=2^0\iff 2x^2-7x+5=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{5}{2}\end{array}\right.$ .

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\int \left(x^2-3x+\frac{2}{x}\right)\text{ d}x=\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+2\ln \left|x\right|+C$ .

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng chứa trục Ox  có 1 vectơ chỉ phương $\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right)$ .

Gọi H là hình chiếu của điểm A(3;5;2) trên trục Ox

$\Rightarrow H\left(a;0;0\right)$; $\overrightarrow{AH}=\left(a-3;-5;-2\right)$  và $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{i}$ .

Ta có $\iff \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{i}=0\iff a-3=0\iff a=3$ .

Vậy H(3;0;0).

Đáp án đúng là: D

Ta có $F^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right)={\text{e}}^{x^2};$$F^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff {\text{e}}^{x^2}\left(x^3-4x\right)=0$$\iff x^3-4x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\right.$ .

Suy ra hàm số F(x) có 3 điểm cực trị.

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số $y=x^3+x$  có $y^{\text{'}}=3x^2+1>0$ , $\forall x\in ℝ$

Vậy $y=x^3+x$  luôn đồng biến trên $ℝ$ .

Đáp án đúng là: A

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv={\text{e}}^{2x}\text{d}x\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\text{d}x\\ v=\frac{1}{2}{\text{e}}^{2x}\end{array}\right.\Rightarrow I=\left.\frac{1}{2}x{\text{e}}^{2x}\right|\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}-\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{5}{\int }}{\text{e}}^{2x}\text{d}x$ .

Đáp án đúng là: C

Ta có $n\left(\Omega \right)=C_{12}^1\cdot C_{12}^1=144$ .

Gọi A là biến cố chọn được một cây bút chì màu đỏ và một bút chì màu xanh.

Trường hợp 1: Chọn 1 cây bút chì màu đỏ ở hộp thứ nhất và 1 cây bút chì màu xanh từ hộp thứ hai có $C_5^1{C}_4^1=20$  (cách chọn).

Trường hợp 2: Chọn 1 cây bút chì màu đỏ ở hộp thứ hai và 1 cây bút chì màu xanh từ hộp thứ nhất có $C_7^1{C}_8^1=56$  (cách chọn).

Khi đó $n\left(A\right)=C_5^1{C}_4^1+C_7^1{C}_8^1=76$$\Rightarrow P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{76}{144}=\frac{19}{36}$ .

Đáp án đúng là: A

Ta có $y^{\text{'}}=x^2-2mx+\left(m^2-4\right)$ ; ${y^{\text{'}}}^{\text{'}}=2x-2m$ .

Để hàm số đạt cực đại tại x = 3  thì

$\left\{\begin{array}{c}{y}^{\text{'}}\left(3\right)=0\\ {y^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(3\right)<0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{c}{3}^2-2m.3+\left(m^2-4\right)=0\\ 2.3-2m<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{m}^2-6m+5=0\\ m<3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}m=1\\ m=5\end{array}\right.\\ m<3\end{array}\right.\iff m=1$ .

Đáp án đúng là: C

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left[{\log }_3\left(x^2+1\right)\right]}^{\text{'}}=\frac{{\left(x^2+1\right)}^{\text{'}}}{\left(x^2+1\right)\ln 3}=\frac{2x}{\left(x^2+1\right)\ln 3}$

Suy ra $f^{\text{'}}\left(-1\right)=\frac{-2}{\left[{(-1)}^2+1\right]\ln 3}=-\frac{1}{\ln 3}$

Đáp án đúng là: C

Gọi I là trung điểm AB suy ra I (2;1;1).

Mặt phẳng trung trực đoạn AB qua I (2;1;1) và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(2;4;-2\right)=2\left(1;2;-1\right)$  là vectơ pháp tuyến là: $1\cdot \left(x-2\right)+2\cdot \left(y-1\right)-1\cdot \left(z-1\right)=0\iff x+2y-z-3=0$ .

Đáp án đúng là: D

Gọi $I\in CD$  sao cho $HI\text{//}AD$ .

Ta có: $\frac{HI}{AD}=\frac{CH}{CA}=\frac{3}{4}\Rightarrow HI=\frac{3}{4}AD=\frac{3a}{2}$ ; 

$HD=\sqrt{D{O}^2+H{O}^2}=\sqrt{D{O}^2+\frac{D{O}^2}{4}}=\frac{DO\sqrt{5}}{2}$.

Mà $DO=\frac{DB}{2}=\frac{\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}a}{2}=a\sqrt{2}$ .

Suy ra $HD=\frac{a\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}{2}=\frac{a\sqrt{10}}{2}$$\Rightarrow SH=HD.\tan 60°=\frac{\sqrt{30}a}{2}$ .

Vì $HI\text{//}AD$  mà $AD\perp CD$  nên $HI\perp CD$ .

Hơn nữa $SH\perp CD$  (do $SH\perp \left(ABCD\right)$ ) nên ta có $CD\perp \left(SHI\right)$ .

Suy ra $CD\perp SI$ .

Từ đó dễ dàng thấy được góc giữa $mp\left(SCD\right)$  và $mp\left(ABCD\right)$  là $\widehat{SIH}$ .

Do đó $\tan \alpha =\tan \widehat{SIH}=\frac{SH}{HI}=\frac{\sqrt{30}}{3}\in \left(1;2\right)$ .

Đáp án đúng là: C

Ta có ${\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^2=\left(x+1\right).f\left(x\right)\Rightarrow \frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{\sqrt{f\left(x\right)}}=\sqrt{x+1}$ .

Suy ra $\underset{3}{\overset{8}{\int }}\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{\sqrt{f\left(x\right)}}\text{d}x=\underset{3}{\overset{8}{\int }}\sqrt{x+1}\text{\hspace{0.17em}d}x$ .

$\Rightarrow {\left.2\sqrt{f\left(x\right)}\right|}_3^8=\frac{38}{3}\iff \sqrt{f\left(8\right)}-\sqrt{f\left(3\right)}=\frac{19}{3}\iff \sqrt{f\left(8\right)}-\sqrt{\frac{4}{9}}=7\iff f\left(8\right)=49$

Đáp án đúng là: B

$y=\frac{\left(x^2-4\right)\left(x^2+2x\right)}{{\left[f\left(x\right)\right]}^2+2f\left(x\right)-3}=\frac{x\left(x-2\right){\left(x+2\right)}^2}{{\left[f\left(x\right)\right]}^2+2f\left(x\right)-3}$

Xét ${\left[f\left(x\right)\right]}^2+2f\left(x\right)-3=0\iff \left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=1\\ f\left(x\right)=-3.\end{array}\right.$

Với $f\left(x\right)=1\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=x_1<-2\\ x=x_1>2\end{array}\right.$  suy ra có 3 tiệm cận đứng

Với $f\left(x\right)=-3\iff \left[\begin{array}{l}x=-2\left(l\right)\\ x=2\end{array}\right.$  suy ra có 1 tiệm cận đứng.

Vậy tổng cộng có 4 đường tiệm cận đứng.

Đáp án đúng là: B

Với số nguyên dương m  nhỏ hơn 20 ta có:

$\log \left(mx+\log m^m\right)={10}^x\iff mx+m\log m={10}^{{10}^x}$

$\iff {10}^x(mx+m\log m)={10}^x{.10}^{{10}^x}\iff \left(m{.10}^x\right).\log \left(m{.10}^x\right)={10}^x{.10}^{{10}^x}\left(1\right)$

Đặt ${10}^x=a;\mathrm{l}og\left(m{.10}^x\right)=b$  có: $a{.10}^a=b{.10}^b\Rightarrow a=b\Rightarrow {10}^x=\log \left(m{.10}^x\right)=\log m+x.$

$\Rightarrow \log m={10}^x-x$

Đặt $g\left(x\right)={10}^x-x$  có: $g^{\text{'}}\left(x\right)={10}^x.\ln 10-1$ .

Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=-\log \left(\ln 10\right)$ ; $g\left[-\log \left(\ln 10\right)\right]={10}^{-\log \left(\ln 10\right)}+\log \left(\ln 10\right)={\left(\ln 10\right)}^{-1}+\log \left(\ln 10\right).$

Ta có bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm .

$\iff \log m>g\left[-\log \left(\ln 10\right)\right]\iff \log m>{\left(\ln 10\right)}^{-1}+\log \left(\ln 10\right)$

$\iff m>{10}^{{\left(\ln 10\right)}^{-1}+\log \left(\ln 10\right)}\approx \mathrm{6,72}$

Suy ra $m\in \left\{7;8;\mathrm{...};19\right\}$ .

Vậy có 13 số.