Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 15)
51 câu hỏi
Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nhỏ nhất mvà giá trị lớn nhất Mcủa hàm số y = f(x) trên đoạn [-2;2].
m=−5, M=0
m=−2, M=2
m=−1, M=0
m=−5, M=−1
Đáp án đúng là: D
Quan sát đồ thị hàm số đã cho ta thấy hàm số y = f(x) đạt giá trị nhỏ nhất m = -5 và giá trị lớn nhất M = -1 .
Tìm họ nguyên hàm của hàm số fx=sin2 023x.
2 023cos2 023x+C
cos2 023x2 023+C
cos2 023x2 024+C
−cos2 023x2 023+C
Đáp án đúng là: D
Ta có: ∫sin2 023x dx=−cos2 0232 023+C.
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng (P): 2x – y + z – 2 = 0?
M1;1;−1
N1;−1;−1
Q1;−2;2
P2;−1;−1
Đáp án đúng là: B
Thay tọa độ điểm N1; −1; −1 vào phương trình mặt phẳng P:2x−y+z−2=0 ta có: 2⋅1−−1+−1−2=0⇔0=0 (luôn đúng).
Vậy điểm N1;−1;−1 nằm trên mặt phẳng P:2x−y+z−2=0.
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
(-1;0)
(0;1)
(-1;1)
−∞;−1
Đáp án đúng là: A
Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên −1;0∪1;+∞.
Cho một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d , số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức
un=d+n.u1
un=u1+n−1d
un=d+n−1u1
un=u1+n.d
Đáp án đúng là: B
Số hạng tổng quát un của cấp số cộng là un=u1+n−1d.
Tập nghiệm của bất phương trình log2x<0 là
0;1
−∞;1
1;+∞
0;+∞
Đáp án đúng là: A
Ta có: log2x<0⇔0<x<1.
Tập nghiệm của bất phương trình log2x<0 là (0;1).
Tính đạo hàm của hàm số y=17−x
y'=−x.17−x−1
y'=−17−x
y'=−17−xln17
y'=17−xln17
Đáp án đúng là: C
Ta có: y=17−x⇒y'=−17−xln17.
Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x=0, x=π, y=0 và y=−sinx. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức
V=π∫0πsinxdx
V=π∫0πsin2xdx
V=π∫0π−sinxdx
V=∫0πsin2xdx
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có V=π∫0π−sinx2dx=π∫0πsin2xdx.
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Điểm cực đại của hàm số đã cho là
x = 3
x = -3
x = 1
x = -2
Đáp án đúng là: D
Quan sát bảng biến thiên ta có điểm cực đại của hàm số đã cho làx = -2.
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, chiều cao h. Khi đó thể tích khối lăng trụ là
a2h36
a2h312
a2h4
a2h34
Đáp án đúng là: D
Thể tích khối lăng trụ là V=S⋅h=a234h=a2h34.
Cho hàm f(x) xác định trên ℝ có bảng xét dấu f’(x) như sau
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
3
0
2
1
Đáp án đúng là: C
Quan sát bảng xét dấu ta có: f'(x) đổi dấu khi đi qua x = -2 và x = 0 nên hàm số đã cho có 2 cực trị.
Cho hàm f(x) có đạo hàm liên tục trên [2;3] đồng thời f(2) = 2 , f(3) = 5. Tính ∫23f'xdx bằng
10
3
-3
7
Đáp án đúng là: B
Ta có: ∫23f'xdx=f3−f2=5−2=3.
Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số nào?
y=x3−3x+1
y=−x3+3x+1
y=x4−x2+1
y=−x2+x−1
Đáp án đúng là: A
Quan sát đồ thị ta nhận thấy đồ thị là của hàm số bậc 3 có hệ số chứa x3 dương.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1;-2), B(2;2;1). Vectơ AB→ có tọa độ là
(3;1;1)
(1;1;3)
(3;3;-1)
(-1;-1;-3)
Đáp án đúng là: B
Ta có AB→=xB−xA; yB−yA; zB−zA=1; 1; 3
Hàm số y=1−4x2−4 có tập xác định là
ℝ\12; −12
ℝ
−12; 12
0; +∞
Đáp án đúng là: A
Hàm số đã cho xác định khi 1−4x2≠0⇔x≠±12.
Vậy tập xác định của hàm số là ℝ\12; −12.
Nếu ∫12fxdx=3, ∫23ftdt=−1 thì ∫13fxdx bằng
-2
2
3
4
Đáp án đúng là: B
Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên ∫23ftdt=∫23fxdx=−1.
Do đó ∫13fxdx=∫12fxdx+∫23fxdx=3+−1=2.
Cho hàm số y=ax4+bx2+c có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm mệnh đề đúng?
y=x4−2x2−3
y=−x4−2x2−3
y=x4−2x2+3
y=−x4+2x2−3
Đáp án đúng là: A
Dựa vào bảng biến thiên ta có a>0. Loại đáp án B, D
Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;-3) nên loại đáp án C và chọn đáp án A.
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:
2
3
4
1
Đáp án đúng là: B
Nhìn bảng biến thiên ta thấy limx→0−fx=−∞⇒x = 0 là TCĐ của đồ thị hàm số
Ta có
limx→+∞fx=3⇒y=3 là TCN của đồ thị hàm số
limx→−∞fx=1⇒y=1 là TCN của đồ thị hàm số
Vậy hàm số có 3 tiệm cận.
Từ các số 1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đôi một khác nhau?
16
24
120
720
Đáp án đúng là: C.
Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập từ 5 chữ số đã cho là một hoán vị của 5 phần tử.Nên số các số tự nhiên cần tìm là 5! = 120 số.
Khối lăng trụ ngũ giác có tất cả bao nhiêu cạnh?
15
25
10
20
Đáp án đúng là: A.
Khối lăng trụ ngũ giác 15 cạnh: gồm 10 cạnh đáy và 5 cạnh bên.
Đường cong trong hình sau là đồ thị hàm số nào?
y=log2(2x)
y=2x
y=12x+1
y=2x
Đáp án đúng là: B
Từ 4 phương án và đồ thị hàm số ta thấy hàm số nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang nên đồ thị trên là đồ thị hàm số mũ.
Hơn nữa đồ thị của hàm số đi qua điểm có tọa độ (1;2) và (0;1) nên đồ thị đã cho là đồ thị hàm số y=2x.
Thể tích của khối trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy rbằng
V=4πrl
V=πrl
V=13πrl
V=lπr2
Đáp án đúng là: D
Thể tích của khối trụ có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng V=πr2h=πr2l.
Gọi l,h,r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Tìm mệnh đề đúng
Sxq=13πr2h
Sxq=πrl
Sxq=πrh
Sxq=2πrl
Đáp án đúng là: B
Diện tích xung quanh của khối nón là Sxq=πrl.
Cho mặt phẳng α:2x−3y−4z+1=0. Khi đó một vectơ pháp tuyến của α là
n→=−2;3;4
n→=−2;3;1
n→=2;3;−4
n→=2;−3;4
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng α:2x−3y−4z+1=0 có vectơ pháp tuyến là n→=2;−3;−4.
Suy ra n→=−2;3;4 cũng là một vectơ pháp tuyến của α.
. Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h là
V=Sh
V=13Sh
V=3Sh
V=12Sh
Đáp án đúng là: B
Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h là V=13Sh.
Số nghiệm phương trình 22x2−7x+5=1 là
0
1
2
3
Đáp án đúng là: C
Ta có: 22x2−7x+5=1⇔22x2−7x+5=20⇔2x2−7x+5=0⇔x=1x=52.
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Họ các nguyên hàm của hàm số fx=x2−3x+2x là
Fx=x33+32x2+2lnx+C
Fx=x33−32x2+2lnx+C
Fx=2x−3−2x2+C
Fx=x33−32x2+2lnx+C
Đáp án đúng là: D
Ta có ∫x2−3x+2x dx=x33−32x2+2lnx+C.
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(3;5;2) trên trục Ox có tọa độ là
(3;0;0)
(0;0;2)
(0;5;2)
(0;5;0)
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng chứa trục Ox có 1 vectơ chỉ phương i→=1;0;0.
Gọi H là hình chiếu của điểm A(3;5;2) trên trục Ox
⇒Ha;0;0; AH→=a−3;−5;−2 và AH→⊥i→.
Ta có ⇔AH→.i→=0⇔a−3=0⇔a=3.
Vậy H(3;0;0).
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số fx=ex2x3−4x. Hàm số F(x) có bao nhiêu điểm cực trị?
1
4
2
3
Đáp án đúng là: D
Ta có F'x=fx=ex2;F'x=0⇔ex2x3−4x=0⇔x3−4x=0⇔x=0x=±1.
Suy ra hàm số F(x) có 3 điểm cực trị.
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng −∞; +∞?
y=x3+x
y=−x3−3x
y=x+1x+3
y=x−1x−2
Đáp án đúng là: A
Xét hàm số y=x3+x có y'=3x2+1>0, ∀x∈ℝ
Vậy y=x3+x luôn đồng biến trên ℝ.
Cho tích phân I=∫15x.e2xdx. Tìm mệnh đề đúng.
I=12xe2x51−12∫15e2xdx
I=12xe2x51−∫15e2xdx
I=xe2x21−∫15e2xdx
I=12xex51−12∫15exdx
Đáp án đúng là: A
Đặt u=xdv=e2xdx⇒du=dxv=12e2x⇒I=12xe2x51−12∫15e2xdx.
Có hai hộp bút chì màu, các bút chì khác nhau. Hộp thứ nhất có 5 bút chì màu đỏ và 7bút chì màu xanh. Hộp thứ hai có 8 bút chì màu đỏ và 4 bút chì màu xanh. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một cây bút chì. Xác suất để chọn một cây bút chì màu đỏ và một bút chì màu xanh là
1736
712
1936
512
Đáp án đúng là: C
Ta có nΩ=C121⋅C121=144.
Gọi A là biến cố chọn được một cây bút chì màu đỏ và một bút chì màu xanh.
Trường hợp 1: Chọn 1 cây bút chì màu đỏ ở hộp thứ nhất và 1 cây bút chì màu xanh từ hộp thứ hai có C51C41=20 (cách chọn).
Trường hợp 2: Chọn 1 cây bút chì màu đỏ ở hộp thứ hai và 1 cây bút chì màu xanh từ hộp thứ nhất có C71C81=56 (cách chọn).
Khi đó nA=C51C41+C71C81=76⇒PA=nAnΩ=76144=1936.
Tìm giá trị thực của tham số mđể hàm số y=13x3−mx2+m2−4x+3 đạt cực đại tại x = 3.
m=1
m=−1
m=1;m=5
m=5
Đáp án đúng là: A
Ta có y'=x2−2mx+m2−4; y''=2x−2m.
Để hàm số đạt cực đại tại x = 3 thì
y'3=0y''3<0⇔32−2m.3+m2−4=02.3−2m<0⇔m2−6m+5=0m<3⇔m=1m=5m<3⇔m=1 .
Cho hàm số fx=log3x2+1. Tính f'−1 .
Không tồn tại f'−1
f'−1=12ln3
f'−1=1ln3
f'−1=−1⋅x
Đáp án đúng là: C
Ta cóf'x=log3x2+1'=x2+1'x2+1ln3=2xx2+1ln3
Suy ra f'−1=−2(−1)2+1ln3=−1ln3
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x+mx+1 trên đoạn [1;2] bằng 8(m là tham số thực). Khẳng định nào sau đây là đúng?
8<m<10
0<m<4
4<m<8
m>10
Đáp án đúng là: A.
Tập xác định của hàm số D=ℝ\−1.
Ta có y'=1−mx+12; f1=1+m2;f2=2+m3
⇒min1;2fx=minf1;f2 và max1;2fx=maxf1;f2
⇒max1;2fx+min1;2fx=2+m3+1+m2.
Mà theo đề bài có max1;2fx+min1;2fx=8.
⇒2+m3+1+m2=8⇔m=415=8,2
Vậy m∈8; 10.
Trong không gian cho hai điểm A(1;-1;2) và B(3;3;0). Mặt phẳng trung trực đoạn AB có phương trình là
x+y−z−2=0
x+y−z+2=0
x+2y−z−3=0
x+2y−z+3=0
Đáp án đúng là: C
Gọi I là trung điểm AB suy ra I (2;1;1).
Mặt phẳng trung trực đoạn AB qua I (2;1;1) và nhận AB→=2;4;−2=21;2;−1 là vectơ pháp tuyến là: 1⋅x−2+2⋅y−1−1⋅z−1=0⇔x+2y−z−3=0.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, O là tâm đáy. Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABCD) là trung điểm H của OA, biết SD,ABCD^=60°. Gọi α là góc giữa mp(SCD) và mp(ABCD). Tìm mệnh đề đúng.
tanα∈0;1
tanα∈3;4
tanα∈2;3
tanα∈1;2
Đáp án đúng là: D
Gọi I∈CD sao cho HI//AD.
Ta có: HIAD=CHCA=34⇒HI=34AD=3a2;
HD=DO2+HO2=DO2+DO24=DO52.
Mà DO=DB2=AB2+AD22=22a2=a2.
Suy ra HD=a2⋅52=a102⇒SH=HD.tan60°=30a2.
Vì HI//AD mà AD⊥CD nên HI⊥CD.
Hơn nữa SH⊥CD (do SH⊥ABCD) nên ta có CD⊥SHI.
Suy ra CD⊥SI.
Từ đó dễ dàng thấy được góc giữa mpSCD và mpABCD là SIH^.
Do đó tanα=tanSIH^=SHHI=303∈1;2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC=2a, BD=2a2. Gọi H là trọng tâm tam giác ABD, biết rằng các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHD) bằng
4a1938
a3819
4a3819
a1938
Đáp án đúng là: C
Các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH⊥ABCD.
Kẻ CK⊥HD nên SH⊥CK (do SH⊥ABCD).
⇒CK⊥SHD⇒dC,SHD=CK.
Ta có: HO=13AO=13⋅12AC=a3; DO=12BD=a2.
Kẻ OI⊥HD⇒OI//CK (do cùng vuông góc với HD).
Áp dụng hệ thức lượng trong ΔOHD có:
1OI2=1OH2+1OD2⇒OI=HO⋅ODHO2+OD2=a3819
Áp dụng định lí Thalès trong ΔHCK có
OICK=HOOC=14⇒CK=4OI=4a3819
Cho hàm số y = f(x) đồng biến trên 0;+∞,y=fx liên tục, nhận giá trị dương trên 0;+∞ thỏa mãn f3=49 và f'x2=x+1⋅fx. Tính f(8).
f8=116
f8=64
f8=49
f8=256
Đáp án đúng là: C
Ta có f'x2=x+1.fx⇒f'xfx=x+1.
Suy ra ∫38f'xfxdx=∫38x+1 dx.
⇒2fx38=383⇔f8−f3=193⇔f8−49=7⇔f8=49
Cho các số thực dương x,y thỏa mãn 1092x2−5xy≤310xy+5y2.
Hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức xy bằng
52
14
15
54
Đáp án đúng là: B
Ta có: 1092x2−5xy≤310xy+5y2⇔1092x2−5xy≤109−(xy+5y2)2
⇔2x2−5xy≤−(xy+5y2)2⇔4x2−9xy+5y2≤0
⇔(4x−5y)(x−y)≤0⇔4x−5y≤0x−y≥04x−5y≥0x−y≤0⇔xy≤54xy≥1
Vậy minxy=1; maxxy=54
Vậy maxxy−minxy=54−1=14.
Cho hàm số trùng phương y=ax4+bx2+c có đồ thị như hình vẽ.
![Cho hàm số trùng phương y = ã^4 + bx^2 + c có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y=(x^2-4)(x^2+2x)/[f(x)]^2+2f(x)-3 có tổng cộng bao nhiêu tiệm cận (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/02/13-1709001015.png)
Hỏi đồ thị hàm số y=x2−4x2+2xfx2+2fx−3 có tổng cộng bao nhiêu tiệm cận đứng?
3
4
5
2
Đáp án đúng là: B
y=x2−4x2+2xfx2+2fx−3=xx−2x+22fx2+2fx−3
Xét fx2+2fx−3=0⇔f(x)=1f(x)=−3.
Với f(x)=1⇔x=0 x=x1<−2x=x1>2 suy ra có 3 tiệm cận đứng
Với f(x)=−3⇔x=−2 (l)x=2 suy ra có 1 tiệm cận đứng.
Vậy tổng cộng có 4 đường tiệm cận đứng.
Có bao nhiêu số nguyên dương m nhỏ hơn 20 thỏa mãn phương trình logmx+logmm=10x có đúng hai nghiệm thực phân biệt.
11
13
12
10
Đáp án đúng là: B
Với số nguyên dương m nhỏ hơn 20 ta có:
logmx+logmm=10x⇔mx+mlogm=1010x
⇔10x(mx+mlogm)=10x.1010x⇔m.10x.log(m.10x)=10x.1010x(1)
Đặt 10x=a;l og(m.10x)=b có: a.10a=b.10b⇒a=b⇒10x=log(m.10x)=logm+x.
⇒logm=10x−x
Đặt g(x)=10x−x có: g'(x)=10x.ln10−1.
Ta có: g'(x)=0⇔x=−log(ln10); g−logln10=10−logln10+logln10=ln10−1+logln10.
Ta có bảng biến thiên của hàm số
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm .
⇔logm>g−logln10⇔logm>ln10−1+logln10
⇔m>10ln10−1+logln10≈6,72
Suy ra m∈7;8;...; 19.
Vậy có 13 số.
Cho tứ diện ABCD có SΔABC=4 cm2, SΔABD=6 cm2, AB=3 cm. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) bằng 60°. Thể tích của tứ diện đã cho bằng
23 cm3
233 cm3
433 cm3
833 cm3
Đáp án đúng là: D
Gọi H là chân đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh C.
Trong (ABC), kẻ CK⊥AB (K∈AB).
Khi đó,góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) bằng CKH^=60° và h = CH.
Ta có: SΔABC=12AB⋅CK⇒CK=2SΔABCAB=83.
Lại có: CH=CK⋅sinCKH^=433.
Vậy VABCD=13SΔABD.CH=833 cm3.
Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến mặt (SAB) bằng a33 và SAO^=30°, SAB^=60°. Độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng
2a3
a5
a2
a3
Đáp án đúng là: C
Kẻ OH⊥AB⇒AH=HB.
Kẻ OK⊥SH (1)
Dễ dàng có được SO⊥ABSH⊥AB⇒AB⊥SHO⇒AB⊥OK (2)
Từ (1) và (2) ta có: OK⊥SAB.
⇒dO; SAB=OK=a33
Ta có, tam giác đều nên SH=SA32 và lại có SO=SA.sinSAO^=SA2.
Suy ra OH=SH2−SO2=SA322−122=SA2.
Xét tam giác SOH vuông tại O có:
1OK2=1SO2+1OH2⇒4SA2+2SA2=1a332⇒SA=a2⇒l=a2
Vậy độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng a2.
Cho hàm số y = f(x), y = g(x) có đồ thị như hình sau:
![Cho hàm số y = f(x), y = g(x) có đồ thị như hình sau: Khi đó tổng số nghiệm của hai phương trình f[g(x)]=0 và g[f(x)]=0 là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/02/17-1709002884.png)
Khi đó tổng số nghiệm của hai phương trình fgx=0 và gfx=0 là
26
25
22
21
Đáp án đúng là: C.
Ta có fx=0⇔x=a1x=a2x=a3x=a4x=a5−3<a1<−2−2<a2<−11<a3<22<a4<34<a5<5 và gx=0⇔x=a6x=a7x=3−2<a6<−10<a7<1.
Khi đó fgx=0⇔gx=a1gx=a2gx=a3gx=a4gx=a5−3<a1<−2−2<a2<−11<a3<22<a4<34<a5<5.
Số nghiệm của phương trình gx=a1 chính là số giao điểm của đồ thị với đường thẳng y=gx với a1∈−3;−2.
Suy ra: phương trình gx=a1; gx=a2; gx=a3; gx=a4; gx=a5 có số nghiệm lần lượt là 1;3;3;3;1.
Vậy fgx=0 có tất cả 11 nghiệm.
Tương tự, gfx=0⇔fx=a6fx=a7fx=3, phương trình này có 11 nghiệm.
Vậy tổng số nghiệm của hai phương trình fgx=0 và gfx=0 là 22.
Cho hàm số y = f(x) có f'x=xx+1x2−2mx+1,∀x∈ℝ với m là tham số thực. Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên m không vượt quáq 2023 cho hàm số gx=fx2−1 có 7 điểm cực trị?
2021
2022
2020
2023
Đáp án đúng là: A.
gx=fx2−1⇒g'x=2x⋅f'x2−1=2xx2−1x2x2−12−2mx2−1+1
Ta có ⇔x=0x2−1=0x2=0x2−12−2mx2−1+1=0⇔x=0x=±1x2−12−2mx2−1+1=0.
Để hàm số gx=fx2−1 có 7 điểm cực trị thì phương trình x2−12−2mx2−1+1=0 phải có 4 đơn nghiệm phân biệt khác x = 0, x=±1.
Xét phương trình x2−12−2mx2−1+1=0
Đặt t=x2−1, khi đó ta được phương trình t2−2mt+1=0 với t≥−1.
Với t>−1 ta có hai nghiệm x ,
Với t = -1 ta có nghiệm x = 0,
Với t < -1 phương trình vô nghiệm.
Nên để x2−12−2mx2−1+1=0 có 4 đơn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình t2−2mt+1=0 có hai nghiệm phân biệt 0≠t>−1.
Ta có t2−2mt+1=0⇔2m=t+1t.
Xét hàm số ht=t+1t, ta có h't=1−1t2=0⇔t=±1.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, phương trình t2−2mt+1=0 có hai nghiệm phân biệt 0≠t>−1 khi m > 2 .
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên 13;3 thỏa mãn fx+x⋅f1x=x3−x. Giá trị tích phân I=∫133f(x)x2+xdx bằng
34
169
23
89
Đáp án đúng là: D.
Ta có fx+x⋅f1x=x3−x⇔fxx2+x+1x+1⋅f1x=x−1.
Suy ra ∫133f(x)x2+xdx+∫1331x+1⋅f1xdx=∫133x−1dx=169*
Đặt t=1x suy ra dx=−1t2dt và x=1t⇔1x+1=tt+1.
Đổi cận x=13⇒t=3x=3⇒t=13.
Khi đó ∫1331x+1⋅f1xdx=−∫313tt+1⋅ft⋅1t2dt=∫133ftt2+tdt=I.
Do đó *⇔2I=169⇔I=89.
Cho hàm số fx=2x4+ax3+bx2+cx+d a,b,c,d∈ℝ có ba điểm cực trị là -1, 1 và 3. Gọi y = g(x) là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) bằng
18215
26515
12815
25615
Đáp án đúng là: D
Ta có: f'x=8x3+3ax2+2bx+c.
Vì hàm số có ba điểm cực trị là -1, 1 và 3 nên ta có:
f'−1=0f'1=0f'3=0⇔3a−2b+c=83a+2b+c=−827a+6b+c=−216⇔a=−8b=−4c=24.
Suy ra fx=2x4−8x3−4x2+24x+d.(1)
Đặt gx=mx2+nx+p m≠0.
Vì g(x) đi qua 3 điểm cực trị nên ta có:
m−12+n−1+p=2−14−8−13−4−12+24−1+dm⋅12+n⋅1+p=2⋅14−8⋅13−4⋅12+24⋅1+dm⋅32+n⋅3+p=2⋅34−8⋅33−4⋅32+24⋅3+d
⇔m−n+p−d=−18m+n+p−d=149m+3n+p−d=−18⇔m=−8n=16p−d=6
Suy ra fx−gx=2x4−8x3+4x2+8x−6
⇒fx−gx=0⇔2x4−8x3+4x2+8x−6=0⇔x=1x=−1x=3
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) bằng
∫−13fx−gxdx=∫−132x+1x−12x−3dx=25615
Trong các nghiệm (x;y) thỏa mãn bất phương trình logx2+2y22x+y≥1. Giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2x + y bằng
9
94
92
98
Đáp án đúng là: C
Ta có: logx2+2y22x+y≥1⇔x2+2y2>12x+y≥x2+2y2 10<x2+2y2<12x+y≤x2+2y2 2
· Trường hợp 1: x2+2y2>12x+y≥x2+2y2.
Ta có: x2+2y2≤2x+y⇔x−12+2y−1222≤98;
2x+y=2x−1+122y−122+94
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:
2x−1+122y−122≤22+122x−12+2y−1222≤94
Suy ra T=2x+y≤94+94=92.
·Trường hợp 2: 0<x2+2y2<12x+y≤x2+2y2⇒0<T=2x+y≤x2+2y2<1
Kết luận:Giá trị lớn nhất của biểu thức T=92.
Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y=x3−3x+2m−1 trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất. Giá trị của m thuộc khoảng nào?
0;1
23;2
−1;0
−32;−1
Đáp án đúng là: A
Đặt fx=x3−3x+2m−1⇒f'x=3x2−3. Nên: f'x=0⇔x=1∈0;2x=−1∉0;2.
Ta có: f1=2m−3<f0=2m−1<f2=2m+1
⇒maxfx0;2=max2m+1,2m−3
· Trường hợp 1: maxfx0;2=2m+1 thì
2m+1≥2m−3⇔2m+12≥2m−32⇔16m≥8⇔m≥12.
Với m≥12⇒2m+1≥2.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất là 2 khi m=12.
· Trường hợp 2: maxfx0;2=2m−3 thì
2m−3≥2m+1⇔2m−32≥2m+12⇔16m≤8⇔m≤12.
Với m≤12⇒2m−3≥2.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất là 2 khi m=12.
Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số trên [0;2] là nhỏ nhất là 2 khi m=12∈0;1.
Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y=x3−3x+2m−1 trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất. Giá trị của m thuộc khoảng nào?
0;1
23;2
−1;0
−32;−1
Đáp án đúng là: A
Đặt fx=x3−3x+2m−1⇒f'x=3x2−3. Nên: f'x=0⇔x=1∈0;2x=−1∉0;2.
Ta có: f1=2m−3<f0=2m−1<f2=2m+1
⇒maxfx0;2=max2m+1,2m−3
· Trường hợp 1: maxfx0;2=2m+1 thì
2m+1≥2m−3⇔2m+12≥2m−32⇔16m≥8⇔m≥12.
Với m≥12⇒2m+1≥2.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất là 2 khi m=12.
· Trường hợp 2: maxfx0;2=2m−3 thì
2m−3≥2m+1⇔2m−32≥2m+12⇔16m≤8⇔m≤12.
Với m≤12⇒2m−3≥2.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2] là nhỏ nhất là 2 khi m=12.
Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số trên [0;2] là nhỏ nhất là 2 khi m=12∈0;1.
