Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 14)

Đáp án đúng là: D

Ta có $\int f\left(x\right)\text{d}x=\frac{5^x}{\text{ln}5}+3x+C\Rightarrow f\left(x\right)={\left(\frac{5^x}{\text{ln}5}+3x+C\right)}^{\text{'}}=5^x+3$ .

Đáp án đúng là: C

Từ phương trình đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z}{3}$ , ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng d  là $\overrightarrow{u_d}=\left(2;-1;3\right)$ .

Chọn điểm $A\left(1;-3;0\right)\in d$ .

Phương trình tham số của đường thẳng d  là $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-3-t\\ z=3t\end{array}\right.\cdot$

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\int }_{-1}^{5}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x={\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x+{\int }_3^{5}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=-5+1=-4.$

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu (S): $x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$  có tâm I (1;-2;3), bán kính là

$R=\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+3^2-\left(-2\right)}=4.$

Vậy đường kính của mặt cầu (S) là 2R = 8.

Đáp án đúng là: B

Vì hàm số $y=\frac{x+2022}{x+2023}$  cắt trục hoành (y = 0) nên xét phương trình hoành độ giao điểm như sau: $\frac{x+2022}{x+2023}=0\Rightarrow x=-2022.$

Vậy hàm số $y=\frac{x+2022}{x+2023}$  cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là (-2022;0).

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\log }_{\frac{1}{3}}\left(x-3\right)<-2\iff \left\{\begin{array}{l}x-3>9\\ x>3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>12\\ x>3\end{array}\right.\iff x>12.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(12;+\infty \right)\cdot$

Đáp án đúng là: D

Ta có $z=i\left(3i+1\right)=-3+i\Rightarrow \overline{z}=-3-i$ .

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left|z\right|=\left|3+4i\right|=\sqrt{3^2+4^2}=5$ .

Vậy môđun của số phức z = 3 +4i bằng 5.

Đáp án đúng là: B

Xét $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left(2x+1\right){\left(x+2\right)}^2{\left(3x-1\right)}^4=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ x=-2\\ x=\frac{1}{3}\end{array}\right.$ .

Nhận thấy phương trình f'(x)  chỉ có 1 nghiệm bội lẻ là $x=-\frac{1}{2}$ .

Do đó hàm số f(x)  chỉ có 1 điểm cực trị tại $x=-\frac{1}{2}$ .

Đáp án đúng là: C

Số tập con gồm 2 phần tử của A là $C_{10}^2$ .

Đáp án đúng là: D

Quan sát đồ thị, ta thấy hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (0;1).

Đáp án đúng là: D

Vì $\pi +1$  là một hằng số nên tập xác định của hàm số đã cho là $D=ℝ$ .

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-3}{2x+1}=\frac{1}{2}$  nên đồ thị hàm số đã cho có một đường tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{2}$ .

Đáp án đúng là: C

Từ bảng biến thiên ta suy ra điểm cực tiểu của của hàm số đã cho là x = 3.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $y^{\text{'}}={\left({\log }_{2023}x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x\ln 2023}$ .

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\underset{0}{\overset{6}{\int }}\left[x+f\left(x\right)\right]\text{\hspace{0.17em}d}x=\underset{0}{\overset{6}{\int }}x\text{\hspace{0.17em}d}x+\underset{0}{\overset{6}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x={\left.\frac{x^2}{2}\right|}_0^6+3=18+3=21$ .

Đáp án đúng là: D

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: $S_{xq}=\pi rl=\pi \mathrm{.3.6}=18\pi$ .

Đáp án đúng là: D

Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x = -1 và tiệm cận ngang là y = 2.

· Phương án A sai: Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng vì $y=\frac{2x-2}{x-1}=\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}=2$ .

· Phương án B sai: Đồ thị hàm số chỉ có tiệm cận đứng x = 1 vì $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2x+1}{x-1}=+\infty$ ; $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2x+1}{x-1}=-\infty$ .

· Phương án C sai: Đồ thị hàm số chỉ có tiệm cận ngang y = 1 vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x+2}{x+1}=1$ .

· Phương án D đúng: Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x = -1 và tiệm cận ngang là y = 2 vì: $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{x+1}=-\infty$ ; $\underset{x\to -1-}{\lim }\frac{2x-1}{x+1}=+\infty$ ; $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x-1}{x+1}=2$ .

Đáp án đúng là: B

Vì khối lăng trụ đã cho là khối lăng trụ đứng có cạnh bên bằng 5 nên ta có chiều cao của khối lăng trụ h = 5.

Đáy là hình vuông cạnh bằng 4 nên ta có diện tích đáy $S=4^2=16.$

Thể tích khối lăng trụ với S = 16 là diện tích đáy và h = 5 là chiều cao khối lăng trụ là:

V = S.h = 16.5 = 80

Đáp án đúng là: C

Gọi d  là đường thẳng cần tìm.

Ta có: $d\perp \left(P\right)\Rightarrow \overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{n_P}=\left(1;-2;2\right)$ .

Phương trình đường thẳng d  đi qua điểm A (1;-2;0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_d}=\left(1;-2;2\right)$  là $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z}{2}$ .

 

Đáp án đúng là: A

Gọi r  là bán kính đường tròn (C)  ta có: $r=\sqrt{R^2-d^2\left(O,\left(P\right)\right)}=2\sqrt{2}$ .

Chu vi đường tròn (C) là $C=2\pi r=2\pi .2\sqrt{2}=4\pi \sqrt{2}$ .

Đáp án đúng là: D

Ta có: $f\left(x\right)=\int \left(4-3\sin x\right)\text{d}x=4x+3\cos x+C$ .

Mặt khác $f\left(0\right)=5\iff 3+C=5\Rightarrow C=2$ .

Vậy hàm số $f\left(x\right)=4x+3\cos x+2$ .

Đáp án đúng là: B

Gọi M(x;y)  là điểm biểu diễn của số phức z  trên mặt phẳng tọa độ Oxy .

Ta có: $\left|z-\left(1-2i\right)\right|=2$  

$\Rightarrow \left|\left(x+iy\right)-\left(1-2i\right)\right|=2$$\iff \left|x-1+\left(y+2\right)i\right|=2\iff \sqrt{{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2}=2$.

$\Rightarrow {\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=4$.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z  thỏa mãn điều kiện đề bài là đường tròn ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=4$ .

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\log }_2\left(x^2+x+1\right)=2+{\log }_{2}x\iff {\log }_2\left(x^2+x+1\right)={\log }_{2}4x$ .

$\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x^2+x+1=4x\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x^2-3x+1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}{x}_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\\ x_2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\end{array}\right.$$\Rightarrow x_1+x_2=3$.

Đáp án đúng là: A

Ta có:  $3f\left(x\right)-m=0$$\iff f\left(x\right)=\frac{m}{3}$(*).

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta thấy phương trình (*) có 3 nghiệm thực phân biệt $\iff -2<\frac{m}{3}<4\iff -6<m<12$ .

Đáp án đúng là: D

Số các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số 1;2;3;4;5;6 là $A_6^3=120\Rightarrow n\left(\Omega \right)=120$ .

Gọi biến cố A: “số được chọn là một số chia hết cho ”.

Giả sử số tự nhiên có ba chữ số khác nhau chia hết cho 5 có dạng $\overline{abc}$ .

· Chữ số c = 5 có 1 cách chọn;

· Chữ số  b ($b\ne c$) có 5 cách chọn;

· Chữ số a ($a\ne b;a\ne c$) có 4 cách chọn.

Suy ra $n\left(A\right)=\mathrm{1.5.4}=20$ .

Vậy xác suất cần tìm là $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$ .

Đáp án đúng là: D

Ta có: $x^3-6x=x^2\iff x^3-x^2-6x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=0\\ x=-2\end{array}\right.$ .

Ta có $S=\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left|x^3-x^2-6x\right|\text{d}x=\left|\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(x^3-x^2-6x\right)\text{d}x\right|+\left|\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(x^3-x^2-6x\right)\text{d}x\right|$

$=\left|{\left.\left(\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{6}{2}{x}^2\right)\right|}_{-2}^0\right|+\left|{\left.\left(\frac{1}{4}{x}^4-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{6}{2}{x}^2\right)\right|}_0^3\right|=\frac{253}{12}.$

          

Đáp án đúng là: A

$\left[{\log }_3\left(x^2+1\right)-{\log }_3\left(x+31\right)\right]\left(32-2^{x-1}\right)\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{\log }_3\left(x^2+1\right)-{\log }_3\left(x+31\right)\ge 0\\ 32-2^{x-1}\ge 0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}{\log }_3\left(x^2+1\right)-{\log }_3\left(x+31\right)\le 0\\ 32-2^{x-1}\le 0\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{\log }_3\left(x^2+1\right)\ge {\log }_3\left(x+31\right)\\ 2^{x-1}\le 32\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}{\log }_3\left(x^2+1\right)\le {\log }_3\left(x+31\right)\\ 2^{x-1}\ge 32\end{array}\right.\end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{x}^2+1\ge x+31\\ x+31>0\\ 2^{x-1}\le 2^5\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}{x}^2+1\le x+31\\ 2^{x-1}\ge 2^5\\ x^2+1\ge 0\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(luôn\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}đúng)}\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{x}^2-x-30\ge 0\\ x>-31\\ x\le 6\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}{x}^2-x-30\le 0\\ x\ge 6\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}-31<x\le -5\\ x=6\end{array}\right.$

Mà $x\in \mathbb{Z}$  nên $x\in \left\{-30;-29;-28;\mathrm{...};-6;-5;6\right\}$

Vậy có 27  số nguyên x  thỏa mãn đề bài.

Đáp án đúng là: A

Nếu m = 0 thì $y=-4x^2+2$ . Đây là hàm số bậc hai có hệ số a < 0 nên nó có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu. Vậy m = 0  thỏa đề.

Nếu $m\ne 0$  ta có:

$y^{\text{'}}=4m{x}^3+2\left(m^2-4\right)x=2x\left(2m{x}^2+m^2-4\right)$

$y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=\frac{4-m^2}{2m}\end{array}\right.$

Do đó, để hàm số đã cho có đúng một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu thì

$\left\{\begin{array}{l}m<0\\ \frac{4-m^2}{2m}\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<0\\ 4-m^2\ge 0\end{array}\right.\iff -2\le m<0$

Mà $m\in \mathbb{Z}$  nên $m\in \left\{-2;-1;0\right\}$ .

Kết hợp cả 2 trường hợp ta có .

Vậy có 3 giá trị nguyên của m  thỏa mãn đề bài.

Đáp án đúng là: C

Gọi O là tâm hình vuông ABCD; M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD

Ta có: AB//CD mà $CD\subset \left(SCD\right)$  nên AB//(SCD).

Khi đó $d\left(AB,SC\right)=d\left(AB,\left(SCD\right)\right)=d\left(M,\left(SCD\right)\right).$

Trong (SMN) kẻ  $MI\perp SN,\left(I\in SN\right)$(1).

Lại có:  $\left\{\begin{array}{l}CD\perp MN\\ CD\perp SO\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SMN\right)\Rightarrow CD\perp MI$(2).

Từ (1) và (2) ta có $MI\perp \left(SCD\right)$$\Rightarrow d\left(M,\left(SCD\right)\right)=MI.$

Xét tam giác SAC có $SA=SC=AC=a\sqrt{2}$  nên $\Delta SAC$  đều.

Do đó $SO=\frac{a\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2}$ .

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD

Suy ra MN = AB = a.

Xét $\Delta SCD$  cân tại C (do SC - SD) có SN là đường trung tuyến.

$\Rightarrow SN\perp CD$.

Áp dụng định lí Pythagore trong $\Delta SCN$  có:

Vì $S_{SMN}=\frac{1}{2}MI\cdot SN=\frac{1}{2}SO\cdot MN\Rightarrow MI\cdot SN=SO\cdot MN$

$\Rightarrow MI=\frac{SO\cdot MN}{SN}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{2}\cdot a}{\frac{a\sqrt{7}}{2}}=\frac{a\sqrt{42}}{7}.$ .

Vậy $d\left(AB,CD\right)=\frac{a\sqrt{42}}{7}.$