Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 13)
49 câu hỏi
Trong không gian, cho tam giác ABCđều cạnh 2a. Gọi M là trung điểm của BC. Khi quay tam giác ABCxung quanh trục AMthì đường gấp khúc ABCtạo thành một hình nón. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó
Sxq=2πa2
Sxq=4πa2
Sxq=6πa2
Sxq=8πa2
Đáp án đúng là: A
Ta có hình nón có bán kính đường tròn đáy r=BM=a, đường sinh l=AB=2a.
Do đó diện tích xung quanh của hình nón là .Sxq=πrl=2πa2
Thể tích của khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh a và chiều cao 4a bằng
a33
4a3
a333
43a3
Đáp án đúng là: C
Ta có: V=13Bh=13a2344a=a333
Họ các nguyên hàm của hàm số fx=e2x+3 là
∫fxdx=13e2x+3+C
∫fxdx=12e2x+3+C
∫fxdx=e2x+3+C
∫fxdx=2e2x+3+C
Đáp án đúng là: B
Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng ∫eax+bdx=1aeax+b+C, ta có:∫e2x+3dx=12e2x+3+C
.
Tập xác định của hàm số y=x+234 là
−2;+∞
−2;+∞
ℝ
0;+∞
Đáp án đúng là: A
Điều kiện x+2>0⇔x>−2.
Vậy tập xác định của hàm số là D=−2;+∞
Trong không gian Oxyz, vectơ n→=1;−1;−3 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nào sau đây?
x+y−3z−3=0
x−y+3z−3=0
x−y−3z−3=0
x−3z−3=0
Đáp án đúng là: C
Mặt phẳng P:x−y−3z−3=0 có một vectơ pháp tuyến là: n→=1;−1;−3.
Hàm số nào dưới đây có đồ thị như đường cong trong hình bên?
y=2x+1x−1
y=x4−2x2−1
y=x3−2x2−1
y=−x2+2x−1
Đáp án đúng là: B
Nhìn vào đồ thị là đồ thị của hàm số trùng phương bậc bốn.
Trong không gian Oxyz, cho hai vec tơ u→=1;1;0 và v→=2;0;−1. Tính độ dài u→+2v→.
2
22
30
22
Đáp án đúng là: C
Ta có u→=2;v→=5; u→v→=1.2+1.0+0.−1=2.
Suy ra u→+2v→2=u→2+4u→v→+4v→2=2+4.2+4.5=30.
Vậy u→+2v→=30.
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B = 5 và chiều cao h = 6. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
15
10
180
30
Đáp án đúng là: D
Thể tích khối lăng trụ: V=B.h=5.6=30.
Tập nghiệm của bất phương trình log3x<2 là
0;9
0;+∞
9;+∞
−∞;9
Đáp án đúng là: A
Ta có: log3x<2⇔x>0x<32⇔0<x<9.
Nếu ∫01f(x)dx=3 và ∫03f(x)dx=−2 thì ∫13f(x)dx bằng
-6
-5
5
1
Đáp án đúng là: B
Ta có: ∫13f(x)dx=∫03f(x)dx−∫01f(x)dx=−5.
Với n là số nguyên dương bất kỳ,n≥3 , công thức nào sau đây đúng?
An3=n!3!(n−3)!
An3=n!(n−3)!
An3=(n−3)!n!
An3=3!(n−3)!n!
Đáp án đúng là: B
Công thức đúng là An3=n!(n−3)!.
Phương trình log4x+1=log2x+5 có nghiệm là
x = 2
x = 1
x = 3
x = -1
Đáp án đúng là:A
log4x+1=log2x+5⇔2x+5>04x+1=2x+5⇔x>−52x=2⇔x=2.
Diện tích S của mặt cầu bán kính r được tính theo công thức nào dưới đây?
S=πr2
S=4πr2
S=2πr2
S=43πr2
Đáp án đúng là: B
Diện tích mặt cầu bán kính r là S=4πr2.
Diện tích S của mặt cầu bán kính r được tính theo công thức nào dưới đây?
S=πr2
S=4πr2
S=2πr2
S=43πr2
Đáp án đúng là: B
Diện tích mặt cầu bán kính r là S=4πr2.
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2−2x+4y+2z−4=0 và đi qua điểm M (1;1;0). Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M?
3y+z−3=0
2x+3y+z−5=0
3y+z−2=0
2x+3y+z+5=0
Đáp án đúng là: A
Mặt cầu (S) có tâm I (1;-2;1) và bán kính R=12+−22+−12−−4=10.
Để mặt phẳng α tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M
⇔dI;α=R.
Thử đáp án A ta có dI;α=3.−2+−1−332+12=10=R.
Do đó mặt phẳng 3y+z−3=0 tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M.
Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1=2 và công sai d=5. Giá trị của u4 bằng
17
250
12
22
Đáp án đúng là: A
Ta có u4=u1+3d=2+3.5=17.
Nếu ∫01f(x)+2xdx=2 thì ∫01fxdx bằng
4
2
0
1
Đáp án đúng là: D
Ta có: ∫01f(x)+2xdx=2⇔∫01fxdx+∫012xdx=2
⇔∫01fxdx+1=2⇔∫01fxdx=1.
Phần ảo của số phức z = 3 – 4i bằng
-4
4
3
-4i
Đáp án đúng là: A
Từ định nghĩa số phức, phần ảo của số phức z = 3 - 4i là -4.
Đường thẳng x = 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào sau đây?
y=xx−2
y=2x+1x+1
y=x−2x+2
y=−2x+3−x+1.
Đáp án đúng là: A
Vì limx→2+xx−2=+∞ (hoặc limx→2−xx−2=−∞) nên đường thẳng x=2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=xx−2.
Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn là
313625
1225
1325
12
Đáp án đúng là: B
Chọn ngẫu nhiên 2 số khác nhau từ 25 thẻ nên Ω=C252.
Gọi A là biến cố: “hai số có tổng là một số chẵn”.
-TH1: Chọn 2 số đều lẻ trong tổng số 13 số lẻ: C132 cách chọn
-TH2: Chọn 2 số đều chẵn trong tổng số 12 số chẵn: C122 cách chọn
⇒A=C132+C122.
Xác suất PA=AΩ=C132+C122C252=1225.
Trên đoạn [0;2] hàm số f(x)=x4−2x2+1 đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào sau đây?
x = 0
x = 9
x = 2
x =
Đáp án đúng là: C
Ta có: f'(x)=4x3−4x
f'(x)=0⇔4x3−4x=0⇔4xx2−1=0⇔x=0 TMx=1 TMx=−1 KTM .
Khi đó: f0=1;f1=0;f2=9.
Vậy max0;2fx=f2=9 khi x = 2.
Với mọi số thực a dương, log2a24 bằng
log2a−2
2log2a−1
log2a−1
2log2a−1
Đáp án đúng là: B
log2a24=log2a2−log24=2log2a−2=2log2a−1
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) bằng
2a
3a
22a
2a
Đáp án đúng là: B
Gọi H là trung điểm AC.
Ta có BH⊥ACBH⊥AA'⇒BH⊥ACC'A'
⇒dB,ACC'A'=BH=2a.32=a3.
Cho log23=a. Tính P=log86 theo a.
P = 3(1 + a)
P=131+a
P=1+a
P=2+a
Đáp án đúng là: B
P=log86=log232.3=13log22.3=13log22+log23
.=131+log23=131+a
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số fx=sinx−6x2 là:
cosx−12x+C
−sinx−2x3+C
−cosx−2x3+C
sinx−12x+C
Đáp án đúng là: C
Ta có ∫sinx−6x2dx=−cosx−2x3+C.
Trong không gian Oxyz, đường thẳng Δ : x−12=y+31=z−2−3 đi qua điểm nào dưới đây?
Điểm P (1;3;2)
Điểm N (1;-3;2)
Điểm M (-1;3;2)
Điểm Q (1;-3;-2)
Đáp án đúng là: B
Điểm N (1;-3;2) thuộc đường thẳng Δ vì 1−12=−3+31=2−2−3=0 (thỏa mãn).
Cho số phức z thỏa mãn (1 – 3i)z + 1 + 7i = 0. Tổng phần thực và phần ảo của z là
1
3
-3
-6
Đáp án đúng là: A
Ta có:1−3iz+1+7i=0
⇔z=−1−7i1−3i=−1−7i1+3i1−3i1+3i=−1−3i−7i−21i21+9=20−10i10=2−i.
Vậy tổng phần thực và phần ảo của z là 2 + (-1) = 1.
Tính tích phân I=∫122xx2−1dx bằng cách đặt u=x2−1 mệnh đề nào dưới đây đúng?
I=12∫12udu
I=∫12udu
I=2∫03udu
I=∫03udu
Đáp án đúng là: D
Đặt u=x2−1 ⇒du=2xdx
Đổi cận x=1⇒u=0;
.x=2⇒u=3
Khi đó ta có I=∫01udu.
Cho hai số phức z1=2−3i, z2=4+i. Số phức z=z1−z2 bằng
-2 - 4i
2 - 4i
6 + 2i
2 - 2i
Đáp án đúng là: A
Ta có z=z1−z2=2−3i−4+i=−2−4i
Đồ thị hàm số y=x3+x2−2x−2 cắt trục tung tại điểm nào sau đây?
M (0;-1)
P (-2;0)
Q (0;-2)
N (-1;0)
Đáp án đúng là: C
Cho x = 0 ta được y = -2, suy ra đồ thị cắt trục Oy tại điểm Q (0;-2).
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S:x+22+y−62+z2=4. Tâm mặt cầu (S) có tọa độ là
(-1;3;0)
(2;-6;0)
(-2;6;0)
(1;-3;0)
Đáp án đúng là: C
Mặt cầu (S) có tâm I (-2;6;0).
Hàm số nào sau đây đồng biến trên ℝ?
y=−x3+x+1
y=x−3x+2
y=x3+x+1
y=x4+x2
Đáp án đúng là: C
Xét hàm số y=x3+x+1 có tập xác định ℝ và y'=3x2+1>0,∀x∈ℝ.
Do đó hàm số này đồng biến trên ℝ.
Đạo hàm của hàm số y=lnx2−2x+1 bằng
y'=1x−1
y'=1x2−2x+1
y'=2x−1
y'=2x−2
Đáp án đúng là: C
Điều kiện xác định: x2−2x+1>0⇔x≠1.
Khi đó ta có y'=x2−2x+1'x2−2x+1=2x−2x2−2x+1=2x−1
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu yCT của hàm số đã cho là
yCT=−1
yCT=0
yCT=−2
yCT=−3
Đáp án đúng là: D
Dựa vào bảng biến thiên ta có yCT=−3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với đáy và SA=a6. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng
45°
30°
60°
90°
Đáp án đúng là: C
Ta có: SBD∩ABCD=BD
OA⊂(ABCD),OA⊥BD
SO⊂(SBD),SO⊥BD(Vì BD⊥(SAC))
Nên suy ra SBD;ABCD=AOS^.
Do đó tanAOS^=SAAO=2SAAC=2.a62a2=3⇒AOS^=60°.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A (4;-3;2). Hình chiếu vuông góc của A lên các trục Ox, Oy, Oz theo thứ tự là M; N; P. Phương trình mặt phẳng (MNP) là
x4−y3+z2+1=0
4x−3y+2z−5=0
3x−4y+6z−12=0
2x−3y+4z−1=0
Đáp án đúng là: C
Ta có tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên các trục Ox;Oy;Oz là M4;0;0;N0;−3;0;P0;0;2.
Cho hàm số y=ax4+bx2+c a,b,c∈ℝ có đồ thị là đường cong như hình vẽ.
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là
1
0
2
-1
Đáp án đúng là: C
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là y = 2
Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z−3−2i=z¯−1 , z1−z2=22 và số phức w thoả mãn w−2−4i=1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=z2−2−3i+ z1− w bằng
26
10
17−1
4
Đáp án đúng là: C
Gọi M,N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z2 trên mặt phẳng toa độ.
z−3−2i=z¯−1⇒M,N thuộc đường thẳng x + y - 3 = 0.
z1−z2=22⇔MN=22.
Gọi K là điểm biểu diễn số phức w.
w−2−4i=1 => K thuộc đường tròn tâm I (2;4), bán kính R = 1.
Đặt A (2;3). Ta có P=z2−2−3i+ z1− w=NA+MK.
Gọi A' là điểm đối xứng với A qua d ⇒A'0;1
Dựng A" sao cho A'A''→=NM→⇒A''−2;3.
Ta có P=NA+MK=NA'+MK=MA''+MK≥A''K.
Mà A''K≥A''I−R=2+22+4−32−1=17−1.
Vậy Pmin=17−1.
Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn 2x2−4xlog3x+25−3≤0?
25
Vô số
26
24
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: x > -25
T a có: 2x2−4x=0⇔x2=2x⇔x=0x=2
log3x+25−3=0⇔x+25=27⇔x=2
Bảng xét dấu
![Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn (2^x^2 - 4^x)[log3(x+25)-3]<=0? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/02/8-1708783844.png)
Vậy x∈−24;−23;...;0;2 nên có 26 giá trị.
Tìm số giá trị nguyên của tham số thực m để tồn tại các số thực x;y thỏa mãn ex2+y2−m+ex+y+xy−m=x2+y2+x+y+xy−2m+2.
7
9
8
6
Đáp án đúng là: B
Xét hàm số ft=et−t−1; ∀t∈ℝ.
f't=et−1 và f't=0⇔t=0.
Ta thấy f'(t) đổi dấu từ "-" sang "+" khi qua t = 0 nên ft≥f0=0;∀t∈ℝ.
Do đó ex2+y2−m−x2+y2−m−1≥0, ∀x,y∈ℝex+y+xy−m−x+y+xy−m−1≥0, ∀x,y∈ℝ.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x2+y2=mx+y+xy=m.
Hay ex2+y2−m+ex+y+xy−m=x2+y2+x+y+xy−2m+2⇔x2+y2=m 1x+y+xy=m 2
Đặt S=x+y; P=x.y.
Ta có: S2−2P=m S+P=m ⇒S2−S−3P=0.
Vì S2≥4 P⇒S∈0;4.
Lấy 1+2.2 vế theo vế ta được: S2+2S=3m 3
Xét hàm số fS=S2+2S; S∈0;4, có f'S=2S+2>0; ∀S∈0;4.
Yêu cầu bài toán ⇔3 có nghiệm⇔f0≤m≤f4⇔0≤m≤8
Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – y + z + 3 = 0, (Q): x + 2y – 2z – 5 = 0 và mặt cầu S: x2 + y2 + z2 −2x + 4y −6z −11 =0. Gọi M là điểm di động trên (S) và N là điểm di động trên (P) sao cho MN luôn vuông góc với (Q). Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng MN bằng
9+53
14
28
3+53
Đáp án đúng là: A
Mặt cầu (S) có tâm I (1;-2;3) và bán kính R = 5.
Mặt phẳng (P) có VTPT nP→=1; −1; 1, mặt phẳng (Q) có VTPT nQ→=1; 2; −2.
Đường thẳng Δ đi qua hai điểm M,N nhận nQ→=1; 2; −2 làm VTCP, Δ luôn cắt (P), gọi φ là góc giữa Δ và(P), H là hình chiếu vuông góc của M lên (P).
Ta có sinφ = cosnP→, nQ→=13
ΔMNH vuông tại H ⇒MN.sinφ = MH⇒ MN = MHsinφ = 3. MH
MH=dM, P≤R + dI, P=5 + 33, ∀ M∈S⇒ MN = 3MH ≤ 9+ 53 .
.
Vậy giá trị lớn nhất của MN bằng 9 + 53.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, từ điểm A (1;1;0) ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu (S) có tâm I (-1;1;1), bán kính R =1. Gọi M (a;b;c) là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcT=2a−b+2c
3+4115.
3+415.
3+24115.
3+2415.
Đáp án đúng là: D
Do AM là tiếp tuyến của mặt cầu (S) nên AM⊥IM nên tam giác IAM vuông tại M
Xét ΔIAM , có: IA=5, IM=1⇒MA=IA2−R2=2
=> M thuộc mặt cầu tâm A bán kính là 2.
Khi đó M thuộc đường tròn giao tuyến (C) của mặt cầu tâm I bán kính R=1 và mặt cầu tâm A bán kính R=2.
C⊂P:x+12+y−12+z−12=1x−12+y−12+z2=4
⇔C⊂P:2x−z+2=0
Ta có IA:x=1−2ty=1z=t,t∈ℝ.
Gọi E là tâm đường tròn giao tuyến.
Khi đó: E=IA∩P⇒E−35;1;45.
Xét ΔIAM có: r=EM=MA.MIIA=25.
=> M thuộc mặt cầu tâm E−35;1;45 bán kính R=25 hay a+352+b−12+c−452=45.
Do M∈P⇒2a−c+2=0⇔c=2a+2.
Khi đó ta có được a+352+b−12+2a+652=45T=6a−b+4
a+352+b−12+2a+652=45⇔5a+352+b−12=45.
Ta có 6a−b+4=655a+35−b−1−35.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:
655a+35−b−1≤5a+352+b−12652+−12=2415
.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:
![Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f[f(|x+1|) - 2] = m (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/02/10-1708785591.png)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ffx+1−2=m có 10 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [-3;3]?
3
1
0
2
Đáp án đúng là: C
Đặt t=x+1. Vì x∈−3; 3 suy ra t∈0; 4.
![Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f[f(|x+1|) - 2] = m (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/02/11-1708785781.png)
Với mỗi giá trị t∈0; 2 cho ta 2 nghiệm x∈−3;3.
Với mỗi giá trị t∈0∪2; 4 cho ta 1 nghiệm x∈−3;3.
Phương trình trở thành fft−2=m.
Xét hàm gt=fft−2 trên đoạn [0;4]
g't=f't.f'ft−2
g't=0⇔f't=0f'ft−2=0⇔t=1 t=−1 (L)ft−2=−1ft−2=1
⇔t=1ft=1ft=3⇔t=1t=t1>2t=t2>t1>2
.
Do đó, hàm số gt=fft−2 có tối đa 3 cực trị trên đoạn [0;4].
Suy ra phương trình fft−2=m có tối đa 4 nghiệm t.
Giả sử cả 4 nghiệm t đó đều thuộc (0;2] thì cho tối đa 8 nghiệm x.
Theo yêu cầu bài toán ra 10 nghiệm nên không có m thỏa mãn yêu cầu.
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tạiA, BC = 2a và góc ABC^=60°. Biết tứ giác BCC’B’ là hình thoi có B'BC^ nhọn, mặt phẳng (BCC’B’) vuông góc mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (ABC) bằng 45°. Thể tích khối lăng trụ bằng
a37
a337
3a37
6a37
Đáp án đúng là: C
Ta có: HN⊥AB; B'N⊥AB
⇒ABB'A',ABC=HN,B'N=B'NH^=45°
⇒HN=B'H⇒B'N=B'H.2
Xét ΔHBN có BN=HN.cot60°=B'H3
Xét ΔB'NN có B'B2=B'N2+BN2
⇔4a2=B'H.22+B'H32
⇒B'H=2a37
Xét ΔABC có AB=BC.cosABC^=a
⇒SΔABC=12.AB.BC.sinABC^=a232
Do đó VABC.A'B'C'=SΔABC.B'H=a232.2a37=3a37
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong ở hình bên dưới.
Gọi x1,x2 lần lượt là hai điểm cực trị thỏa mãn x2=x1+2 và fx1−3fx2=0. và đồ thị luôn đi qua Mx0;fx0, trong đó x0=x1−1; gx là hàm số bậc hai có đồ thị qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x) và điểm M. Tính tỉ số S1S2(S1 và S2 lần lượt là diện tích hai hình phẳng được tạo bởi đồ thị hai hàm fx,gx như hình vẽ).
429
532
733
635
Đáp án đúng là: B
Khi ta tịnh tiến đồ thị sao cho x0=0 khi đó diện tích hình phẳng không thay đổi.
⇒x1=1;x2=3 đặt fx=ax3+bx2+cx+d; gx=mx2+nx+q
⇒f'x=3ax2+2bx+c
.
Vì hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x1=1;x2=3và f1−3f3=0 nên ta có hệ phương trình:
3a+2b+c=027a+6b+c=080a+26b+8c+2d=0⇔b=−6ac=9ad=2a
⇒fx=ax3−6x2+9x+2
Mà hai đồ thị giao nhau tại 3 điểm nên ta có hệ phương trình:
g0=f0g1=f1g2=f2⇔q=d=2am=−2an=6a⇒gx=a−2x2+6x+2
Khi đó S1=a.∫01x3−4x2+3x dx=5a12;
S2=a.∫13x3−4x2+3x dx=8a3
.
Do đó S1S2=532.
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Số nghiệm thực của phương trình fx4−2x2=2 là
7
9
10
8
Đáp án đúng là: D
Phương trình fx4−2x2=2⇔fx4−2x2=2fx4−2x2=−2
* Phương trình fx4−2x2=2⇔x4−2x2=b, −1<b<0x4−2x2=c, 0<c<1x4−2x2=d, 2<d<3.
* Phương trình fx4−2x2=−2⇔x4−2x2=a, −2<a<−1.
Bảng biến thiên của hàm số y=x4−2x2 như sau:
Dựa vào BBT trên ta có:
- Phương trình x4−2x2=a, −2<a<−1 không có nghiệm thực.
- Phương trình x4−2x2=b, −1<b<0 có 4 nghiệm thực phân biệt.
- Phương trình x4−2x2=c, 0<c<1 có 2 nghiệm thực phân biệt.
- Phương trình x4−2x2=d, 2<d<3 có 2 nghiệm thực phân biệt.
Vậy phương trình fx4−2x2=2 có 8 nghiệm thực phân biệt.
Trên tập hợp số phức, xét phương trình z2−6z+m=0 m là tham số thực). Gọi m0 là một giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1,z2 thỏa mãn z1.z1¯=z2.z2¯. Trong khoảng (0;20) có bao nhiêu giá trị nguyên m0?
13
10
11
12
Đáp án đúng là: B
Xét phương trình z2−6z+m=0
Ta có: Δ'=32−m=9−m.
TH1: Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt z1,z2⇔Δ'<0⇔9−m<0⇔m>9.
Suy ra phương trình có hai nghiệm phức thỏa mãn: z1=z2¯z2=z1¯.
Ta có: z1.z1¯=z2.z2¯⇔z1.z2=z2.z1 (luôn đúng)
Vậy m∈9 ; +∞.
Mà m∈ℤ; m∈0 ; 20⇒m∈10 ; .....; 19.
TH2: Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt z1,z2⇔Δ'>0⇔9−m>0⇔m<9.
Ta có: z1.z1¯=z2.z2¯⇔z1.z1=z2.z2⇔z1=z2 Lz1=−z2 N
⇒z1+z2=0(vô lý)
Vậy có 10 giá trị thỏa mãn.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2;1;3), B (6;5;5). Xét khối nón (N) ngoại tiếp mặt cầu đường kính AB có B là tâm đường tròn đáy khối nón. Gọi S là đỉnh của khối nón (N). Khi thể tích khối nón (N) nhỏ nhất thì mặt phẳng qua đỉnh S và song song với mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N) có phương trình 2x + by + cz + d = 0. Tính T = b + c + d.
T = 12
T = 18
T = 24
T = 36
Đáp án đúng là: A
Mặt cầu (S) đường kính AB có tâm I (4;3;4), bán kính R=AB2=3.
Giả sử thiết diện qua trục hình nón là tam giác SMN.
Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón (h > 6).
I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác SMN ta có: R=SSMNPSMN
⇒3=12MN.SB12SM+SN+MN ⇔3=r.hr+r2+h2 ⇔3r+r2+h2=rh ⇔r2=9hh−6.
Thể tích khối nón là V=13πr2h=π3.9h2h−6=fh.
f'h=3π.h2−12hh−62
.
f'h=0⇔h=0h=12.
Bảng biến thiên
V đạt giá trị nhỏ nhất ⇔h=12.
Ta có IS→=3BI→⇒S−2;−3;1.
Phương trình mặt phẳng (P) qua S (-2;-3;1), có vectơ pháp tuyến AB→=22;2;1 là 2x+2y+z+9=0.
Suy ra b = 2; c = 1; d = 9.
Vậy T = b + c + d = 12.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ. Biết f(5) = 1 và ∫01x f5xdx=1, khi đó ∫05x2f'xdx bằng
-25
23
15
1235
Đáp án đúng là: A
Ta có ∫01xf5xdx=1
Đặt u=5x⇒du=5dx
Đổi cận: x=0⇒u=0
x=1⇒u=5
Ta được ∫01xf5xdx=1⇒∫05u5fudu5=1
⇔125∫05ufudu=1⇔∫05ufudu=25
Suy ra ∫05xfxdx=25.
Gọi I=∫05x2f'xdx
Đặt u=x2dv=f'xdx⇒du=2xdxv=fx.
I=x2fx50−∫05fx.2xdx=25f5−2∫05xfxdx=25−2.25=−25
