Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 13)

Đáp án đúng là: A

Ta có hình nón có bán kính đường tròn đáy $r=BM=a$, đường sinh $l=AB=2a$.

Do đó diện tích xung quanh của hình nón là .$S_{xq}=\pi rl=2\pi a^2$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt{3}}{4}4a=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng $\int {\text{e}}^{ax+b}\text{d}x=\frac{1}{a}{\text{e}}^{ax+b}+C$, ta có:$\int {\text{e}}^{2x+3}\text{d}x=\frac{1}{2}{\text{e}}^{2x+3}+C$

Đáp án đúng là: A

Điều kiện $x+2>0\iff x>-2$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\left(-2;+\infty \right)$

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng $\left(P\right):x-y-3z-3=0$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=\left(1;-1;-3\right)$.

Đáp án đúng là: B

Nhìn vào đồ thị là đồ thị của hàm số trùng phương bậc bốn.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{2};\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{5}$; $\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}=1.2+1.0+0.\left(-1\right)=2$.

Suy ra ${\left|\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}\right|}^2={\left|\overrightarrow{u}\right|}^2+4\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}+4{\left|\overrightarrow{v}\right|}^2=2+4.2+4.5=30$.

Vậy $\left|\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{30}$.

Đáp án đúng là: D

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\log }_{3}x<2\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ x<3^2\end{array}\right.\iff 0<x<9$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x-\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=-5$.

Đáp án đúng là: B

Công thức đúng là $A_n^3=\frac{n!}{(n-3)!}$.

Đáp án đúng là:A
$\log \left(4x+1\right)=\log \left(2x+5\right)\iff \left\{\begin{array}{l}2x+5>0\\ 4x+1=2x+5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>-\frac{5}{2}\\ x=2\end{array}\right.\iff x=2$.

Đáp án đúng là: B

Diện tích mặt cầu bán kính r là $S=4\pi r^2$.

Đáp án đúng là: B

Diện tích mặt cầu bán kính r là $S=4\pi r^2$.

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu (S) có tâm I (1;-2;1) và bán kính $R=\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-1\right)}^2-\left(-4\right)}=\sqrt{10}$.

Để mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M

$\iff d\left(I;\left(\alpha \right)\right)=R$.

Thử đáp án A ta có  $d\left(I;\left(\alpha \right)\right)=\frac{\left|3.\left(-2\right)+\left(-1\right)-3\right|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\sqrt{10}=R$.

Do đó mặt phẳng $3y+z-3=0$ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M.

Đáp án đúng là: A

Ta có $u_4=u_1+3d=2+3.5=17.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[f\left(x\right)+2x\right]\text{d}x=2$$\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{0}{\overset{1}{\int }}\text{2}x\text{d}x=2$

$\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+1=2\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=1$.

Đáp án đúng là: A

Từ định nghĩa số phức, phần ảo của số phức z = 3 - 4i là -4.

Đáp án đúng là: A

Vì $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x}{x-2}=+\infty$ (hoặc $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x}{x-2}=-\infty$) nên đường thẳng $x=2$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x}{x-2}$.

Đáp án đúng là: B

Chọn ngẫu nhiên 2 số khác nhau từ 25 thẻ nên $\left|\Omega \right|=C_{25}^2$.

Gọi A là biến cố: “hai số có tổng là một số chẵn”.

-TH1: Chọn 2 số đều lẻ trong tổng số 13 số lẻ: $C_{13}^2$ cách chọn

-TH2: Chọn 2 số đều chẵn trong tổng số 12 số chẵn: $C_{12}^2$ cách chọn

$\Rightarrow \left|A\right|=C_{13}^2+C_{12}^2$.

Xác suất $P_A=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{C_{13}^2+C_{12}^2}{C_{25}^2}=\frac{12}{25}$.

Đáp án đúng là: B

${\log }_2\frac{a^2}{4}={\log }_2{a}^2-{\log }_{2}4=2{\log }_{2}a-2=2\left({\log }_{2}a-1\right)$

Đáp án đúng là: B

Gọi H là trung điểm AC.

Ta có $\left.\begin{array}{l}BH\perp AC\\ BH\perp A{A}^{\text{'}}\end{array}\right\}\Rightarrow BH\perp \left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$

$\Rightarrow d\left(B,\left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\right)=BH=2a.\frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.

Đáp án đúng là: B

$P={\log }_{8}6={\log }_{2^3}\left(2.3\right)=\frac{1}{3}{\log }_2\left(2.3\right)=\frac{1}{3}\left({\log }_{2}2+{\log }_{2}3\right)$

.$=\frac{1}{3}\left(1+{\log }_{2}3\right)=\frac{1}{3}\left(1+a\right)$

Đáp án đúng là: C

Ta có $\int \left(\sin x-6x^2\right)dx=-\cos x-2x^3+C$.

Đáp án đúng là: B

Điểm N (1;-3;2) thuộc đường thẳng $\Delta$ vì $\frac{1-1}{2}=\frac{-3+3}{1}=\frac{2-2}{-3}=0$ (thỏa mãn).

Đáp án đúng là: A

Ta có:$\left(1-3i\right)z+1+7i=0$

$\iff z=\frac{-1-7i}{1-3i}=\frac{\left(-1-7i\right)\left(1+3i\right)}{\left(1-3i\right)\left(1+3i\right)}=\frac{-1-3i-7i-21i^2}{1+9}=\frac{20-10i}{10}=2-i$.

Vậy tổng phần thực và phần ảo của z là 2 + (-1) = 1.

Đáp án đúng là: D

Đặt $u=x^2-1$ $\Rightarrow \text{d}u=2x\text{d}x$

Đổi cận $x=1\Rightarrow u=0$;

.$x=2\Rightarrow u=3$

Khi đó ta có $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{u}\text{d}u$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $z=z_1-z_2=\left(2-3i\right)-\left(4+i\right)=-2-4i$

Đáp án đúng là: C

Cho x = 0 ta được y = -2, suy ra đồ thị cắt trục Oy tại điểm Q (0;-2).

Đáp án đúng là: C

Mặt cầu (S) có tâm I (-2;6;0).

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số $y=x^3+x+1$ có tập xác định $ℝ$ và $y^{\text{'}}=3x^2+1>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$.

Do đó hàm số này đồng biến trên $ℝ$.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định: $x^2-2x+1>0\iff x\ne 1$.

Khi đó ta có $y^{\text{'}}=\frac{{\left(x^2-2x+1\right)}^{\text{'}}}{x^2-2x+1}=\frac{2x-2}{x^2-2x+1}=\frac{2}{x-1}$

Đáp án đúng là: D

Dựa vào bảng biến thiên ta có $y_{CT}=-3$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\left(SBD\right)\cap \left(ABCD\right)=BD$

$OA\subset \left(ABCD\right),OA\perp BD$

$SO\subset \left(SBD\right),SO\perp BD$(Vì $BD\perp \left(SAC\right)$)

Nên suy ra $\left(\left(SBD\right);\left(ABCD\right)\right)=\widehat{AOS}$.

Do đó $\tan \widehat{AOS}=\frac{SA}{AO}=\frac{2SA}{AC}=\frac{2.a\sqrt{6}}{2a\sqrt{2}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{AOS}=60°$.

Đáp án đúng là: C

Ta có tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên các trục $Ox;Oy;Oz$ là $M\left(4;0;0\right);N\left(0;-3;0\right);P\left(0;0;2\right)$.

Đáp án đúng là: C

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là y = 2

Đáp án đúng là: C

Gọi M,N lần lượt là điểm biểu diễn số phức $z_1,z_2$ trên mặt phẳng toa độ.

$\left|z-3-2i\right|=\left|\overline{z}-1\right|$$\Rightarrow M,N$ thuộc đường thẳng x + y - 3 = 0.

$\left|z_1-z_2\right|=2\sqrt{2}\iff MN=2\sqrt{2}$.

Gọi K là điểm biểu diễn số phức w.

$\left|w-2-4i\right|=1$ => K thuộc đường tròn tâm I (2;4), bán kính R =  1.

Đặt A (2;3). Ta có $P=\left|z_2-2-3i\right|+\left|z_1-w\right|=NA+MK$.

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua d $\Rightarrow A^{\text{'}}\left(0;1\right)$

 Dựng A" sao cho $\overrightarrow{A^{\text{'}}{A^{\text{'}}}^{\text{'}}}=\overrightarrow{NM}$$\Rightarrow {A^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(-2;3\right)$.

Ta có $P=NA+MK=N{A}^{\text{'}}+MK=M{A^{\text{'}}}^{\text{'}}+MK\ge {A^{\text{'}}}^{\text{'}}K$.

Mà ${A^{\text{'}}}^{\text{'}}K\ge {A^{\text{'}}}^{\text{'}}I-R=\sqrt{{\left(2+2\right)}^2+{\left(4-3\right)}^2}-1=\sqrt{17}-1$.

Vậy $P_{\min }=\sqrt{17}-1$.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x > -25

T a có: $2^{x^2}-4^x=0\iff x^2=2x\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$

${\log }_3\left(x+25\right)-3=0\iff x+25=27\iff x=2$

Bảng xét dấu

Vậy $x\in \left\{-24;-23;\mathrm{...};0;2\right\}$ nên có 26 giá trị.

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số $f\left(t\right)=e^t-t-1;\forall t\in ℝ$.

$f^{\text{'}}\left(t\right)=e^t-1$ và $f^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff t=0$.

Ta thấy f'(t) đổi dấu từ "-" sang "+" khi qua t = 0 nên $f\left(t\right)\ge f\left(0\right)=0;\forall t\in ℝ$.

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{e}^{x^2+y^2-m}-\left(x^2+y^2-m\right)-1\ge \mathrm{0,}\forall x,y\in ℝ\\ e^{x+y+xy-m}-\left(x+y+xy-m\right)-1\ge \mathrm{0,}\forall x,y\in ℝ\end{array}\right.$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=m\\ x+y+xy=m\end{array}\right.$.

Hay $e^{x^2+y^2-m}+e^{x+y+xy-m}=x^2+y^2+x+y+xy-2m+2\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=m\left(1\right)\\ x+y+xy=m\left(2\right)\end{array}\right.$

Đặt $S=x+y;P=x.y$.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{S}^2-2P=m\\ S+P=m\end{array}\right.\Rightarrow S^2-S-3P=0$.

Vì $S^2\ge 4P\Rightarrow S\in \left[0;4\right]$.

Lấy $\left(1\right)+2.\left(2\right)$ vế theo vế ta được: $S^2+2S=3m\left(3\right)$

Xét hàm số $f\left(S\right)=S^2+2S;S\in \left[0;4\right]$, có $f^{\text{'}}\left(S\right)=2S+2>0;\forall S\in \left[0;4\right]$.

Yêu cầu bài toán $\iff \left(3\right)$ có nghiệm$\iff f\left(0\right)\le m\le f\left(4\right)\iff 0\le m\le 8$

Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số m  thỏa mãn.

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu (S) có tâm I (1;-2;3) và bán kính R = 5.

Mặt phẳng (P) có VTPT $\overrightarrow{n_P}=\left(1;-1;1\right)$, mặt phẳng (Q) có VTPT $\overrightarrow{n_Q}=\left(1;2;-2\right)$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm M,N nhận $\overrightarrow{n_Q}=\left(1;2;-2\right)$ làm VTCP, $\Delta$ luôn cắt (P), gọi $\phi$ là góc giữa $\Delta$ và(P), H là hình chiếu vuông góc của M lên (P).

Ta có $\sin \phi =\left|\cos \left(\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}\right)\right|=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Delta MNH$vuông tại H $\Rightarrow MN.\sin \phi =MH$$\Rightarrow MN=\frac{MH}{\sin \phi }=\sqrt{3}.MH$

$MH=d\left(M,\left(P\right)\right)\le R+d\left(I,\left(P\right)\right)=5+3\sqrt{3},\forall M\in \left(S\right)$$\Rightarrow MN=\sqrt{3}MH\le 9+5\sqrt{3}$ .

 .

Vậy giá trị lớn nhất của MN bằng $9+5\sqrt{3}.$

Đáp án đúng là: C

Đặt $t=\left|x+1\right|$. Vì $x\in \left[-3;3\right]$ suy ra $t\in \left[0;4\right]$.

Với mỗi giá trị $t\in \left(0;2\right]$ cho ta 2 nghiệm $x\in \left[-3;3\right]$.

Với mỗi giá trị $t\in \left\{0\right\}\cup \left(2;4\right]$ cho ta 1 nghiệm $x\in \left[-3;3\right]$.

Phương trình trở thành $f\left(f\left(t\right)-2\right)=m$.

Xét hàm $g\left(t\right)=f\left(f\left(t\right)-2\right)$ trên đoạn [0;4]

$g^{\text{'}}\left(t\right)=f^{\text{'}}\left(t\right).f^{\text{'}}\left(f\left(t\right)-2\right)$

$g^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(t\right)=0\\ f^{\text{'}}\left(f\left(t\right)-2\right)=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=-1\left(\text{L}\right)\\ f\left(t\right)-2=-1\\ f\left(t\right)-2=1\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ f\left(t\right)=1\\ f\left(t\right)=3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=t_1>2\\ t=t_2>t_1>2\end{array}\right.$

.

Do đó, hàm số $g\left(t\right)=f\left(f\left(t\right)-2\right)$ có tối đa 3 cực trị trên đoạn [0;4].

Suy ra phương trình $f\left(f\left(t\right)-2\right)=m$ có tối đa 4 nghiệm t.

Giả sử cả 4 nghiệm t đó đều thuộc (0;2] thì cho tối đa 8 nghiệm x.

Theo yêu cầu bài toán ra 10 nghiệm nên không có m thỏa mãn yêu cầu.

Vậy không có giá trị nào của m  thỏa mãn.