Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 18)

Đáp án đúng là: D

Khối chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc nên $V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SA.AB.AC$ .

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{6}.3a.a.2a=a^3$ .

Đáp án đúng là: A

Số phức z = -4 - i có phần thực là -4.

Đáp án đúng là: D

Đáp án đúng là: A

Ta thấy $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty$  nên a > 0 .

Đồ thị có ba điểm cực trị nên $ab<0\Rightarrow b<0$ .

Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0;c) nằm dưới trục hoành nên c < 0 .

Vậy $a>0;b<0;c>0$ .

Đáp án đúng là: A

Chọn 1 nữ trong 3 bạn nữ có $C_3^1$  cách;

Chọn 1 nam trong 5 nam có $C_5^1$  cách;

Vậy có $C_5^1.C_3^1$  cách chọn thỏa mãn đề bài.

Đáp án đúng là: A

Gọi $z=x+yi$ , $x,y\in ℝ$ .

Ta có: $\left|z+2-3i\right|=4\iff \left|x+yi+2-3i\right|=4$

$\iff \sqrt{{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2}=4\iff {\left(x+2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=16$

Vậy tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I (-2;3).

Đáp án đúng là: C

Ta thay các tọa độ của các điểm ở 4 phương án vào phương trình mặt cầu (S) thì được tọa độ A(0;0;1) thỏa mãn.

Đáp án đúng là: C

Vì $Oy\perp \left(Oxz\right)$  nên góc giữa Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng $90°$ .

Đáp án đúng là: A

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=\frac{5}{2}\end{array}\right.$ .

Bảng xét dấu f'(x):

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ .

Đáp án đúng là: A

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: $x-2>0\iff x>2$ .

Bất phương trình: ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-2\right)\le 1\iff x-2\ge \frac{1}{2}\iff x\ge \frac{5}{2}$ .

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm $S=\left[\frac{5}{2};+\infty \right)$ .

Đáp án đúng là: C

Gọi M là trung điểm AD, suy ra ABCM là hình vuông cạnh a .

Xét tam giác ACM có CM là trung tuyến và $CM=\frac{1}{2}AD\Rightarrow \widehat{ACM}=90°$ .

Ta có $\left.\begin{array}{c}AC\perp SA\\ AC\perp CD\end{array}\right\}\Rightarrow AC$  là đoạn vuông góc chung của SA và CD.

Vậy $d\left(SA,CD\right)=AC=a\sqrt{2}$ .

Đáp án đúng là: A

Gọi độ dài cạnh của khối lập phương là x .

Ta có $A^{\text{'}}{C}^2=A{A^{\text{'}}}^2+A{D}^2+D{C}^2\Rightarrow {\left(3\sqrt{3}\right)}^2=x^2+x^2+x^2\Rightarrow x=3$

Vậy thể tích của khối lập phương là $V=3^3=27$ .

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng yy= 1 cắt đồ thị hàm số tại điểm x = 2 và y = 1.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng yy= 1 cắt đồ thị hàm số tại điểm x = 2 và y = 1.

Đáp án đúng là: C

Ta có ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x+1}>3\iff x+1<-1\iff x<-2$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left(-\infty ;-2\right)$ .

Đáp án đúng là: B

Với mọi $x\in \left(0;+\infty \right)$ , ta có ${\left(x^e\right)}^{\text{'}}=e{x}^{e-1}$ .

Vậy trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ , đạo hàm của hàm số $y=x^e$  là $y^{\text{'}}=e{x}^{e-1}$ .

Đáp án đúng là: D

Ta có:

$I=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left[x+2f\left(x\right)\right]\text{d}x=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}x\text{d}x+\underset{-1}{\overset{2}{\int }}2f\left(x\right)\text{d}x={\left.\frac{x^2}{2}\right|}_{-1}^2+2\underset{-1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ $=\frac{2^2}{2}-\frac{{\left(-1\right)}^2}{2}+2.2=\frac{11}{2}$

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng $d:\frac{x+3}{4}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{2}$  có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(4;3;2\right)$ .

Đáp án đúng là: C

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra $BD\perp AO$ .

Vì $\left\{\begin{array}{l}BD\perp AC\\ BD\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BD\perp \left(SAC\right)$ . Mà $SO\subset \left(SAC\right)$  suy ra $BD\perp SO$ .

Ta có $\left\{\begin{array}{l}BD=\left(SBD\right)\cap \left(ABCD\right)\\ SO\subset \left(SBD\right),SO\perp BD\\ AO\subset \left(ABCD\right),AO\perp BD\end{array}\right.\Rightarrow \left(\widehat{\left(SBD\right),\left(ABCD\right)}\right)=\left(\widehat{SO,AO}\right)=\widehat{SOA}$ .

Vì ABCD là hình vuông cạnh a  nên có $AC=a\sqrt{2}$ ; $AO=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Đáp án đúng là: D

Ta có $\left(P\right):\frac{x}{2}+\frac{y}{3}-\frac{z}{2}=1\Rightarrow \left(P\right):3x+2y-3z-6=0$ .

Do đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n}=\left(3;2;-3\right)$ .

Đáp án đúng là: B

Ta có $n\left(\Omega \right)=C_9^4$ .

Gọi A là biến cố “trong 4 người được chọn: có cả đàn ông, phụ nữ và trẻ em”.

Có 3 trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: Chọn 1 người đàn ông, 1 người phụ nữ và 2 người trẻ em có: $C_2^1.C_3^1.C_4^2$  (cách chọn).

Trường hợp 2: Chọn 1 người đàn ông, 2 người phụ nữ và 1 người trẻ em có: $C_2^1.C_3^2.C_4^1$  (cách chọn).

Trường hợp 1: Chọn 2 người đàn ông, 1 người phụ nữ và 1 người trẻ em có: $C_2^2.C_3^1.C_4^1$  (cách chọn).

$\Rightarrow n\left(A\right)=C_2^1.C_3^1.C_4^2+C_2^1.C_3^2.C_4^1+C_2^2.C_3^1.C_4^1=72$.

$\Rightarrow P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{72}{126}=\frac{4}{7}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $z={\left(1+i\right)}^2=1+2i+i^2=2i\Rightarrow \overline{z}=-2i$ .

Đáp án đúng là: B

Số nghiệm của f(x) = m bằng số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị y = f(x).

Yêu cầu bài toán là f(x) = m có ba nghiệm phân biệt.

$\iff -1<m<3$, m  nguyên dương nên $m\in \left\{\mathrm{1,2}\right\}$ .

Vậy có 2 giá trị của m .

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng MN có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MN}=\left(1;4;2\right)$  và đi qua điểm $N\left(5;2;3\right)$  nên có phương trình tham số $\left\{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=2+4t\\ z=3+2t\end{array}\right.$ .

Đáp án đúng là: B

Tọa độ hình chiếu của điểm A(1;2;3) trên Oz là H(0;0;3).

Gọi điểm A' đối xứng với A qua trục Oz thì H là trung điểm của đoạn AA'. Suy ra tọa độ điểm A'(-1;-2;3)

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-2x-1}{x-2}=-2$  nên phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị $y=\frac{-2x-1}{x-2}$  là y = -2

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  cắt mặt cầu theo một thiết diện là đường tròn có bán kính r .

Đáp án đúng là: B

Xét đường thẳng d  đi qua điểm M(-1;2;0), có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;-3;1\right)$ .

Xét mặt phẳng (Oyz) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right)$ .

Do $d\subset \left(\alpha \right)$ , $\left(\alpha \right)\perp \left(Oyz\right)$  nên suy ra vectơ $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}\right]=\left(0;-1;-3\right)$  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  và $M\in \left(\alpha \right)$ .

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  đi qua điểm  và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left(0;-1;-3\right)$  là vectơ pháp tuyến có phương trình là: $y+3z-2=0$ .

Khi đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  bằng: $\frac{\left|1+3(-3)-2\right|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\sqrt{10}$ .

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: $x^2-a>0\iff \left[\begin{array}{l}x>1\\ x<-1\end{array}\right.$ .

Đặt $t={\log }_2\left(x^2-1\right)$ .

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành $t^2-t{\log }_{3}2+{\log }_{3}2-1\le 0\iff t\in \left[{\log }_{3}2-1;1\right]$ .

Suy ra $\left[\begin{array}{l}\sqrt{2^{\left({\log }_{3}2-1\right)}+1}\le x\le \sqrt{3}\\ -\sqrt{3}\le x\le -\sqrt{2^{\left({\log }_{3}2-1\right)}+1}\end{array}\right.$ .

Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[-\sqrt{3};-\sqrt{2^{\left({\log }_{3}2-1\right)}+1}\right]\cup \left[\sqrt{2^{\left({\log }_{3}2-1\right)}+1};\sqrt{3}\right]$ .

Vậy $a+b+c+2d=\sqrt{3}$ .

Đáp án đúng là: C

Ta có $y^{\text{'}}=4x^3-12x^2+\left(4-m\right)$

Hàm số $y=x^4-4x^3+\left(4-m\right)x+1$  có ba cực trị khi và chỉ khi $y^{\text{'}}=4x^3-12x^2+\left(4-m\right)=0$  có ba nghiệm phân biệt.

Xét phương trình: $4x^3-12x^2=m-4$ .

$h\left(x\right)=4x^3-12x^2\Rightarrow h^{\text{'}}\left(x\right)=12x^2-24x$; $h^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=0\\ x=2\Rightarrow y=-16\end{array}\right.$

Vậy $y=x^4-4x^3+\left(4-m\right)x+1$  có ba cực trị khi và chỉ khi $-16<m-4<0$

$\iff -12<m<4$

Do m  nguyên nên có 15 giá trị m .

Đáp án đúng là: C

Ta có $\Delta \text{'}=2m-1$ .

Trường hợp 1: Với $m>\frac{1}{2}$ , thì phương trình $z^2-2\left(m+1\right)z+m^2+2=0$  có hai nghiệm dương.

Nên $\left|z_1\right|+\left|z_2\right|=8\iff z_1+z_2=8\iff 2(m+1)=8\iff m=3\left(TM\right)$

Trường hợp 2: Với $m<\frac{1}{2}$ , hai nghiệm của phương trình $z^2-2\left(m+1\right)z+m^2+2=0$  là $z_1=m+1+\sqrt{1-2m}i,z_2=m+1-\sqrt{1-2m}i$

Nên $\left|z_1\right|+\left|z_2\right|=8\iff 2\sqrt{{\left(m+1\right)}^2+1-2m}=8\iff \left[\begin{array}{l}m=\sqrt{14}\left(L\right)\\ m=-\sqrt{14}\left(TM\right)\end{array}\right.$

Kết luận: Có tất cả 2 giá trị m  thỏa mãn đề bài.