Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 12)
50 câu hỏi
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=3x+12x−1 là đường thẳng
y=32
x=12
x=32
y=12
Đáp án đúng là: B
Ta có limx→12+y=limx→12+3x+12x−1=+∞; limx→12−y=limx→12−3x+12x−1=−∞.
Do đó x=12 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Cho hai số phức z = 2 + i và w = 3 - 2i. Phần thực của số phức z + w bằng
4
5
-1
2
Đáp án đúng là: B
Có z+w=2+i+3−2i=5−i.
Phần thực của số phức z + w bằng 5.
Cho số phức z thỏa mãn z¯=2−3i. Phần ảo của số phức 1z bằng
−213
313
213
−313
Đáp án đúng là: D
z¯=2−3i⇒z=2+3i⇒1z=213−313i.
Phần ảo của số phức 1z bằng −313.
Cho ∫1x+1dx=Fx+C. Khẳng định nào dưới đây đúng?
F'x=lnx+1
F'x=1x+1
F'x=−1x+12
F'x=2(x+1)2
Đáp án đúng là: B
F'x=∫1x+1dx'=1x+1.
Cho hàm số trùng phương y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
1;+∞
−∞;0
3;4
0;1
Đáp án đúng là: D
Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên (0;1)
Nếu ∫02fxdx=2 thì ∫022f(x)+xdx bằng
4
6
8
2
Đáp án đúng là: B
Ta có: ∫022f(x)+xdx=2∫02f(x)dx+∫02xdx=2.2+2=6.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.
Điểm cực đại của đồ thị hàm số là
(3;1)
(0;3)
(1;3)
(-1;1)
Đáp án đúng là: C
Dựa vào đồ thị ta có điểm cực đại của đồ thị hàm số là (1;3)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn cho z = -2 + 3icó tọa độ là
(3;-2)
(3;2)
(-2;3)
(2;-3)
Đáp án đúng là: C
Điểm biểu diễn số phức z = -2 + 3i là (-2;3).
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ.
Tọa độ giao điểm của đồ thị đã cho và trục tung là
(4;0)
(0;4)
(3;0)
(0;3)
Đáp án đúng là: D
Dựa vào đồ thị ta có tọa độ giao điểm của đồ thị đã cho và trục tung là (3;0)
Cho mặt cầu có bán kính bằng 2a, diện tích của mặt cầu bằng
4πa2
43πa3
323πa3
16πa2
Đáp án đúng là: D
Diện tích của mặt cầu: S=4πr2=4π(2a)2=16πa2.
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ
Giá trị cực tiểu của hàm số là
2
-1
-2
1
Đáp án đúng là: C
Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực tiểu của hàm số là -2
Cho đường thẳng d cắt mặt cầu S(O;R) tại hai điểm phân biệt. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d. Khẳng định nào sau đây là đúng?
OH = 0
OH < R
OH = R
OH > R
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng d cắt mặt cầu S (O;R) tại hai điểm phân biệt khi OH < R.
Cho tập Acó 10 phần tử. Số tập con gồm 3 phần tử của A bằng
90
30
120
720
Đáp án đúng là: C
Số tập con gồm 3 phần tử của A bằng C103=120.
Trong không gian Oxyz, gọi M là giao điểm của đường thẳng x+12=y1=z1 và mặt phẳng (P) : x + y + z – 3 = 0. Điểm M có tọa độ là
(-1;0;0)
(1;3;-1)
(2;1;2)
(1;1;1)
Đáp án đúng là: D
Gọi M=d∩P⇒M2t−1;t;t∈d.
Mà M∈P⇒2t−1+t+t−3=0⇔t=1⇒M1;1;1.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x + 2y – z + 3 = 0. Vectơ nào sau đây vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q)?
u→=(1;0;0)
u→=0;1;2
u→=1;1;2
u→=0;1;1
Đáp án đúng là: B
Có nQ→=1;2;−1.
Với u→=0;1;2 thì u→.nQ→=0 nên u→=0;1;2 vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).
Cho hình lập phương cạnh bằng2adiện tích toàn phần của hình lập phương bằng
24a2
8a3
32a2
24a2
Đáp án đúng là: D
Diện tích một mặt của hình lập phương là 4a2.
Diện tích toàn phần của hình lập phương là 24a2
Trong không gian Oxyz, cho đường cong S: x2+y2+z2−4z+m=0. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để (S) là mặt cầu
3
5
4
3
Đáp án đúng là: A
Ta có x2+y2+z2−4z+m=0⇔x2+y2+z−22=4−m.
Để đường cong (S) là mặt cầu thì 4−m>0⇔m<4.
Do m nguyên dương nên có 3 giá trị của m là m=1, m=2, m=3.
Trong không gian Oxyz, cho A (0;1;0), góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (Oxz) bằng
60°
45°
90°
0°
Đáp án đúng là: C
Ta có OA⊥Oxz nên góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.
Đạo hàm của hàm số y=32x+1 là
y'=2.32x+1
y'=2.32x
y'=32x+1ln3
y'=2.32x+1ln3
Đáp án đúng là: D
Ta có y'=2x+1'.32x+1ln3=2.32x+1ln3.
Nếu ∫−10fxdx=1, ∫01fxdx=2 thì ∫−112fxdx bằng
6
4
0
3
Đáp án đúng là: A
Ta có ∫−112fxdx =2∫−11fxdx=2∫−10fxdx+∫01fxdx =2⋅3=6.
Cho hàm số fx=sinx+ex. Khẳng định nào dưới đây đúng?
∫fxdx=−cosx+ex+C
∫fxdx=cosx+ex+C
∫fxdx=sinx+ex+C
∫fxdx=−cosx+ex−1+C
Đáp án đúng là: A
Ta có ∫fxdx=∫sinx+ex dx=−cosx+ex+C.
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2, SA vuông góc với đáy, SA = 3(tham khảo hình vẽ). Thể tích của khối chóp đã cho bằng
6.
8.
12.
4.
Đáp án đúng là: D
Ta có: VS.ABCD=13SABCD.SA=13.22.3=4.
Tập nghiệm của bất phương trình 13x+2<3 là
−2;+∞
−∞;−3
−3;+∞
−∞;−1
Đáp án đúng là: C
Ta có: 13x+2<3⇔3−x−2<3⇔−x−2<1⇔x>−3.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là −3;+∞.
Tập nghiệm của bất phương trình logx−3<1 là
3;13
13;+∞
3;4
−∞;13
Đáp án đúng là: A
Điều kiện: x−3>0⇔x>3.
Ta có: logx−3<1⇔x−3<10⇔x<13.
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là (3;13).
Cho cấp số cộng un với u1=2 và công sai bằng 3. Giá trị của u5 bằng
u5=14
u5=2.34
u5=2.35
u5=17
Đáp án đúng là: A
Ta có: u5=u1+4d=2+4.3=14.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?
y=x−12x+1
y=x4−2x2+1
y=−x3+3x+1
y=x3+3x−1
Đáp án đúng là: C
Đồ thị hàm số đã cho không phải là đồ thị của hàm số dạng :
y=ax+bcx+d, y=ax4+bx2+c nên loại các phương án A và B.
Từ đồ thị ta có: limx→−∞y=+∞ -->loại phương án D.
Tập xác định của hàm số y=logπ2−x là
−∞;2
0 ; 2
2;+∞
−∞;2
Đáp án đúng là: A
Hàm số xác định khi và chỉ khi 2−x>0⇔x<2.
Trong không gian Oxyz cho điểm A (1;3;4). Điểm đối xứng của A qua trục Ox có tọa độ là
(1;3;-4)
(-1;-3;-4)
(1;-3;-4)
(-1;3;4)
Đáp án đúng là: C
Điểm đối xứng của A (1;3;4) qua trục Ox có tọa độ là (1;-3;-4).
Cho phương trình 2x2.3x+1=2. Tổng các nghiệm của phương trình bằng
log32
log232
−log23
log23
Đáp án đúng là: C
Ta có 2x2.3x+1=2⇔log22x2.3x+1=1
⇔x2+x+1log23−1=0⇔x2+x.log23+log23−1=0⇔x=−1x=−log23+1.
Tổng các nghiệm của phương trình bằng −1−log23+1=−log23.
Với mọi a,b dương thỏa mãn log2a2+log2b=3, khẳng định nào dưới đây đúng?
a2+b=6
a2b=9
a2+b=8
a2b=8
Đáp án đúng là: D
Ta có log2a2+log2b=3⇔log2a2.b=3⇔a2b=23⇔a2b=8.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA=a32.
\
Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
90°
30°
60°
45°
Đáp án đúng là: D
Gọi I là trung điểm của BC, ΔABC đều, suy ra AI⊥BC và AI=a32.
Có BC⊥AIBC⊥SASA⊥ABCD⇒BC⊥SAI⇒BC⊥SI.
Lại có SBC∩ABC=BCAI⊂ABC,AI⊥BCSI⊂SBC,SI⊥BC nên góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
góc giữa hai đường thẳng AI và SI.
Mà AI,SI=SIA^.
Trong ΔSAIvuông tại A, ta có tanSIA^=SAAI=a32a32=1⇒SIA^=45°.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãnz−2=z¯−i là đường thẳng
4x−2y+3=0
4x−2y−3=0
2x+4y−3=0
4x+2y−3=0
Đáp án đúng là: D
Đặt z=x+yix,y∈ℝ⇒z¯=x−yi
z−2=z¯−i
⇔x+yi−2=x−yi−i
⇔x−22+y2=x2+y+12
⇔x−22+y2=x2+y+12
⇔4x+2y−3=0.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'x=−x3+2x2 với mọi x∈ℝ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
2;+∞
−∞;2
43;+∞
0;2
Đáp án đúng là: A
f'x=−x3+2x2=0⇔x=2x=0.
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 2;+∞.
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi cho hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=x2−3x và y = 0 quay quanh trục Ox bằng
814π
8110π
815π
92π
Đáp án đúng là: B
Phương trình hoành độ giao điểm: x2−3x=0⇔x=0x=3.
V=π∫03x2−3x2dx=π∫03x4−6x3+9x2dx=πx55−32x4+3x303=8110π.
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A (2;0;0), B (0;1;0), C (0;0;1) là
x+y+z−2=0
x+2y+z−2=0
x+2y+2z−2=0
x2+y1+z1=0
Đáp án đúng là: C
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A (2;0;0), B (0;1;0), C (0;0;1) là
x2+y1+z1=1⇔x+2y+2z−2=0.
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) = m có 3 nghiệm thực phân biệt?
7
9
8
10
Đáp án đúng là: C
Phương trình fx=m có 3 nghiệm thực phân biệt khi −5<m<4.
Mà m∈ℤ nên m∈−4;−3;−2;−1;0;1;2;3.
Một hộp chứa 10 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ kích thước khác nhau và 6 quả màu xanh kích thước khác nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả từ hộp. Xác suất để 3 quả lấy được đều màu đỏ bằng
130
25
16
15
Đáp án đúng là: A
nΩ=C103=120.
Gọi A là biến cố “3 quả lấy được đều màu đỏ”.
nA=C43=4⇒PA=nAnΩ=130.
Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi F(x), G(x) là hai nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn F(8) + G(8) = 4. Cho biết 
, giá trị của F912) + G(12) bằng
10
12
6
8
Đáp án đúng là: B
∫13f2x+6dx=12F2x+613=12F12−F8⇒F12−F8=4.
Tương tự ∫13f2x+6dx=12G2x+613=12G12−G8⇒G12−G8=4.
Suy ra F12+G12−F8−G8=8⇒F12+G12=12.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d:x+12=y−11=z−23 và mặt phẳng P:x−y−z−1=0. Gọi Δ là đường thẳng đi qua A1;1;−2,Δ//P và Δ cắt d. Giao điểm của Δ và mặt phẳng (Oxy) là Mx0;y0;z0, khi đó x0+y0+z0 bằng
325
215
315
195
Đáp án đúng là: A
Có nP→=1;−1;−1.
Gọi N=Δ∩d⇒N2t−1;t+1;3t+2.
Δ đi qua A và N⇒uΔ→=AN→=2t−2;t;3t+4.
Vì
Δ//P⇒uΔ→⊥nP→⇔uΔ→.nP→=0⇔2t−2−t−3t−4=0⇔t=−3⇒AN→−8;−3;−5
Vậy Δ:x−18=y−13=z+25
Gọi M=Δ∩Oxy,M∈Δ⇒M8t+1,3t+1,5t−2.
M∈Oxy⇒5t−2=0⇔t=25⇒M215;115;0⇒x0+y0+z0=325.
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O’), bán kính đáy R=7. AB là một dây cung của đường tròn (O) sao cho tam giác O’AB là tam giác đều và mặt phẳng (O’AB) tạo với mặt phẳng chứa đường tròn (O;R) một góc 60°. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
22π
7π
37π
21π
Đáp án đúng là: D
Gọi I là trung điểm của AB ⇒AB⊥OI
Ta có: AB⊥OIAB⊥OO'⇒AB⊥OO'I⇒AB⊥O'I.
Do đó góc giữa mặt phẳng (O'AB) và mặt phẳng chứa đường tròn (O;R) là O'IO^=60°.
Đặt AB = x, do ΔO'AB đều ⇒O'I=x32.
Xét ΔO'IO vuông tại O, có OI=O'I.cos60°=x34
Mặt khác,
OI=OA2−AI2=7−x24⇒7−x24=x34⇔7−x24=3x216⇔x=4
⇒OO'=OI.tan60°=3.
V=πR2h=π.72.3=21π.
Cho phương trình z2−mz+1=0 (với m là tham số thực) có hai nghiệm z1,z2. Gọi A,B,C lần lượt là các điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn cho các số phức z0=i;z1;z2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để diện tích tam giác ABC bằng 34?
4
6
2
3
Đáp án đúng là: C
Ta có: Δ=m2−4.
TH1: Δ>0⇔m<−2m>2⇒Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt z1=a,z2=b.
Khi đó: A0;1,Bb;0,Cc;0.
Ta có dA,BC=1;BC=b−c.
Do đó
SABC=12dA,BC.BC=12.1.b−c=34⇔b−c2=34⇔b+c2−4bc=34.
Theo Vi-et ta có: b+c=mbc=1⇒m2−4=34⇔m=±192.
TH2: Δ<0⇔−2<m<2
=> Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt z1=m+i4−m22z2=m−i4−m22.
⇒A0;1,Bm2;4−m22,Cm2;−4−m22.
+)BC=4−m2;dA,BC=m2.
+)SABC=12dA,BC.BC=12.m2.4−m2=34⇔m4−4m2+3=0⇔m2=1m2=3.
Do m nguyên, nên có 2 giá trị m=±1 thỏa mãn.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y=x3−3x−m+12 có 5 điểm cực trị.
1
3
4
2
Đáp án đúng là: B
Tập xác định: D=ℝ.
Ta có y'=23x2−3x3−3x−m+1.
y'=0⇔x=±1x3−3x=m−1 *.
Yêu cầu bài toán ⇔* có 3 nghiệm phân biệt khác ±1.
Xét hàm số gx=x3−3x có g'x=3x2−3; g'x=0⇔x=±1.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra −2<m−1<2⇒−1<m<3.
Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ (tham khảo hình vẽ) có AA’ = 2a, AB = a.
Khoảng cách từ C’ tới mặt phẳng (B’AC) bằng
25717a
25719a
2579a
5719a
Đáp án đúng là: B
Gọi I=BC'∩B'C.
Gọi M, H lần lượt là hình chiếu của B lên các cạnh AC và B'M
⇒BM⊥AC;BH⊥B'M.
Vì BB'⊥ABC⇒BB'⊥AC mà BM⊥AC nên AC⊥B'BM⇒AC⊥BH
Lại có BH⊥B'M nên BH⊥B'AC⇒dB, B'AC=BH
Khi đó dC', B'AC=dB, B'AC=BH.
Xét ΔB'BM vuông tại B, có BM=a32, B'B=2a
⇒1BH2=1BB'2+1BM2=14a2+43a2=1912a2⇒BH=25719a.
Cho bất phương trình log2x−1<log55x−5 có tập nghiệm là S (a;b). Khi đó b - a gần bằng giá trị nào sau đây?
3,17
3,27
3,07
3,37
Đáp án đúng là: D
Điều kiện: x > 1
Ta có: log2x−1<log55x−5
⇔log2x−1<1+log5x−1
⇔log2x−1<1+log52.log2x−1
⇔1−log52log2x−1<1
⇔log2x−1<11−log52
⇔x<211−log52+1.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
S=1; 211−log52+1⇒a=1b=211−log52+1⇒b−a≈3,37.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, (SAB) vuông góc với đáy (ABC) và tam giác SAB đều, khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCB) bằng 2155a. Thể tích của khối chóp S.ABC là
a38
3a38
a33
a3
Đáp án đúng là: D
Gọi H và M lần lượt là trung điểm của AB và BC.
Gọi K là trung điểm của BM⇒HK⊥BM.
Vì ΔSAB đều, H là trung điểm AB nên SH⊥AB.
Có SAB∩ABC=ABSAB⊥ABCSH⊂SAB,SH⊥AB⇒SH⊥ABC⇒SH⊥BC.
Gọi I là hình chiếu của H lên SK ⇒HI⊥SK.
Vì SH⊥BCHK⊥BC⇒BC⊥SHK⇒BC⊥HI mà HI⊥SK nên HI⊥SBC.
Khi đó HI=dH,SBC=12dA,SBC=155a.
Đặt AB = x suy ra SH=AM=x32 và HK=12AM=x34.
Xét ΔSHK vuông tại H, có
1HI2=1HS2+1HK2⇔1a1552=1x322+1x342⇔2515a2=203x2⇔x=2a.
Vậy V=13⋅SABC⋅SH=13⋅x234⋅x32=x38=a3.
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên 0;+∞, có đồ thị như hình vẽ đồng thời thỏa mãn f'x−1x2f'1x=5181−1x2,∀x>0. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=fx−x−12x và y = 0 bằng
3724−179ln2
3724−119ln2
3724−139ln2
3124−139ln2
Đáp án đúng là: C
Xét phương trình y=fx−x−12x=0⇔fx=x−12⇔x=12x=2.
Khi đó S=∫122fx−x−12xdx=∫122fxxdx−∫122x−2+1xdx=A−B.
Tính B=∫122x−2+1xdx=x22−2x+lnx122=−98+2ln2.
Tính A=∫122fxxdx=∫122fxdlnx=fxlnx122−∫122f'xlnxdx=54ln2−∫122f'xlnxdx.
Xét phương trình
f'x−1x2f'1x=5181−1x2,∀x>0⇔f'xlnx−1x2f'1xlnx=5181−1x2lnx.
Suy ra ∫122f'xlnxdx+∫122−1x2f'1xlnxdx=518∫1221−1x2lnxdx.
Đặt t=1x⇒dt=−1x2dx, ta có x=12⇒t=2, x=2⇒t=12.
Khi đó ∫122−1x2f'1xlnxdx=∫212f'tln1tdt=∫122f'tlntdt=∫122f'xlnxdx.
Lại có
∫1221−1x2lnxdx=∫122lnxdx+1x=x+1xlnx122−∫122x+1x1xdx=5ln2−3.
Suy ra 2∫122f'xlnxdx=5185ln2−3⇔∫122f'xlnxdx=2536ln2−512.
Do đó A=54ln2−2536ln2−512=59ln2+512.
Vậy S=A−B=59ln2+512+98−2ln2=3724−139ln2.
Trong không gian Oxyz, cho điểm A (4;0;0), B (1;2;3). Gọi M là điểm di động thỏa mãn OM→.OA→=3OM.OA2 và MA→.MO→=0. Gọi p,q lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của BM. Giá trị p2+q2 bằng
40
30
34−239
34+239
Đáp án đúng là: A
Ta có: OM→.OA→=3OM.OA2⇔cosOM→,OA→=32⇒OM→,OA→=30°.
Mặt khác, MA→.MO→=0 nên điểm M thuộc đường tròn tâm I bán kính r là đáy chung của hai hình nón đỉnh A và hình nón đỉnh O.
Ta tính được: IA=1; IO=3; r=3; OI→=3IA→⇔I3;0;0.
Mặt phẳng (P)chứa đường tròn đáy qua I (3;0;0), VTPT OA→=4;0;0 có phương trình: x - 3 = 0.
Nhận xét: O, B cùng phía với P; dB,P=2; dB,OA=13.
Gọi H, J là hình chiếu của B lên (P) và OA⇒BJ=13=IH, BH=2=IJ.
Ta có BM=BH2+MH2≤BH2+IH+r2=4+3+132=20+239=p.
BM=BH2+MH2≥BH2+IH−r2=4+3−132=20−239=q.
Vậy p2+q2=40.
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên ℝ, f(0) = 3 và đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số gx=2fx+x2−2mx+2m đồng biến trên (0;1)?
2
1
4
3
Đáp án đúng là: D
Đặt hx=2fx+x2−2mx+2m⇒h'x=2f'x+2x−2m.
Chọn hàm f''x=3ax2−1⇒f'x=ax3−3x+d.
f'0=0f'1=−1⇒d=0a=12⇒f'x=x3−3x2.
Xét hàm px=f'x+x=x3−x2, x∈0;1.
p'x=3x2−12=0⇔x=1/3 t/mx=−1/3 l.
Ta có bảng biến thiên:
Như vậy: −39≤px<0, ∀x∈0;1.
Hàm số gx=2fx+x2−2mx+2m đồng biến trên (0;1) khi và chỉ khi xảy ra một trong hai trường hợp sau:
TH1: h0=6+2m≥0h'x≥0 , ∀x∈0;1⇔m≥−3m≤f'x+x , ∀x∈0;1⇔m≥−3m≤−39.
Vì m∈ℤ nên m∈−3;−2;−1.
TH2: h0=6+2m≤0h'x≤0 , ∀x∈0;1⇔m≤−3m≥f'x+x , ∀x∈0;1⇔m≤−3m≥0 (loại).
Vậy m∈−3;−2;−1.
Cho số phức z thỏa mãn z2−i.z=z2¯−z¯.i. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |z – 2 – i| + |z – 3 – 2i| bằng
26
10
2
15
Đáp án đúng là: B
z2−i.z=z2¯−z¯.i⇔z2−i.z=z2+i.z⇔zz−i=zz+i⇔z=0z−i=z+i.
Khi đó điểm M biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức là gốc tọa độ O (0;0) hoặc thuộc đường thẳng d: x = 0 với d là đường trung trực của đoạn thẳng AB với A (0;1), B (0;-1).
TH1: M≡O, P=z−2−i+z−3−2i=5+13.
TH2: M∈d, P = MC + MD với C (2;1) và D (3;2).
Do C (2;1) và D (3;2) khác phía so với d: x = 0 nên gọi C' (2;-1) là điểm đối xứng của C qua d: x = 0. Khi đó P=MC+MD=MC'+MD≥C'D=10.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P=z−2−i+z−3−2i là 10.
Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y)thỏa mãn:
x2+y2+7xx>log2x2+y2x+x2+y2xlog23?
4
5
9
D.
Đáp án đúng là: C
x2+y2+7xx>log2x2+y2x+x2+y2xlog23 1.
Điều kiện x2+y2x>0⇔x>0, mà x∈ℤ⇒x≥1
Đặt t=x2+y2x⇒t≥1.
Khi đó, 1⇔t+7>log2t+tlog23⇔t+7−log2t−tlog23>0.
Xét hàm số ft=t+7−log2t−tlog23 với t≥1.
⇒f't=1−1tln2−log23.tlog232<0,∀t≥1
Nên ft nghịch biến trên 1;+∞.
Mặt khác f4=0 nên t = 4 là nghiệm duy nhất của phương trình f(t) = 0.
Khi đó ft>0⇔0<t<4⇔x2+y2x<4⇔x2+y2<4x⇔x−22+y2<4
Để tồn tại số thực y thì x∈1;2;3 nên ta có tất cả 9 cặp số nguyên (x;y).
