Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 17)
53 câu hỏi
Số cực trị của hàm số f(x)=x−20232x+1 là
2
0
1
3
Đáp án đúng là: B
Ta có f'(x)=40472x+12>0 ∀x≠−12.
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
Cho hàm số (C):y=x3+3x2. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1;4) là
y=9x−5
y=−9x+5
y=−9x−5
y=9x+5
Đáp án đúng là: A
Ta có y'=3x2+6x.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y=x3+3x2 tại điểm M(1;4) là:
y=f'(1).(x−1)+4 ⇔y=9(x−1)+4⇔y=9x−5.
Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong y=5+(x−4)exxex+1, trục hoành và hai đường thẳng x = 0;x = 1 quanh trục hoành có thể tích V=πa+bln(e+1), trong đó a,b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
a + b = 9
a + b = 5
a - 2b = 13
a - 2b = -3
Đáp án đúng là: C
Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong y=5+(x−4)exxex+1, trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=1 quanh trục hoành là:
V=π∫015+(x−4)exxex+1dx=π∫015+xex−4exxex+1dx=π∫011+4−4exxex+1 dx
=π∫01dx+ ∫014−4exxex+1dx
Đặt I=∫014−4exxex+1dx=4∫011−exxex+1dx=4∫011ex−1x+1exdx.
Đặt t=x+1ex⇒dt=1−1exdx. Đổi cận ta có: x=0⇒t=1x=1⇒t=1+1e .
I=4∫11+1e−dtt=4−lnt11+1e=4−ln(1+e)+1
Nên V=π1+4.1−ln1+e=π5−4ln1+e.
Do đó a=5; b=−4⇒a−2b=13.
Cho hàm số y=2x+1x+1. Có bao nhiêu giá trịthực m để đường thẳng d: y = -2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB (O là gốc tọa độ) có diện tích 3.
2
0
3
1
Đáp án đúng là: A
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là
2x+1x+1=−2x+m⇔−2x2+m−4x+m−1=0 (*)x≠−1.
Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 nên ta có Δ=m2+8>01≠0⇔∀m∈ℝ.
Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (*), ta có x1+x2=m−42; x1.x2=m−1−2.
Do đó Ax1;−2x1+m, Bx2;−2x2+m;
AB=x2−x12+−2x2−x12=5x1+x22−4x1x2
=5m−422+4m−12=5m2+84;
hO=dO,d=m5
.
Ta có
SOAB=12AB.hO⇔23=mm2+84⇔m4+8m2−48=0⇔m=2m=−2.
Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn điều kiện đề bài
Cho hình chóp S.ABCD. Có đáy là hình vuông ABCD cạnh 2a, SA⊥ABCD và SB=a5. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB; AD. Tính côsin góc giữa hai đường thẳng SMvà BN
105
110
255
55
Đáp án đúng là: A
Ta có
SA=SB2−AB2=a; SM=SN=MN=a2; BN=AB2+AN2=a5
cosSM;BN=cosSM→;BN→=SM→.BN→SM.BN=SM→.SN→−SM→.SB→SM.BN
=SM2+SN2−MN22−SM2+SB2−BM22SM.BN =a2−2a2+5a2−a22a2.a5=105
.
Cho 2 số thực x,y thỏa mãn x2+y2≥3 và logx2+y2x4x2−3x+4y2−3y2≥2. Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x - y, khi đó biểu thức T = 2(M + m) có giá trị gần nhất với số nào sau đây?
9
8
7
10
Đáp án đúng là: B
Ta có: logx2+y2x4x2−3x+4y2−3y2≥2⇔logx2+y2x2+y24x−3≥2
1+logx2+y24x−3≥2⇔x2+y2−4x+3≤0⇔x−22+y2≤1
![Cho 2 số thực x,y thỏa mãn x^2 _ y^2 >=3 và logx^2+y^2[x(4x^2 - 3x + 4y^2)-3y^2]>=. Gọi M;m (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/02/2-1709049857.png)
Giả sử M là giá trị lớn nhất của P.
Gọi Δ1:x−y−M=0 để tồn tại giá trị lớn nhất thì dI;Δ≤R.
⇔2−M2≤1⇔M≤2+2.
Vậy giá trị lớn nhất của P là M=2+2.
Giả sử m là giá trị nhỏ nhất của P.
Gọi Δ2:x−y−m=0.
Dựa vào miền nghiệm của P ta thấy P đạt giá trị nhỏ nhất khi Δ2 đi qua điểm A32;32⇒m=3−32.
Vậy T=2M+m=22+2+3−32≈8,096.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ u→=2;3;−1 và v→=5;−4;m. Tìm tất cả giá trị m để u→⊥v→.
m = 2
m = 4
m = -4
m = -2
Đáp án đúng là: D
Ta có u→⊥v→⇔u→.v→=0⇔2.5+3(−4)+(−1)m=0⇔−m−2=0⇔m=−2.
Cho hàm số fx=lnx2+1. Giá trị f’(2) bằng
2
45
42ln5
43ln2
Đáp án đúng là: B
Ta có fx=lnx2+1⇒f'x=x2+1'x2+1=2xx2+1⇒f'2=2.222+1=45.
Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 50π và độ dài đường sinh bằng đường kính của đường tròn đáy. Bán kính r của đường tròn đáy là
r=52
r=5
r=522
r=52
Đáp án đúng là: C
Diện tích xung quanh của hình trụ Sxq=2πrl và l=2r.
Ta có Sxq=2πrl⇔2πrl=50π⇔2πr2r=50π⇔r=522.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm xác định trên ℝ thỏa mãn f0=22, fx>0 và fx.f'x=2x+11+f2x , ∀x∈ℝ. Giá trị f(2) là
54
45
35
9
Đáp án đúng là: B
Ta có fx.f'x=2x+11+f2x , ∀x∈ℝ
⇔ fx.f'x1+f2x=2x+1 , ∀x∈ℝ⇔ 2fx.f'x21+f2x=2x+1 , ∀x∈ℝ
⇒ ∫2fx.f'x21+f2xdx=∫2x+1dx⇒ 1+f2x=x2+x+C .
Cho x = 0 ta được: C=1+f20=1+222=3.
Do đó 1+f2x=x2+x+3.
Lại cho x = 2 ta được: 1+f22=4+2+3=9⇒ 1+f22=81⇒ f22=80
⇒ f2=45 (do fx>0).
Vậy f2=45.
Thể tích của khối hộp chữ nhật có các kích thước 4; 5; 6 là
20
40
60
120
Đáp án đúng là: D
Thể tích của khối hộp chữ nhật có các kích thước 4; 5; 6 là 4.5.6=120.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x−22+y+12+z+22=4. Tâm và bán kính mặt cầu là
I(-2;1;2), R = 2
I(2;-1;-2), R = 4
I(2;-1;-2), R = 2
I(2;-1;-2), R = 16
Đáp án đúng là: C
Mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;-2) và bán kính R = 2.
Cho hình chóp đều S.ABC có ASB^=30°,SA=1. Lấy B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh SB, SC sao cho chu vi tam giác AB’C’ nhỏ nhất. Tỉ số VS.AB'C'VS.ABC gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?
0,5
0,6
0,55
0,65
Đáp án đúng là: C
Trải hình, ta có A≡A',SA=SB=1,ASB^=30°
⇒ΔSAA'vuông cân tại S ⇒SAA'^=45°.
Ta có chu vi ΔAB'C' là 2p=AB'+AC'+B'C'≥AA'.
Do đó chu vi ΔAB'C' nhỏ nhất ⇔B',C'∈AA'.
Gọi I là trung điểm của BC và H là giao điểm của SI và B'C'.
Ta có
SH=SA.sinSAH^=1.sin45°=22;SI=SB.sinSBI^=1.sin75°=241+3.
Vì B'C'//BC nên VS.AB'C'VS.ABC=SB'SB.SC'SC=SHSI.SHSI=SHSI2=4−23.
Vậy tỉ số VS.AB'C'VS.ABC gần giá trị 0,55 nhất trong các giá trị đã cho.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để hàm số y=3a−11x nghịch biến trên ℝ?
0
1
2
3
Đáp án đúng là: A
Điều kiện 0<3a−11<1⇔113<a<4.
Do đó không có giá trị nguyên của a thỏa yêu cầu đề bài.
Có bao nhiêu cách lấy một quả cầu từ hộp chứa 15 quả cầu màu đỏ và 14 quả cầu màu vàng?
210
29
14
15
Đáp án đúng là: B
Theo quy tắc cộng ta có: 15 + 14 = 29(cách)
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy và đi qua điểm A(2;2;2) có phương trình là
y−2=0
x+y+z−1=0
z−2=0
x−2=0
Đáp án đúng là: C
Ta có Oxy:z=0, suy ra mặt phẳng cần tìm P:z−a=0 a≠0.
Điểm A2;2;2∈P⇒a=2⇒P:z−2=0.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy và đi qua điểm A(2;2;2) có phương trình là
y−2=0
x+y+z−1=0
z−2=0
x−2=0
Đáp án đúng là: C
Ta có Oxy:z=0, suy ra mặt phẳng cần tìm P:z−a=0 a≠0.
Điểm A2;2;2∈P⇒a=2⇒P:z−2=0.
Cho hàm số y=x3−3x+2 có đồ thị là (C). Số giao điểm của (C) và trục hoành là
3
1
2
0
Đáp án đúng là: C
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:
x3−3x+2=0⇔x=−2x=1
Vậy có hai giao điểm.
Cho hàm số y=sin2x−m+1sinx+2m+2sinx−2 (với m là tham số thực). Giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi m bằng
12
-1
-32
-12
Đáp án đúng là: C
Ta có: y=−sin2x−m+1sinx+2m+22−sinx vì sinx<2,∀x∈ℝ
Đặt t=sinx, t∈−1;1, đặt ft=t2−m+1t+2m+22−t.
Ta có: f't=−t2+4t2−t2, f't=0⇔t=0,t=4 (loại)
Khi đó: f−1=m+43f0=m+1=mint∈−1;1ft=af1=m+2=maxt∈−1;1ft=A
Nên maxt∈−1;1ft=A+a+A−a2=2m+3+12≥12
Dấu “=” xảy ra ⇔2m+3=0⇔m=−32.
Cho ∫−12fxdx=3,∫−12gxdx=−1. Khi đó I=∫−12x+2fx−3gxdx bằng
10
212
192
172
Đáp án đúng là: B
Ta có:
I=∫−12x+2fx−3gxdx=∫−12xdx+2∫−12fxdx−3∫−12gxdx=32+2.3−3.−1=212
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x−22−1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 bằng
23
73
13
32
Đáp án đúng là: D
Ta có: S=∫12x−22−1dx=23.
Tập nghiệm của bất phương trình 5−2x+1>9−45 là
1;+∞
−1;1
−∞;1
(−∞;1)
Đáp án đúng là: D
Ta có:5−2x+1>9−45⇔5−2x+1>5−22⇔x+1<2⇔x<1.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=−∞;1.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3. Các mặt bên (SAB), (SAC), (SBC) lần lượt tạo với đáy các góc là 30°, 45°, 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC. Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) nằm trong tam giác ABC.
V=27324+3
V=27384+3
V=2734+3
V=27344+3
Đáp án đúng là: B
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC).
Đặt SH = h
Hạ HI, HJ, HK lần lượt vuông góc với các cạnh AB, BC. AC.
Xét ΔSHI: tan30°=SHHI⇒HI=h3
Xét ΔSHJ: tan60°=SHHJ⇒HJ=h3
Xét ΔSHK: tan45°=SHHK⇒HK=h
Xét ΔABC: SABC=SHAB+SHBC+SHAC=12HI.AB+12HJ.BC+12HK.AC
=12.h3.3+12.h3.3+12.h.3=h4+332.
Mà SABC=3.AB24=3.324.
Nên h4+332=3.324⇔h=924+3.
Vậy VS.ABC=13.h.SABC=27384+3.
Cho đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ
![Cho đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ Hàm số y = f(x) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [1;3] tại x0. Khi đó giá trị của x0^2 - 3x0 + 2023 bằng bao nhiêu? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/02/7-1709086077.png)
Hàm số y = f(x) đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [1;3] tại x0. Khi đó giá trị của x02−3x0+2 023 bằng bao nhiêu?
2024
2023
2021
2022
Đáp án đúng là: C
Từ đồ thị ta thấy: max1;3fx=f2⇒x0=2
Từ đó: x02−3x0+2 023=22−3.2+2 023=2 021.
Thể tích của khối nón có chiều cao h = 3 và bán kính r = 4 bằng:
12π
48π
4π
16π
Đáp án đúng là: D
Thể tích của khối nón đã cho là V=13π.r2.h=13π.42.3=16π.
Cho một hình chóp có số đỉnh là 2023, số cạnh của hình chóp đó là:
1012
4044
4046
1011
Đáp án đúng là: B
Vì số đỉnh của hình chóp là 2023 nên số đỉnh của mặt đáy là 2022.
Do vậy số cạnh của mặt đáy là 2022 và số cạnh bên là 2022.
Vậy số cạnh của hình chóp là: 2022 + 2022 = 4044.
Cho log3 = a, log2 = b. Khi đó giá trị của log12530 được tính theo a là:
1+a31−b
43−a3−b
a3+b
a3+a
Đáp án đúng là: A
Ta có: log12530=log3.10log53=log3+13log5=log3+13log102=log3+13log10−log2=1+a31−b.
Nguyên hàm của hàm số fx=24x+3 là:
∫24x+3dx=2ln4x+3+C
∫24x+3dx=12ln4x+3+C
∫24x+3dx=14ln4x+3+C
∫24x+3dx=2ln2x+32+C
Đáp án đúng là: C
Ta có: ∫24x+3dx=12ln4x+3+C.
Nguyên hàm của hàm số fx=24x+3 là:
∫24x+3dx=2ln4x+3+C
∫24x+3dx=12ln4x+3+C
∫24x+3dx=14ln4x+3+C
∫24x+3dx=2ln2x+32+C
Đáp án đúng là: C
Ta có: ∫24x+3dx=12ln4x+3+C.
Cho tứ diện ABCD có các mặt bên ABC và BCD là các tam giác đều cạnh bằng 2, hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) vuông góc với nhau. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng
223
2
22
63
Đáp án đúng là: B
Gọi I là trung điểm của AD thì BIC^=ABD,ACD=90°⇒ΔIBC vuông tại .
Vì ΔABD = ΔCBD nên IB=IC=2⇒IA=AC2−IC2=2
⇒IA=IB=IC=ID=2.
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 2.
Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1;-2;3). Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm Avà B sao cho AB=23.
x−12+y+22+z−32=25
x−12+y+22+z−32=16
x−12+y+22+z−32=20
x−12+y+22+z−32=9
Đáp án đúng là: B
Gọi H là trung điểm của AB thì IH vuông góc với AB và IH=−22+32=13.
Suy ra bán kính mặt cầu là: R=IA=3+13=4.
Vậy phương trình mặt cầu là x−12+y+22+z−32=16.
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số mđể hàm số
y = (m – 3)x – (2m + 1)cos x luôn nghịch biến trên ℝ. Số phần tử của S là
6
7
5
4
Đáp án đúng là: C
Hàm số y=m−3x−2m+1cosx nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi
y'=m−3+2m+1sinx≤0 ∀x⇔1+2msinx≤3−m ∀x (1) .
Vì m để nguyên nên ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: m>−12
⇒(1):sinx≤3−m1+2m ∀x ⇔1≤3−m1+2m⇔m≤23⇒m∈−12;23.
Trường hợp 2: m<−12
⇒(1):sinx≥3−m1+2m ∀x ⇔−1≥3−m1+2m⇔m≥−4⇒m∈−4;−12.
Kết hợp với điều kiện m∈ℤ⇒m∈−4;−3;−2;−1;0.
Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCDtâm O, SA=2a2. Hình chiếu vuông góc của Slên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh OA, biết tam giác SBD vuông tại S. Khoảng cách từ điểm Dđến mặt phẳng (SBC) bằng
3a510
2a55
4a105
2a105
Đáp án đúng là: C
Gọi H là trung điểm của OA.
Qua H vẽ đường thẳng song song với AB cắt BC tại L.
Trong (SLH) vẽ HK vuông góc với SL.
HK⊥SLHK⊥BC⇒HK⊥(SBC)⇒dH,SBC=HK.
Ta có: ΔSHD=ΔSHB cgc-cgc, suy ra ΔSBD vuông cân tại S.
Lại có: H là trung điểm của OA và SH⊥OA ( Vì:SH⊥(ABCD) ).
Do đó ΔSAO cân tại S.
Suy ra: SA=SO=OB=OD=2a2 nên: BD=4a2=AC⇒AH=a2
Vậy, cạnh của hình vuông có AD=DC=AB=BC=4a và SH=SO2−HO2=a6
Mặt khác: HL//AB⇒CHAC=HLAB=34
⇒d(H,(SBC))=34d(A,(SBC))=34d(D,(SBC))
Lại có: d(H,(SBC))=HP=11SH2+1HL2=3a105
⇒d(D,(SBC))=4a105
.
Cho hàm số f(x)có đạo hàm trên đoạn 1;2023], ,f(1) = 1 và f(2023) = 2. Tích phân I=∫12 023f'x dx bằng
2022
1
2023
2
Đáp án đúng là: B
Ta có: I=∫12023f'x dx=fx12023=f2023−f1=1.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-5;5] để hàm số y=x3−2x2+m+3x−1 không có cực trị?
6
8
5
7
Đáp án đúng là: D
Xét y=x3−2x2+m+3x−1⇒y'=3x2−4x+m+3.
Để hàm số y=x3−2x2+m+3x−1 không có cực trị thì y' không đổi dấu.
Nên: Δ'≤0. Do đó: Δ'=−22−3m+3=4−3m−9=−3m−5≤0⇔m≥−53
Kết hợp với điều kiện m∈−5;5 và m∈ℤ⇒m∈−1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.
Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng P:x+2y+2z−10=0 và Q:x+2y+2z−5=0 bằng
53
73
5
59
Đáp án đúng là: A
Vì 11=22=22≠−10−5 nên hai mặt phẳng (P) và (Q) song song.
Chọn M10;0;0∈P.
Khi đó, dP,Q=dM,Q=10−59=53 .
Cho hàm số f(x) liên tục, có đạo hàm trên ℝ, f(2) = 16 và ∫02fxdx=4. Tích phân ∫04xf'x2dx bằng
112
144
56
12
Đáp án đúng là: A
Xét tích phân I=∫04xf'x2dx
Đặt: t=x2⇒dt=12dx; Đổi cận: x=0⇒t=0;x=4⇒t=2.
Khi đó: I=∫04xf'x2dx=∫024tf'tdt=∫024xf'xdx.
Đặt: u=4xdv=f'xdx⇒u=4dxv=fx.
Khi đó: I=∫024xf'xdx=4xfx02−∫024fxdx=8f2−4.4=8.16−16=112 .
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành AB = 3, AD = 4, BAD^=120°. Cạnh bên SA=23 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD và BC, α là góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (MNP). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
α∈0°;30°
α∈30°;45°
α∈45°;60°
α∈60°;90°
Đáp án đúng là: D
Với mọi điểm P∈BC ta có MNP≡BCNM≡MBC, do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (MNP) bằng góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (MBC).
Gọi H là hình chiếu của B lên AC thì BH⊥SAC nên ΔMHC là hình chiếu của ΔMBC lên (SAC).
Do đó SΔMHC=SΔMBC.cosα; MBC,SAC=α.
Gọi K là hình chiếu của A lên BC thì MK⊥BC.
Ta có AK=AB.sinABK^=3.sin60°=332
⇒MK=MA2+AK2=392⇒SΔMBC=12BC.MK=39
.
Ta có KB=AB.cosABK^=32⇒KC=52
⇒AC=AK2+KC2=13⇒BH=BC.AKAC=63913
⇒CH=BC2−BH2=101313⇒SΔMHC=12CH.MA=53913
Suy ra cosα=SΔMHCSΔMBC=5391339=513⇒α∈60°;90°.
Số nghiệm của phương trình log3x2−2x=log5x2−2x+2 là
2
0
1
3
Đáp án đúng là: A
Điều kiện: x≠0;x≠2.
Đặt log3x2−2x=log5x2−2x+2=t. Khi đó ta có
x2−2x=3tx2−2x+2=5t⇔x2−2x=3tx2−2x=5t−2
Từ đó suy ra 5t−2=3t⇔5t−2=3t 15t−2=−3t 2.
· Phương trình (1) tương đương 5t−3t−2=0⇔1−35t−2.15t=0.
Xét hàm số gt=1−35t−2.15t.
Khi đó g't=−35tln35−2.15tln15>0, ∀t⇒gt đồng biến trênℝ.
Suy ra phương trình g(t) = 0 có không quá một nghiệm.
Dễ dàng thấy t = 1 là một nghiệm của phương trình g(t) = 0.
Suy ra t = 1 cũng là nghiệm duy nhất của phương trình g(t) = 0.
Với t = 1 ta có:
log5x2−2x+2=1⇔x2−2x=3⇔x2−2x−3=0 (với Δ=14>0).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
· Phương trình (2) tương đương với 5t+3t−2=0.
Xét hàm số h(t)=5t+3t−2.
Khi đó h'(t)=5tln5+3tln3>0, ∀t⇒h(t) đồng biến trên ℝ.
Lập luận tương tự phương trình (1), ta có phương trình (2) có duy nhất một nghiệm t = 0.
Với t = 0, ta có: log5x2−2x+2=0⇔x2−2x=−1⇔x2−2x+1=0
(vô nghiệm do Δ=−2<0).
Kết luận:Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm trên ℝ\−2 ; 1 và có bảng biến thiên như sau:
Đồ thị hàm số f(x) có bao nhiêu đường tiệm cận?
2
1
3
0
Đáp án đúng là: A
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
limx→−∞fx=4, suy ra đồ thị hàm số f(x) có một tiệm cận ngang là y = 4
limx→−2+fx=+∞ suy ra đồ thị hàm số f(x) có một tiệm cận đứng là x = -2
limx→1+fx=limx→1−fx=2 suy ra đường thẳng x = 1 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số f(x) .
.
Vậy đồ thị của hàm số f(x) có 2 đường tiệm cận.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
(0;2)
(-2;-1)
(-2;0)
(-1;1)
Đáp án đúng là: B
Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng (-2;-1) đồ thị hàm số là một đường đi lên.
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-2;-1).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình là x−y+2z−3=0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là
n→=1;1;−2
n→=1;−1;2
n→=1;2;−3
n→=−1;2;−3
Đáp án đúng là: B
Phương trình mặt phẳng P:x−y+2z−3=0.
Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n→=1;−1;2.
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình log2 023x2+2 022x=1 bằng
-2022
-2023
2023
2022
Đáp án đúng là: A
Phương trình đã cho tương đương với x2+2 022x=2 023⇔x2+2 022x−2 023=0 (1).
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nên theo Viet suy ra tổng các nghiệm là x1+x2=−2 022.
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mnằm trong khoảng
(-2023;2023) để hàm số y=2 023mlog32x−4log3x+m+3 xác định trên khoảng 0;+∞?
4040
4044
4039
4046
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: x > 0 .
Hàm số đã cho xác định trên 0;+∞ thì mlog32x−4log3x+m+3≠0,∀x∈0;+∞
⇔mlog32x+1≠4log3x−3,∀x∈0;+∞⇔m≠4log3x−3log32x+1,∀x∈0;+∞
Để hàm số y=2023mlog32x−4log3x+m+3 xác định trên khoảng 0;+∞ thì phương trình m=4log3x−3log32x+1 vô nghiệm trên khoảng 0;+∞.
Xét hàm số y=4t−3t2+1 với t=log3x
Khi đó y'=−4t2+6t+4t2+12; y'=0⇒−4t2+6t+4=0⇔t=−12t=2.
Ta có limt→−∞y=limt→−∞y=0.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra m∈−∞;−4∪1;+∞.
Kết hợp điều kiện m∈−2023;2023⇒m∈−2023;−4∪1;2023.
Vì m∈ℤ suy ra có 4039 giá trị m thỏa mãn.
Tập xác định của hàm số y=1+x−2 023 là
−1;+∞
ℝ\−1
−∞;−1
ℝ\1
Đáp án đúng là: B
Điều kiện xác định:1+x≠0⇔x≠−1
Vậy tập xác định của hàm số y=1+x−2 023 là ℝ\−1.
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = -3, x = 2 (như hình vẽ). Đặt a=∫−31fxdx,b=∫12fxdx.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
S = -a - b
S = a + b
S = a - b
S = b - a
Đáp án đúng là: D
Ta có: S=∫−32fxdx=−∫−31fxdx+∫12fxdx=−a+b
Cho hàm số bậc ba y=fx=ax3+bx2+cx+d có đồ thị là (C) và hàm số y=gx=−fmx+1 , m>0 (như hình vẽ). Với giá trị nào của m để hàm số y = g(x) nghịch biến trên đúng một khoảng có độ dài bằng 3?
23
25
13
12
Đáp án đúng là: A
Từ đồ thị ta có f'x=0⇔x=0x=2
gx=−fmx+1 ⇒g'x=−m.f'mx+1
⇒g'x=0⇔m.f'mx+1=0 m>0⇔mx+1=0mx+1=2⇔x=−1mx=1m .
Bảng xét dấu của g'(x)
Hàm số y = g(x) nghịch biến trên khoảng −1m ; 1m.
Để hàm số y = g(x) nghịch biến trên đúng một khoảng có độ dài bằng 3 thì 1m−−1m=3⇔2m=3⇔m=23.
Cho hàm số bậc ba y=fx=ax3+bx2+cx+d có đồ thị là (C) và hàm số y=gx=−fmx+1 , m>0 (như hình vẽ). Với giá trị nào của m để hàm số y = g(x) nghịch biến trên đúng một khoảng có độ dài bằng 3?
23
25
13
12
Đáp án đúng là: A
Từ đồ thị ta có f'x=0⇔x=0x=2
gx=−fmx+1 ⇒g'x=−m.f'mx+1
⇒g'x=0⇔m.f'mx+1=0 m>0⇔mx+1=0mx+1=2⇔x=−1mx=1m .
Bảng xét dấu của g'(x)
Hàm số y = g(x) nghịch biến trên khoảng −1m ; 1m.
Để hàm số y = g(x) nghịch biến trên đúng một khoảng có độ dài bằng 3 thì 1m−−1m=3⇔2m=3⇔m=23.
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;3) trên mặt phẳng (Oxz) là
P0 ; 2 ; 3
M1 ; 0 ; 3
N0 ; 2 ; 0
Q1 ; 2 ; 0
Đáp án đúng là: B
Mặt phẳng (Oxz) đi qua điểm O(0;0;0), có vectơ pháp tuyến j→=0 ; 1 ; 0
Phương trình (Oxz) là y = 0
Đường thẳng Δ qua và vuông góc với (Oxz) có phương trình x=1y=2+tz=3.
Gọi A' là hình chiếu vuông góc của A lên (Oxz) nên A'=Δ∩Oxz suy ra A'(1;0;3).
Vậy A' trùng với điểm M đề bài cho.
Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’có A'3;−1;1, hai đỉnh B, C thuộc trục Oz và AA’ = 1 (C không trùng vớiO). Biết vectơ u→=a;b;2 (với a,b∈ℝ) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A’C. Tính T=a2+b2.
T = 15
T = 14
T = 16
T = 9
Đáp án đúng là: C
Gọi I là trung điểm của BC.
Do tam giác ABC đều nên AI⊥BC⇒A'I⊥BC⇒I là hình chiếu của A' trên BC. Vì B,C∈Oz nên I là hình chiếu của A' trên Oz⇒I0;0;1.
Ta có A'I→=−3;1;0⇒A'I=2.
Trong tam giác vuông AA'I có: AI=A'I2−AA'2=4−1=3.
Vì tam giác ABC đều nên BC=23AI=23.3=2⇒CI=1.
Gọi C0;0;c∈Oz.
Do CI=1;I0;0;1; C≠O⇒C0;0;2⇒A'C→−3;1;1.
Mà u→=a;b;2 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A'C nên A'C→ và u→ cùng phương.
Suy ra a−3=b1=21⇒a=−23b=2⇒a2+b2=−232+22=16.
Cho cấp số cộng un có số hạng tổng quát un=3n−2 với n≥1. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
-2
1
3
2
Đáp án đúng là: C
Ta có un+1−un=3n+1−2−3n−2=3 ,∀n∈ℕ*.
Suy ra công sai của cấp số cộng đã cho là d = 3.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD=2AB,AC=5, SA vuông góc với đáy và SA = 6. Thể tích khối chóp đã cho bằng
4
12
6
2
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác ABC vuông tại B, ta có:
AB2+BC2=AC2⇔AB2+4AB2=52⇔AB=1.
Suy ra: SABCD=AB.BC=1.2=2.
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: V=13SABCD.SA=13.2.6=4.
Một chuồng có 3 con thỏ trắng và 4 con thỏ nâu. Người ta bắt lần lượt từng con ra khỏi chuồng cho đến khi bắt được cả 3 con thỏ trắng mới thôi. Xác suất để cần phải bắt đến ít nhất 5 con thỏ là
2935
435
45
3135
Đáp án đúng là: D
Xét biến cố đối A¯: “bắt được 3 con thỏ trắng trong 3 hoặc 4 lần”
·Trường hợp 1: Bắt được 3 con thỏ trắng trong 3 lần đầu:
Ta có nΩ=7.6.5 và nA1¯=3!. Suy ra pA1¯=3!7.6.5
·Trường hợp 2: Bắt được 3 con thỏ trắng trong 4 lần đầu ( lần 4 bắt được con màu trắng; lần 1, 2 và 3 bắt được 2 con thỏ trắng và 1 con thỏ nâu)
Ta có nΩ=7.6.5.4 và nA2¯=C41.C32.3!. Suy ra pA2¯=C41.C32.3!7.6.5.4
Suy ra: pA¯=pA1¯+pA2¯=435⇒pA=1−435=3135.
Vậy xác suất để cần phải bắt đến ít nhất 5 con thỏ là pA=3135.
