Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 11)
51 câu hỏi
Tính đạo hàm của hàm số y=log22x−1.
y'=12x−1
y'=22x−1
y'=12x−1ln2
y'=22x−1ln2
Đáp án đúng là: D
Ta có y'=22x−1ln2.
Với a là số dương tùy ý khác 1, logaa bằng
2
12a
12
2a
Đáp án đúng là: C
Ta có logaa=logaa12=12.
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V = 3. Thể tích khối chóp A’.AB’C’ là
12
1
3
13
Đáp án đúng là: B
Ta có VA'.AB'C'=VA.A'B'C'=13SA'B'C'.dA, A'B'C'=13V=1.
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Điểm cực tiểu của hàm số là B1;43.
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là B(0;1)
Điểm cực đại của đồ thị hàm số là B(0;1)
Điểm cực đại của hàm số là B1;43.
Đáp án đúng là: B
Từ bảng biến thiên ta suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là B(0;1)
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x + sinx là
2x2+cosx+C
x2+cosx+C
2x2−cosx+C
x2−cosx+C
Đáp án đúng là: D
Ta có ∫fx dx=∫2x+sinx dx=x2−cosx+C.
Cho ∫x2+1 dx=Fx+C. Khẳng định nào dưới đây đúng?
F'x=x2+1
F'x=x2
F'x=13x3+x
F'x=23x2+1
Đáp án đúng là: A
Ta có ∫x2+1 dx=Fx+C⇒Fx=13x3+x.
Do đó F'x=x2+1.
Cho hàm số bậc bốn y=fx=ax4+bx2+c có đồ thị như hình vẽ sau
Giá trị cực đại của hàm số là
1
-1
0
-2
Đáp án đúng là: B
Giá trị cực đại của hàm số là -.
Số phức liên hợp của số phức z = 2 – 5i là
z¯=5−2i
z¯=2+5i
z¯=−5i
z¯=5i
Đáp án đúng là: B
Số phức liên hợp của số phức z=2−5i là z¯=2+5i.
Tìm tập nghiệm của bất phương trình log2(x−2)<2.
(2;6)
[2;6)
(6;+∞)
(−∞;6)
Đáp án đúng là: A
Điều kiện x−2>0⇔x>2.
log2(x−2)<2⇔x−2<4⇔x<6.
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = (2;6).
Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = 2 – 3i là
N(-3;2)
Q(-3;-2)
P(2;3)
M (2;-3)
Đáp án đúng là: D
Điểm biểu diễn số phức z = 2 - 3i là M (2;-3).
Cho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3 cm và thể tích bằng 814cm3. Khi đó độ dài cạnh bên của khối lăng trụ đã cho bằng
3 cm
33 cm
4 cm
32 cm
Đáp án đúng là: B
Ta có diện tích đáy S=934. Vậy cạnh bên h=VS=814934=33.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm M (1;-2;3), N (3;0;-1)và I là trung điểm của MN. Mệnh đề nào sau đây đúng?
OI→=4i→−2j→+2k→
OI→=2i→−2j→+2k→
OI→=2i→−j→+k→
OI→=4i→−2j→+k→
Đáp án đúng là: C
Ta có I2;−1;1. Vậy OI→=2i→−j→+k→.
Nghiệm của bất phương trình 3x−2≤243 là
x<7
x≤7
2≤x≤7
x≥7
Đáp án đúng là: B
Ta có 3x−2≤243⇔3x−2≤35⇔x−2≤5⇔x≤7.
Vậy nghiệm của bất phương trình là x≤7.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz véc-tơ nào sau đây không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ:x−12=y+13=z−1?
u→4=2;3;1
u→2=−2;−3;1
u→2=−4;−6;2
u→1=2;3;−1
Đáp án đúng là: A
Ta có vectơ không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng là u→4=2;3;1.
Cho hàm số y=2x+1x−1. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=2x+1x−1 là:
Đường thẳng y =
Đường thẳng x = 2
Đường thẳng x = 1
Đường thẳng y = 2
Đáp án đúng là: C
Ta có limx→1+y=+∞;limx→1−y=−∞.
Vậy x = là đường tiệm cận đứng.
Tính đạo hàm của hàm số fx=e2x−3
f'x=2e2x−3
f'x=−2e2x−3
f'x=2ex−3
f'x=e2x−3
Đáp án đúng là: A
Ta có f'x=e2x−3'=2x−3'.e2x−3=2.e2x−3.
Cho hàm số y = f(x)có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
−∞; 1
−2; 2
−2; +∞
−∞; −2
Đáp án đúng là: D
Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng −∞; −2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzviết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng PQ với P (1;0;1) và Q (-1;2;3)
x−y−z+3=0.
x−y+z+2=0.
x−y−z−2=0.
x−2y−z+4=0.
Đáp án đúng là: A
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng PQ đi qua trung điểm I (0;1;2) của đoạn PQ và có vectơ pháp tuyến PQ→=−2; 2; 2=−21; −1; −1 có phương trình tổng quát:
1x−0−1y−1−1z−2=0⇔x−y−z+3=0.
Cho cấp số nhân un với số hạng đầu u1=1 và công bội q = 2. Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy?
10
9
8
11
Đáp án đúng là: D
Giả sử số hạng 1024 là số hạng thứ n.
Ta có, un=1024 mà un=u1.qn−1=2n−1 suy ra 2n−1=1024⇔n=11.
Cho mặt cầu có bán kính R = 2. Diện tích của mặt cầu đã cho bằng
4π.
8π.
16π.
32π3.
Đáp án đúng là: C
Diện tích mặt cầu S=4πR2=4π.22=16π.
Mô đun của số phức z = 3 – 4i bằng
4
3
5
25
Đáp án đúng là: C
Mô đun của số phức z=3−4i bằng z=32+−42=5.
Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 18πa2 và độ dài đường cao bằng a. Tính bán kính R của đường tròn đáy của hình trụ đã cho theo a.
R = 3a
R = 9a
R = 6a
R = 18a
Đáp án đúng là: B
Ta có Sxq=2πRh⇒R=Sxq2πh=9a.
Nếu ∫01fx dx=−2 và ∫01gx dx=1 thì ∫012022fx+2023gx dx bằng
-2021
-2023
-2022
4045
Đáp án đúng là: A
Ta có ∫012022fx+2023gx dx=2022∫01fx dx+2023∫01gx dx=−2021.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x+11=y−3=z−5−1 và mặt phẳng P:3x−3y+2z+6=0. Khẳng định nào dưới đây đúng?
d nằm trong (P)
d song song với (P)
d vuông góc với (P)
d cắt và không vuông góc với (P)
Đáp án đúng là: D
Ta có ud→=1;−3;−1;nP→=3;−3;2:ud→≠knP→ nên không vuông góc với (P) (Loại đáp án C).
Mặt khác ud→.nP→=10≠0 nên d không nằm trong hay song song góc với (P) (Loại đáp án A, B).
Vậy Chọn D.
Trong một chiếc hộp có 4quả bóng đỏ và 3quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả. Xác suất để lấy được 2 quả bóng màu khác nhau là
57
47
1
67
Đáp án đúng là: B
Không gian mẫu nΩ=C72=21.
Gọi biến cố A: “Lấy được hai quả bóng khác màu”: nA=C41.C31=12.
Xác suất lấy được hai quả bóng khác màu là: PA=nAnΩ=47.
Số giao điểm của hai đường cong y=x3−x2−2x+3 và y=x2−x+1 bằng
2
0
1
3
Đáp án đúng là: D
Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình:
x3−x2−2x+3=x2−x+1⇔x3−2x2−x+2=0⇔x=−1x=2x=1.
Vậy số giao điểm của hai đường cong là .
Hàm số nào sau đây mà đồ thị có dạng như hình vẽ bên dưới?
y=x+1x−1
y=xx−1
y=x+11−x
y=x1−x
Đáp án đúng là: B
Dựa vào đồ thị suy ra tiệm cận ngang là y = 1 nên loại C, D.
Giao điểm của đồ thị tại gốc tọa độ O (0;0) nên loại A.
Vậy hàm số có đồ thị như hình vẽ là B.
Nếu ∫−14fx dx=3 và ∫−10fx dx=2 thì ∫044e2x+3fx dx bằng
2e8+2
2e8
2e8+1
4e8−1
Đáp án đúng là: C
Ta có:
∫−14fx dx=3⇔∫−10fx dx+∫04fx dx=3⇔∫04fx dx=3−∫−10fxdx=3−2=1.
Suy ra: ∫044e2x+3fx dx=4∫04e2xdx+3∫04fx dx=2e2x04+3.1=2e8+1.
Nếu ∫−14fx dx=3 và ∫−10fx dx=2 thì ∫044e2x+3fx dx bằng
2e8+2
2e8
2e8+1
4e8−1
Đáp án đúng là: C
Ta có:
∫−14fx dx=3⇔∫−10fx dx+∫04fx dx=3⇔∫04fx dx=3−∫−10fxdx=3−2=1.
Suy ra: ∫044e2x+3fx dx=4∫04e2xdx+3∫04fx dx=2e2x04+3.1=2e8+1.
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x2−5x+4 và trục Ox. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình (H) quanh trục Ox.
92
8110
81π10
9π2
Đáp án đúng là: C
Ta có: x2−5x+4=0⇔x=1x=4.
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình (H) quanh trục Ox là
V=π∫14x2−5x+42dx=81π10.
Cho hình chóp S.ABCD Gọi M là trung điểm cạnh AB. Biết đáy là hình vuông cạnh a, SM⊥ABCD,tam giác SAB đều.
Ký hiệu φ là góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD), khi đó tanφ bằng
155
53
153
35
Đáp án đúng là: A
Vì tam giác SAB đều nên M là trung điểm của AB và SM=a32.
Ta có φ=SD,ABCD^=SD,DM^=SDM^.
Vì M là trung điểm của AB nên AM=AB2=a2.
Xét ΔAMD vuông tại A, có MD=AM2+AD2=a52.
Xét ΔSMD vuông tại M tanSDM^=SMMD=a32a52=155.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 4a, SA⊥ABCD. Gọi I là trung điểm của DO. Khi đó khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAC) bằng
2a
4a
2a2
a2
Đáp án đúng là: D
Xét ΔABD vuông tại A, có BD=AB2+AD2=42a.
Ta có: SA⊥ABCD⇒SA⊥OI
Mà IO⊥AC⇒IO⊥SAC⇒dI;SAC=IO=BD4=4a24=a2.
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(x) + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt?
2
4
5
3
Đáp án đúng là: D
fx+m=0⇔fx=−m có 3 nghiệm phân biệt, suy ra: −4<−m<0⇔0<m<4.
Vậy m∈1;2;3.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho a→=1;2;1 và b→=x;1−x;2. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của x để a→+b→=5.
{1;3}
{3}
{-1;3}
{-1}
Đáp án đúng là: C
Ta có: a→+b→=1+x;3−x;3.
Suy ra: a→+b→=5
⇔1+x2+3−x2+32=5
⇔2x2−4x−6=0
⇔x2−2x−3=0
⇔x=−1x=3.
Vậy x∈−1;3.
Cho số phức z=a+bi a,b∈ℝthỏa mãn 7a+4+2bi=−10+6−5ai. TínhP=a+bz
P=1217
P=72249
P=2417
P=−4297
Đáp án đúng là: C
Ta có: 7a+4+2bi=−10+6−5ai⇔7a+4=−102b=6−5a⇔a=−2b=8.
Suy ra: P=−2+8−22+82=668=2417.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1;1;1), B (2;1;0), C (2;0;2). Gọi (P) là mặt phẳng chứa BC và cách A một khoảng lớn nhất. Hỏi vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
n→=5;−2;−1
n→=5;2;1
n→=−5;2;−1
n→=5;2;−1
Đáp án đúng là: A
Kẻ AH⊥P, AI⊥BC. Ta có: dA;P=AH≤AI.
Khi đó AH lớn nhất khi H trùng với I
Suy ra: AI⊥P.
Gọi BC:B2;1;0u→=BC→=0;−1;2. Suy ra: BC:x=2y=1−tz=2t t∈ℝ.
Gọi I2; 1−t; 2t. Ta có: AI→=1;−t;2t−1, AI⊥BC
AI→.BC→=t+22t−1=0⇔5t=2⇔t=25. Suy ra: AI→=1;−25;−15.
Chọn n→=5;−2;−1.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ là f'x=x2x−1. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
−∞;+∞
−∞;1
1;+∞
(0;1)
Đáp án đúng là: C
Yêu cầu bài toán ⇔f'x>0⇔x2x−1>0⇔x−1>0⇔x>1.
Gọi S là tập nghiệm của phương trình 4x−3.2x+1+8=0. Tổng tất cả các phần tử của S bằng?
6
1
4
3
Đáp án đúng là: D
Ta có 4x−3.2x+1+8=0⇔2x2−6.2x+8=0⇔2x=22x=4⇔x=1x=2⇒S=3.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa chữ số 1 và chữ số 3?
3204
5880
2942
7440
Đáp án đúng là: D
Gọi số có dạng a1a2a3a4a5a6a7¯
TH1: a1=0
Có 4 cách chọn vị trí cho bộ số {1;2;3}
Hoán vị hai số 1 và 3 là 2!
Chọn ba chữ số khác nhau vào ba vị trí còn lại có A63 cách
⇒4.2!.A63 số
TH2: Sắp xếp bất kì số có 7 chữ số khác nhau bao gồm cả số 0 đứng đầu
Có 5 cách chọn vị trí cho bộ số {1;2;3}
Hoán vị hai số 1 và 3 là 2!
Chọn bốn chữ số khác nhau vào bốn vị trí còn lại có A74 cách
⇒5.2!.A74 số
Vậy 5.2!.A74−4.2!.A63=7440 số.
Cho hàm số fx=3x+1ax−2a+b khi x>2khi x≤2. Biết ∫02fx2+1xdx=5. Tính giá trị của biểu thức T=2a−b2+1.
77
79
78
D.
Đáp án đúng là: C
Hàm số liên tục tại x=2⇒3.2+1=2a−2a+b⇔b=7
Đặt t=x2+1⇒dt=2xdx
Đổi cận x=0⇒t=1x=2⇒t=5
Suy ra 12∫15ftdt=5⇔∫15fxdx=10⇔∫12ax−2a+7dx+∫253x+1dx=10
⇔ax22−2ax+7x21=−492⇔−12a+7=−492⇔a=63
Vậy T=2.63−72+1=78.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và f(0) = 0. Đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ bên dưới.
Có bao nhiêu số nguyên dương a để hàm số y=2fsin x−3cos2x−a+9 đồng biến trên khoảng 0;π2?
9
5
8
6
Đáp án đúng là: D
Ta có: y=2fsin x−31−2sin2x−a+9=2fsin x+6sin2x+6−a
Đặt t=sin x, t∈0;1.
Khi đó, ta có: y=2ft+6t2+6−a=2ft+6t2+6−a2
Ta có: y'=2ft+6t2+6−a2f't+12t2ft+6t2+6−a2.
Để hàm số đồng biến trên (0;1) thì
y'>0,∀t∈0;1⇔2ft+6t2+6−a2f't+12t>0,∀t∈0;1.(1)
Dựa vào đồ thị f'(t) ta thấy 2f't+12t>0,∀t∈0;1.
Do đó, 1⇔2ft+6t2+6−a>0,∀t∈0;1
⇔a<2ft+6t2+6,∀t∈0;1⇒a≤min0;12ft+6t2+6.
Xét hàm số gt=2ft+6t2+6 trên [0;1].
Ta có: g't=2f't+12t>0,∀t∈0;1 suy ra hàm số g(t) đồng biến trên (0;1)
Do đó, min0;1gt=g0=2f0+6.02+6=6.
Vậy a≤6. Mà a∈ℕ* suy ra a∈1,2,3,4,5,6.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với AB song song với CD, CD = 7 AB. Gọi M trên cạnh SA sao cho SMSA=k, 0<k<1. Tìm giá trị của k để (CDM) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
k=−7+532
k=−7+652
k=−7+714
k=−7+532
Đáp án đúng là: B
Ta có: CMD∩SAB=Δqua M// CD
Gọi N=Δ∩SB⇒N=CDM∩SB. Khi đó, ta có: SMSA=SNSB=k
Đồng thời (CDM) chia khối chóp thành hai phần: S.CMND và ABCDMN.
Ta có: VS.CDMN=VS.DMC+VS.MNC.
Lại có: VS.DMCVS.DAC=SMSA=k, VS.MNCVS.ABC=SMSA.SNSB=k2
Suy ra VS.CDMN=VS.DMC+VS.MNC=kVS.DAC+k2VS.ABC.
Mà CD=7AB⇒SACD=7.SABC⇒VS.ACD=7VS.ABC.
Do đó, ta có:
VS.CDMN=7kVS.ABC+k2VS.ABC=k2+7kVS.ABC=18k2+7kVS.ABCD.
Lại có VS.CDMN=12VS.ABCD (do (CDM) chia thành hai phần có thể tích bằng nhau)
Suy ra 18k2+7kVS.ABCD=12VS.ABCD⇔k2+7k=4⇔k=−7+652.
Cho số phức z thỏa mãn điều kiệnz+1−2i1+i≤42. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = z - iz trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) là hình phẳng (H) có diện tích bằng bao nhiêu?
32
32π
16
16π
Đáp án đúng là: B
Ta có: z+1−2i1+i≤42⇔z+1−2i≤4
Ta có
w=z1−i⇔w1−i=z⇔w1−i+1−2i=z+1−2i⇔w −1−3i1−i=z+1−2i
⇒w−1−3i=1−i.z+1−2i≤42.
Do đó tập hợp các số phức w là hình tròn tâm I (1;3) với bán kính R=42.
Vậy diện tích hình phẳng (H) là: S=πR2=32π.
Trong không gian với hệ trụcOxyz, cho mặt cầu S:x+12+y+12+z+12=9 và điểm A (2;3;-1). Xét các điểm M thuộc (S) sao cho đường thẳng AMtiếp xúc với (S), M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là
3x+4y−2=0
6x+8y−11=0
6x+8y+11=0
3x+4y+2=0
Đáp án đúng là: A
Mặt cầu (S) có tâm I (-1;-1;-1), R = 3.
Gọi M(x;y;z)∈S⇒(x+1)2+(y+1)2+(z+1)2=9 (1)
Do AM tiếp xúc với (S) nên AM2=IA2−R2=25−9=16
⇔(x−2)2+(y−3)2+(z+1)2=16 (2)
Từ phương trình (1), (2) ta được: 3x+4y−2=0
M luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là: 3x+4y−2=0.
Cửa hàng Acó đặt trước sảnh một cái nón lớn với chiều cao 1,35m và sơn cách điệu hoa văn trang trí một phần mặt ngoài của hình nón ứng với cung nhỏ ABnhư hình vẽ. Biết AB=1,45 m, ACB^=150° và giá tiền trang trí là 2.000.000đồng mỗi mét vuông. Hỏi số tiền mà cửa hàng Acần dùng để trang trí là bao nhiêu?
4.215.000 đồng
4.510.000 đồng
3.021.000 đồng
3.008.000 đồng
Đáp án đúng là: D
Dựng đường kính AM, I là hình chiếu vuông góc của O lên AB.
Suy ra I là trung điểm của AB.
Do ACB^=150°⇒Số đo cung lớn: sđ AB⏜=300°
Ta có sđ AB⏜=sđ AM⏜+sđ MB⏜⇒sđMB⏜=120°⇒OAI^=60°.
Xét ΔOAI có R=OA=AIcosOAI^=0,725cos60°=1,45 m.
Xét ΔSOA vuông tại O, có SA=SO2+OA2≈1,981 m.
Diện tích xung quanh của khối nón:
Sxq=π.SA.OA=π.1,981.1,45=9,024 m.
Diện tích phần trang trí: S=16.Sxq=1,504 m2.
Số tiền cửa hàng cần phải trả: 1,504.2000000=3.008.000 đồng.
Có tất cả bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn:
log2023x2+2−log2023x+14729−3x−1≥0?
Vô số
16
17
15
Đáp án đúng là: D
Điều kiện: x+14>0⇔x>−14
Xét phương trình:
log2023x2+2−log2023x+14=0⇔log2023x2+2=log2023x+14⇔x2+2=x+14⇔x2−x−12=0⇔x=4x=−3
729−3x−1=0⇔3x−1=36⇔x−1=6⇔x=7
Lập trục xét dấu vế trái của bất phương trình:
Nghiệm của bất phương trình: x∈(−14;−3]∪[4;7]
Do x∈ℤ nên x∈−13;...;−3; 4;...;7. Có 15 giá trị nguyên thỏa mãn.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (0;2;2), B (2;-2;0). Gọi I11;1;−1 và I23;1;1 là tâm của hai đường tròn nằm trên hai mặt phẳng khác nhau và có chung một dây cung AB. Biết rằng luôn có một mặt cầu (S) đi qua cả hai đường tròn ấy. Tính bán kính Rcủa (S).
R=22
R=26
R=2193
R=1293
Đáp án đúng là: D
Gọi d1 là đường thẳng đi qua I1 và vuông góc với mặt phẳng I1AB, khi đó d1 chứa tâm các mặt cầu đi qua đường tròn tâm I1.
d2 là đường thẳng đi qua I2 và vuông góc với mặt phẳng I2AB, khi đó d2 chứa tâm các mặt cầu đi qua đường tròn tâm I2.
Do đó, mặt cầu (S) đi qua cả hai đường tròn tâm I1 và I2 có tâm I là giao điểm của d1, d2 và bán kính R = IA.
Ta có I1A→=−1;1;3;I1B→=1;−3;1. Đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là :
I1A→;I1B→=10;4;2=25;2;1.
Phương trình đường thẳng d1 là d1:x=1+5ty=1+2tz=−1+t.
Ta có I2A→=−3;1;1,I2B→=−1;−3;−1. Đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là :
I2A→;I2B→=2;−4;10=21;−2;5.
Phương trình đường thẳng d2 là d2:x=3+sy=1−2sz=1+5s.
Xét hệ phương trình 1+5t=3+s1+2t=1−2s−1+t=1+5s⇔t=13s=−13. Suy ra I83;53;−23.
Bán kính mặt cầu (S) là R=IA=−832+2−532+2+232=1293.
Cho hàm số fx=x2+a+xx2+1+ax. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a∈−20;20 sao cho đồ thị hàm số y=fx có cùng một điểm cực trị Ax0;y0 và y0<−5?
15
19
16
39
Đáp án đúng là: C
fx=x2+a+xx2+1+ax=a+xx+x2+1.
Đặt gx=x+x2+1>0 ∀x.
f'x=gx+a+xgxx2+1.
f'x=0⇔−a=x+x2+1. (1)
Yêu cầu bài toán ⇔f'x=0 có nghiệm duy nhất ⇔a<0.
mà y0<−5⇔fx0<−5
⇔a+x0x0+x02+1<−5
⇔x02+1x0+x02+1>5
⇔x02+1x02+1−x0>5
⇔x02+1>5x02+1−x0
⇔5x0>4x02+1⇔x0>025x02>16x02+16⇔x0>43. (2)
Từ (1) và (2), ta có −a>43+432+1=3⇔a<−3.
Mà a∈−20;20 và a∈ℤ nên a∈−19;−18;...;−4. Vậy có 16 giá trị a thỏa mãn.
Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m∈S có đúng một số phức z−m=4 và zz−6 là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S.
0
6
14
12
Đáp án đúng là: D
Điều kiện z≠6
Giả sử z=x+yix,y∈ℤ
Ta có z−m=4⇔x−m+yi=4⇔x−m2+y2=16C.
Lại có
zz−6=1+6z−6=1+6x−6+yi=1+6x−6−yix−62+y2=1+6x−6x−62+y2−6yx−62+y2i.
Khi đó zz−6 là số thuần ảo khi 1+6x−6x−62+y2=0
⇔x−62+y2+6x−6=0⇔x−32+y2=9 (C').
Như vậy (C) có tâm I (m;0), bán kính R = 4 và (C') có tâm I' (3;0), bán kính R' = 3.
Do đó II'→=3−m;0⇒II'=m−3.
Yêu cầu bài toán ⇔C và (C') tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài
⇔II'=R−R'=1II'=R+R'=7⇔m−3=1m−3=7⇔m=4m=2m=10m=−4⇒S=12.
Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn bất phương trình
x+2y.log2x2+y2−log2x+2y−2y+x<6x+y12−5y?
61
62
64
D.
Đáp án đúng là: A
Điều kiện xác định: x2+y2>0x+2y>0.
Ta có:
x+2y.log2x2+y2−log2x+2y−2y+x<6x+y12−5y
⇔x+2y.log2x2+y2x+2y+x+2y.x−2y<6x+y12−5y
⇔x+2y.log2x2+y2x+2y+x2−4y2−6x−12y+5y2<0
⇔x+2y.log2x2+y2x+2y+x2+y2−6x+2y<0
⇔log2x2+y2x+2y+x2+y2x+2y−6<0
Đặt t=x2+y2x+2y>0. Khi đó bất phương trình trở thành: log2t+t−6<0 với mọi t>0.
Xét hàm ft=log2t+t−6, với t>0.
Ta có: f't=1tln2+1>0, ∀t>0 nên hàm ft đồng biến trên khoảng 0;+∞.
Mặt khác ta có: f4=log24+4−6=0 nên bất phương trình tương đương:
ft<f4⇔t<4⇔x2+y2x+2y<4⇔x2+y2−4x−8y<0⇔x−22+y−42<20
Suy ra: x−22<20⇔2−20<x<2+20.
Mà x nguyên nên x∈−2;−1;0;1;2;3;4;5;6.
Lần lượt thay x vào hệ điều kiện x2+y2>0x+2y>0x−22+y−42<20 để tìm y và kết hợp lại ta thu được 61 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn f(0) = 2 và2x+1.f'x−3x2=8xx2+1+23−fx. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=fx, y=f'x.
S=14
S=34
S=23
S=12
Đáp án đúng là: D
Ta có: 2x+1.f'x−3x2=8xx2+1+23−fx
⇔2x+1.f'x+2fx=8x3+3x2+8x+6
⇔2x+1.fx'=8x3+3x2+8x+6
⇒2x+1.fx=∫8x3+3x2+8x+6dx=2x4+x3+4x2+6x+C
Mà f(0) = 2 nên suy ra C = 2. Khi đó:
2x+1.fx=2x4+x3+4x2+6x+2=2x+1x3+2x+2⇒fx=x3+2x+2
Suy ra: f'x=3x2+2
Phương trình hoành độ giao điểm hai đường cong y = f(x), y = f'(x) là:
x3+2x+2=3x2+2⇔x3−3x2+2x=0⇔x=0x=1x=2.
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = f'(x) bằng:
S=∫02x3+2x+2−3x2+2dx=12.
