Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 10)

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng  $\left(P\right):2x+y-z+3=0$ có một vectơ pháp tuyến của là $\overrightarrow{n_2}\left(2;1;-1\right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $3^x\ge 5\iff x\ge {\log }_{3}5$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[{\log }_{3}5;+\infty \right)$.

Đáp án đúng là: B

$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.S_{\Delta ABC}.SC=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.a=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$.

Đáp án đúng là: C

$y^{\text{'}}={\left(x^{\frac{7}{3}}\right)}^{\text{'}}=\frac{7}{3}{x}^{\frac{4}{3}}$.

Đáp án đúng là: B

Hình chiếu của điểm $M\left(1;2;3\right)$ lên mặt phẳng (Oxz) có tọa độ là $H\left(1;0;3\right)$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=-1-4t\\ z=5t\end{array}\right.$ đi qua điểm $M\left(2;-1;0\right)$.

Đáp án đúng là: B

Điểm biểu diễn số phức z = 2 - 3i có tọa độ là (2;-3).

Đáp án đúng là: B

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng 1

Đáp án đúng là: D

Ta có ${\log }_a\sqrt[7]{a}=\frac{1}{7}$.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: $3x-2>0\iff x>\frac{2}{3}$.

Ta có ${\log }_2\left(3x-2\right)=0\iff 3x-2=1\iff x=1$ (thỏa mãn điều kiện).

Nghiệm của phương trình ${\log }_2\left(3x-2\right)=0$ là $x=1$.

Đáp án đúng là: D

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3.

Đáp án đúng là: D

Vì $A{C}^{\text{'}}=a\sqrt{3}\Rightarrow$cạnh hình lập phương bằng $a\Rightarrow V=a^3$.

Đáp án đúng là: B

Có $C_{20}^8$ cách chọn học sinh từ nhóm 20 học sinh tham gia đội tình nguyện.

Đáp án đúng là: A

$\int f\left(x\right)\text{d}x=\int \cos 2x\text{d}x=\frac{1}{2}\sin 2x+C$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $y^{\text{'}}={\left[\log \left(3x+1\right)\right]}^{\text{'}}=\frac{{\left(3x+1\right)}^{\text{'}}}{\left(3x+1\right)\ln 10}=\frac{3}{\left(3x+1\right)\ln 10}$.

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y=9^x$ có tập xác định là $ℝ.$

Đáp án đúng là: D

$S_{xq}=2\pi rl=2\pi \mathrm{.3.4}=24\pi {\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}cm}}^{\text{2}}\text{.}$

Đáp án đúng là: A

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=3(x-1)(x^2-5)$ và trục hoành là: $3(x-1)(x^2-5)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=\sqrt{5}\\ x=-\sqrt{5}\end{array}\right..$

Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số $y=3(x-1)(x^2-5)$ và trục hoành là 3.

Đáp án đúng là: B

$5^{x^2-1}=25\iff x^2-1=2\iff x=\pm \sqrt{3}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm thực.

Đáp án đúng là: D

$S_n=n{u}_1+\frac{n(n-1)}{2}d\Rightarrow S_6=6.2+\frac{6.5}{2}.3=57.$

Đáp án đúng là: A

Từ hình vẽ ta có $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x-\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left(Oyz\right):x=0$

Do đó, $R=d\left(I;\left(Oyz\right)\right)=\frac{\left|-1\right|}{\sqrt{1}}=1$.

Đáp án đúng là: A

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left(\Omega \right)= C_{12}^3$.

Gọi  là biến cố lấy được 3 quả cầu màu đỏ, khi đó: $n\left(A\right)= C_5^3$.

Vậy xác suất để lấy được 3 quả cầu màu đỏ bằng: $p\left(A\right)= \frac{C_5^3}{C_{12}^3}=\frac{1}{22}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\underset{2}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=3\Rightarrow \underset{2}{\overset{4}{\int }}f\left(t\right)\text{d}t=3$

$\underset{5}{\overset{4}{\int }}f\left(z\right)\text{d}z=5\Rightarrow \underset{4}{\overset{5}{\int }}f\left(t\right)\text{d}t=-5$

Khi đó,$\underset{2}{\overset{5}{\int }}f\left(t\right)\text{d}t=\underset{2}{\overset{4}{\int }}f\left(t\right)\text{d}t+\underset{4}{\overset{5}{\int }}f\left(t\right)\text{d}t=3-5=-2$ .

Đáp án đúng là: A

Ta có: $I=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[\frac{1}{3}f\left(x\right)+2\right]\text{d}x=\frac{1}{3}\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{1}{\overset{3}{\int }}2\text{d}x=\frac{1}{3}.3+2x\left|\begin{array}{l}3\\ 1\end{array}\right.=5$.

Đáp án đúng là: C

Gọi O là giao điểm của AC và BD, $SO\perp \left(ABCD\right)$.

Gọi E là trung điểm của AB.

Vì $\Delta SAB$ cân tại S, E là trung điểm của AB nên $SE\perp AB$.

Vì $\Delta OAB$ cân tại O, E là trung điểm của AB nên $OE\perp AB$.

Ta có: $\left(SAB\right)\cap \left(ABCD\right)=AB$, $SE\perp BC$, $OE\perp BC$,

Suy ra góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng $\widehat{SEO}$.

Xét tam giác SEA vuông tại E ta có: $SE=\sqrt[]{S{A}^2-E{A}^2}=\sqrt{5a^2-a^2}=2a$.

Xét tam giác SOE vuông tại O, $OE=\frac{1}{2}AD=a$

$\cos \widehat{SEO}=\frac{OE}{SE}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\iff \widehat{SEO}=60°$.

Vậy góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $60°$.

Đáp án đúng là: B

Dựa vào hình dạng của đồ thị hàm số đã cho, ta chọn B.

Đáp án đúng là: A

Trục Ox có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;0;0\right)$.

Gọi $A\left(a;0;0\right)\in Ox$, ta có $\overrightarrow{AM}=\left(3-a;1;2\right)$

Do $\Delta \perp Ox$$\iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{u}=0$$\iff 3-a=0$$\iff a=3$.

Ta có $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AM}=\left(0;1;2\right)$ và đi qua điểm A(3;0;0) có phương trình là:$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=t\\ z=2t\end{array}\right.$ .

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình: $x^2-2=2x-2$$\iff x^2-2x=0$$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=0\end{array}\right.$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là:

$S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-2x\right|\text{d}x$$=\left|\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-2x\right)\text{d}x\right|$$=\left|{\left.\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)\right|}_0^2\right|$$=\left|\frac{8}{3}-4\right|$$=\frac{4}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $y=x^3+4x^2+1$; $y^{\text{'}}=3x^2+8x$.

$y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\in \left[-2;2\right]\\ x=-\frac{8}{3}\notin \left[-2;2\right]\end{array}\right.$.

$y\left(-2\right)=9;y\left(2\right)=25;y\left(0\right)=1$.

Vậy hàm số $y=x^3+4x^2+1$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x = 0.

Đáp án đúng là: D

Ta có : $x^2+y^2+z^2-2x+4y-4z-25=0\iff {\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=34$.

Vậy mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;2), bán kính $R=\sqrt{34}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $z=\left(4-i\right).\left(1+3i\right)=4-i+12i-3i^2=7+11i$.

Phần ảo của  là: 11.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $z=-2z_1+z_2=-2\left(2-3i\right)+3+2i=-1+8i$.

Vậy $\overline{z}=-1-8i$.

Đáp án đúng là: D

Ta có:  $2<\sqrt{5}<\sqrt{6}$ và hàm số $y=5^x$ đồng biến trên $ℝ$ nên $5^2<5^{\sqrt{5}}<5^{\sqrt{6}}$ hay b < a < c.

Đáp án đúng là: C

Ta có, $y\text{'}\left(x\right)=2m^2+m+1+\left(2m^2-m+1\right)\cos x$.

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;2\pi \right)$ khi và chỉ khi $y\text{'}\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in \left(0;2\pi \right)$

$\iff 2m^2+m+1+\left(2m^2-m+1\right)\cos x\ge 0,\forall x\in \left(0;2\pi \right)$

$\iff \frac{-2m^2-m-1}{2m^2-m+1}\le \cos x\forall x\in \left(0;2\pi \right)$ vì $2m^2-m+1>0$ với mọi .

Hàm số $g\left(x\right)=\cos x\in \left[-1;1\right]$ khi $x\in \left(0;2\pi \right)$.

Do đó $\frac{-2m^2-m-1}{2m^2-m+1}\le \cos x\forall x\in \left(0;2\pi \right)\iff \frac{-2m^2-m-1}{2m^2-m+1}\le -1\iff m\ge 0$.

Đáp án đúng là: A

Đặt $g\left(x\right)={\left(f\left(3x+1\right)\right)}^2\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=2f\left(3x+1\right)\mathrm{.3.}{f}^{\text{'}}\left(3x+1\right)=6f\left(3x+1\right).f^{\text{'}}\left(3x+1\right)$.

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff f\left(3x+1\right).f^{\text{'}}\left(3x+1\right)=0\left(1\right)$.

Đặt $t=3x+1$ thì (1) trở thành

$\left[m{t}^4+\left(3m-1\right)t^2+5\right].\left[4m{t}^3+2\left(3m-1\right)t\right]=0$

$\iff \left[m{t}^4+\left(3m-1\right)t^2+5\right].\left[2m{t}^2+\left(3m-1\right)\right].t=0$

Để hàm số g(x) đồng biến trên R thì điều kiện cần là phương trình $h\left(t\right)=\left[m{t}^4+\left(3m-1\right)t^2+5\right].\left[2m{t}^2+\left(3m-1\right)\right]=0$ có nghiệm  t = 0 $\Rightarrow m=\frac{1}{3}$ .

Thử lại với $\Rightarrow m=\frac{1}{3}$ ta có, $h\left(t\right).t=\left(\frac{1}{3}{t}^4+5\right)\left(\frac{2}{3}{t}^2\right).t$ đổi dấu khi qua t = 0.

Do đó hàm số g(x) không đồng biến trên R.

Vậy không tồn tại tham số m để hàm số g(x) đồng biến trên R.

Đáp án đúng là: C

Đặt $g\left(x\right)=f\left(\frac{x}{4}\right)+\frac{x}{2}$.

Ta có, $g\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{4}f\text{'}\left(\frac{x}{4}\right)+\frac{1}{2}=0\iff f\text{'}\left(\frac{x}{4}\right)=-2\iff \left[\begin{array}{l}\frac{x}{4}=-2\\ \frac{x}{4}=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=-8\\ x=4\end{array}\right.$ trong đó x = 4 là nghiệm bội chẵn.

Dựa vào BBT ta có giá trị lớn nhất của hàm g(x) trên đoạn [-10;6] bằng g(-8) = f(-2) - .

Đáp án đúng là: C

Ta có: $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}d\left(S,\left(ABC\right)\right).S_{ABC}\iff d\left(S,\left(ABC\right)\right)=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{ABC}}=\frac{3a^3}{2}:\frac{a^2\sqrt{2}}{2}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$.

Vậy khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng $\frac{3a\sqrt{2}}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Xét $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(3x\right)}{1+2^x}\text{d}x=8\iff \underset{-3}{\overset{3}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{1+{\sqrt[3]{2}}^x}\text{d}x=24$.

Đặt $u=-x\Rightarrow du=-dx$, do đó: $24=I=\underset{-3}{\overset{3}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{1+{\sqrt[3]{2}}^x}\text{d}x=-\underset{3}{\overset{-3}{\int }}\frac{f\left(-u\right)}{1+{\sqrt[3]{2}}^{-u}}\text{d}u=\underset{-3}{\overset{3}{\int }}\frac{{\sqrt[3]{2}}^{u}f\left(u\right)}{1+{\sqrt[3]{2}}^u}\text{d}u$

Khi đó:  $2I=\underset{-3}{\overset{3}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{1+{\sqrt[3]{2}}^x}\text{d}x+\underset{-3}{\overset{3}{\int }}\frac{{\sqrt[3]{2}}^{x}f\left(x\right)}{1+{\sqrt[3]{2}}^x}\text{d}x=\underset{-3}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=2\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ nên $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=24$.

Đáp án đúng là: D

Gọi $\overline{abc}$ là số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau và tích các chữ số của nó chia hết cho 6.

Ta có: 9.9.8 = 648 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau.

Xét trường hợp số tạo thành có tích các chữ số không chia hết cho 6.

TH1: Cả ba chữ số đều lẻ: Có $A_5^3=60$ (số).

TH2: Trong ba chữ số có một số lẻ không chia hết cho 3 và hai số chẵn khác 0 và 6: Có $C_3^1.C_3^2.3!=54$ (số)

TH3: Trong ba chữ số có hai số lẻ không chia hết cho 3 và một số chẵn khác 0 và 6: Có $C_3^2.C_3^1.3!=54$ (số).

TH4: Cả ba chữ số đều chẵn và không có hai chữ số 0;6: Có 3! = 6 (số).

Do đó, có: 648 - (60 + 54 + 54 + 6) = 474 số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau và tích các chữ số của số đó chia hết cho 6

.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\left|iw+1-5i\right|=4\iff \left|-w+5+i\right|=4$.

Đặt u = -w suy ra |u + 5 +i| = 4. Do đó u thuộc đường tròn tâm I(-5;-1) bán kính bằng R = 4.

Giả sử z = a + bi với $a,b\in ℝ$.

Vì |z| = 3 nên $a^2+b^2=9\Rightarrow b^2\le 9\Rightarrow -3\le b\le 3$.

Khi đó $T=\left|z^2+wz-9\right|=\left|z^2+wz-z\overline{z}\right|=\left|z\right|\left|z-\overline{z}+w\right|=3\left|u-2bi\right|$ .

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức 2bi là đoạn AB.

Do đó $T_{\min }=3\left(\text{d}\left(I,AB\right)-R\right)=3$.

Đáp án đúng là: D

Ta thấy $\Delta$ chứa O và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;-3\right)$.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_P=\left(2;0;-1\right)$.

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{\alpha }=\left(a;5;b\right)$.

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa $\Delta$ suy ra c = 0 và $\overrightarrow{u}\cdot {\overrightarrow{n}}_{\alpha }=0\iff a=5+3b$.(1)

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ tạo với mặt phẳng (P) một góc $45°$ suy ra

$\cos 45°=\frac{\left|{\overrightarrow{n}}_{\alpha }\cdot {\overrightarrow{n}}_P\right|}{\left|{\overrightarrow{n}}_{\alpha }\right|\cdot \left|{\overrightarrow{n}}_P\right|}\iff \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\left|2a-b\right|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{a^2+b^2+25}}\iff 5\left(a^2+b^2+25\right)=2{\left(2a-b\right)}^2$.(2)

Từ (1) và (2) suy ra $b=1\Rightarrow a=8$.

Vậy a + b + c = 9.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=0$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=0$ suy ra  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số có đúng 4 đường tiệm cận khi và chỉ khi $g\left(x\right)=x^3-2m{x}^2+\left(m^2+1\right)x-m=0$ có 3 nghiệm phân biệt khác 4.

Mặt khác $g\left(x\right)=\left(x-m\right)\left(x^2-mx+1\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=m\\ h\left(x\right)=x^2-mx+1=0.\end{array}\right.$

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}h\left(4\right)\ne 0\\ m\ne 4\\ h\left(m\right)\ne 0\\ {\Delta }_h=m^2-4>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne \frac{17}{4}\\ m\ne 4\\ \left[\begin{array}{l}m>2\\ m<-2.\end{array}\right.\end{array}\right.$

Vì m nguyên thuộc đoạn [-2023;2023] nên có 4041 giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: B

Ta có  $SO\perp AB,$

Kẻ $OH\perp AB\Rightarrow AB\perp \left(SOH\right)\Rightarrow \left(SAB\right)\perp \left(SOH\right),\left(SAB\right)\cap \left(SOH\right)=SH$.

Kẻ $OK\perp SH\Rightarrow OK\perp \left(SAB\right)\Rightarrow \left(OA,\left(SAB\right)\right)=\left(OA,AK\right)=\widehat{OAK}$.

Vì $\Delta OAB$ cân tại O và $OH\perp AB$ nên H là trung điểm của AB

Suy ra $AH=\frac{AB}{2}=\frac{R}{2}$.

Ta có $OH=\sqrt{O{A}^2-A{H}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}R$.

Xét $\Delta SOH$ vuông tại O, có $\frac{1}{O{K}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{4R^2}+\frac{4}{3R^2}=\frac{19}{12R^2}$$\Rightarrow OK=2\sqrt{\frac{3}{19}}R$.

Xét $\Delta OKA$ vuông tại K có $\sin \widehat{OAK}=\frac{OK}{OA}=\frac{2\sqrt{57}}{19}$.

Đáp án đúng là: C

Xét điểm $I\left(x;y;z\right)$ thỏa mãn $:6\overrightarrow{IA}+4\overrightarrow{IB}-8\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$. (*)