Ôn tập cuối năm giải tích 12

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K, hàm số f(x) được gọi là

Hàm số chỉ đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi là đơn điệu trên K

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

+ f(x) đồng biến trên K ⇔ f’(x) ≥ 0 với ∀ x ∈ K, f’(x) = 0 tại hữu hạn điểm.

+ f(x) nghịch biến trên K ⇔ f’(x) ≤ 0 với ∀ x ∈ K, f’(x) = 0 tại hữu hạn điểm.

Điều kiện để hàm có cực trị:

Định lí 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên K = (xo – h; xo + h), h > 0 và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x0}, nếu:

- f’(x) > 0 trên (xo – h; xo) và f’(x) < 0 trên (xo; xo + h) thì xo là một điểm cực đại của f(x).

- f’(x) < 0 trên (xo – h; xo) và f’(x) > 0 trên (xo; xo + h) thì xo là một điểm cực tiểu của f(x).

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Xét sự biến thiên

- Xét chiều biến thiên:

+ Tìm đạo hàm f’(x)

+ Tìm các điểm mà tại đó f’(x) bằng không hoặc không xác định

+ Xét dấu của đạo hàm f’(x) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

- Tìm cực trị

- Tìm giới hạn vô cực và tiệm cận ( nếu có)

- Lập bảng biến thiên.

Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số.

Quy tắc tính logarit

1. Hàm số mũ

Cho số a > 0 và a ≠ 1. Hàm số y = ax được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Các tính chất của hàm số mũ y = ax

2. Hàm Logarit

Cho số a > 0 và a ≠ 1 . Hàm số y = logax được gọi là hàm số logarit cơ số a

Tập xác định	(0; +∞)
Đạo hàm
Chiều biến thiên	+ Nếu a > 1: hàm số luôn đồng biến + Nếu 0 < a < 1: hàm số luôn nghịch biến
Tiệm cận	Trục Oy là tiệm cận đứng
Đồ thị	Đi qua các điểm (1; 0); (a; 1) Nằm bên phải trục tung.

3. Liên hệ giữa đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit cùng cơ số: Đồ thị của hàm số mũ và đồ thị của hàm số logarit đối xứng nhau qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất.

Nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên K ( k là nửa khoảng hay đoạn của trục số). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Phương pháp tính nguyên hàm

* Đổi biến số:

• Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] , F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x)

• Phương pháp tính tích phân

a) Đổi biến số:

Định lí 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ α;β] sao cho φ(α) = a; φ(β) = βvà a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α;β]. Khi đó:

b) Tích phân từng phần

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì:

1. Số phức

Mỗi biểu thức dạng a + bi, trong đó: a, b ∈ R;i2= -1 được gọi là số phức. Trong đó a được gọi là phần thực, b gọi là phần ảo, số i là đơn vị ảo.

2. Mô đun

Cho số phức z = a + bi, được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trên tọa độ Oxy. Ta gọi mô đun của số phức z, kí hiệu là |z| là đọ dài của vectơ OM.

3. Số phức liên hợp

Cho số phức z = a + bi, ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z

Bảng biến thiên:

Đồ thị ( hình thang trên ).

* Khảo sát hàm số 

+ Tập xác định: D = R\{0}.

⇒ Đường thẳng a = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Lại có: 

Do đó, đường thẳng P(a) =1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Đạo hàm: 

Do đó hàm số này nghịch biến trên tập xác định.

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số

Với a = 0 ta có hàm số 

- Tập xác định : D = R.

- Sự biến thiên :

y’ = -x2 – 2x + 3 ;

y’ = 0 ⇔ x = -3 hoặc x = 1.

QUẢNG CÁO

Bảng biến thiên :

Kết luận :

Hàm số đồng biến trên (-3 ; 1)

Hàm số nghịch biến trên (-∞; -3) và (1; +∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ; 

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -3 ; yCT = -13.

- Đồ thị hàm số :

Diện tích hình phẳng cần tính :

Đồ thị hàm số đi qua A(1; 2) và B(-2; -1)

Với a = 1; b = -1, hàm số trở thành: y = x3+x2 – x + 1.

- Tập xác định : D = R.

- Sự biến thiên :

+ Bảng biến thiên :

Kết luận :

Hàm số đồng biến trên (-∞ ; -1) và 

Hàm số nghịch biến trên 

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 ; yCĐ = 2.

Hàm số đạt cực tiểu tại 

- Đồ thị :

Thể tích vật cần tính là :

Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm ta có:

thì vận tốc bằng 0.

Với  ; b = 1 thì hàm số trở thành: 

- TXĐ: D = R.

- Sự biến thiên:

+ Giới hạn:

+Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên 

Hàm số nghịch biến trên 

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = 1

Hàm số đạt cực tiểu tại 

- Đồ thị:

Với m = 2 ta có hàm số 

- Tập xác định : D = R\{-1}.

- Sự biến thiên :

⇒ Hàm số đồng biến trên (-∞ ; -1) và (-1 ; +∞).

+ Cực trị : hàm số không có cực trị

+ Tiệm cận :

⇒ y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

⇒ x = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên :

- Đồ thị :

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = a là:

Hàm số 

- Tập xác định: D = R\{2}

- Sự biến thiên:

⇒ Hàm số đồng biến trên (-∞; 2) và (2; +∞).

+ Cực trị : Hàm số không có cực trị

+ Tiệm cận: 

⇒ y = 0 (trục Ox) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

⇒ x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong :

Phương trình (*) tương đương : 2 = 2x2 + 2 – x3 – x

⇔ x3 – 2x2 + x = 0  ( đều thỏa mãn khác 2).

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường cong là A(0 ; 1) và B(1 ; 2)

+ Phương trình tiếp tuyến tại A là

+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm B(1 ; 2) là :

y = y’(1). (x – 1) + 2 = 2(x – 1)+ 2

Hay y = 2x

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 0

Chia cả hai vế của phương trình trên cho 22x ta được:

Đặt  , khi đó (1) trở thành:

t2 - 4t+ 3 = 0

+ Ta có: 2log3 (x - 2). log5x - 2.log3 ( x - 2) = 0

⇔ 2. log3 (x - 2) ( log5 x - 1) = 0

Kết hợp điều kiện , vậy nghiệm phương trình đã cho là x = 3; x = 5.

+ Điều kiện: x > 0

Đặt t = log2x, khi đó phương trình đã cho trở thành:

t2 – 5t + 6 = 0

Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình đã cho là x = 4; x = 8.

Giữ nguyên

Diện tích cần tính là:

Diện tích cần tính là:

Hoành độ giao điểm hai đường cong là nghiệm của phương trình :

2x2=x3⇔x22-x=0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Vậy thể tích cần tính là :

(3 + 2i).z - (4 + 7i) = 2 – 5i

⇔ (3 + 2i).z = (2 – 5i) + (4 + 7i)

⇔ (3 + 2i).z = 6 + 2i

(7 - 3i)z + (2 + 3i) = (5 - 4i).z

⇔ [(7 – 3i) – (5 – 4i)].z = - (2 + 3i)

⇔ (2 + i).z = -(2 + 3i)

z2 – 2z + 13 = 0

có Δ' = 1 - 13 = 12 < 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 

Tập hợp các điểm M(x; y) của mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện:

Các điểm M(x; y) như vậy nằm trong đường tròn có tâm O bán kính bằng 2 không kể các điểm trên đường tròn.

z – i = x + (y – 1).i

|z – i| ≤ 1

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn |z – 1| ≤ 1 là các điểm của hình tròn tâm (0; 1) bán kính bằng 1 kể cả biên.

z – 1 – i = (x – 1) + (y – 1)i

|z – 1 – i| < 1

⇔ x-12+y-12<1.

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn (không kể biên) tâm (1; 1), bán kính bằng 1.