10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 36

Suy ra:

Khi thanh toán bằng tiền mặt khách hàng phải trả:

20000000 × (100% − 5% − 2%) = 18600000 (đồng)

Đáp số: 18600000 đồng

Kẻ Sz // Tx ⇒ 

mà Tx // Ry ⇒ Sz // Ry ⇒ 

Có : 

⇒  (1)

Có: (2)

Lấy (1) + (2) ⇒ 

⇔ 

Ta có:

B(26) = {±0; ±26; ±52; ±78; ±104; ±130;...}

Chọn đáp án A.

Các số tự nhiên là bội của 45 là: 45 ; 90 ; 135 ; 180 ; 225 ; 270 ; ........

Các số tự nhiên là ước của 300 là: ....... ; 50 ; 60 ; 75 ; 100 ; 150 ; 300

⇒ Vậy không có số tự nhiên nào vừa là bội của 45 vừa là ước của 300

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

Suy ra: x = 100.5 = 500; y = 100.3 = 300

Vậy x = 500; y = 300.

Số thùng bánh có thể xếp được là:

24150 : 30 = 805 (thùng)

Mỗi đại lý nhận được số thùng bánh là:

805 : 23 = 35 (thùng)

Đáp số: 35 thùng

- Đường trung tuyến:

+ Là đường thẳng nối 1 đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện đỉnh đó.

+ Tính chất: 3 đường trung tuyến cắt nhau tại 1 điểm gọi là trọng tâm. Đoạn thẳng nối một đỉnh với trọng tâm bằng  trung tuyến ứng với đỉnh ấy. 

- Đường phân giác: 

+ Là đường thẳng chia 1 góc của tam giác thành 2 góc bằng nhau. 

+ Tính chất: 3 đường phân giác của tam giác cắt nhau tại 1 điểm gọi là điểm cách đều 3 cạnh. Giao điểm này là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó. 

- Đường trung trực: 

+ Là đường thẳng vuông góc với 1 cạnh tam giác tại trung điểm cạnh đó. 

+ Tính chất: 3 đường trung trực của tam giác cắt nhau tại 1 điểm gọi là điểm cách đều 3 đỉnh. Giao điểm này là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. 

- Đường cao: 

+ Là đường thẳng hạ từ một đỉnh của tam giác và vuông góc với cạnh đối diện đỉnh đó. 

+ Tính chất: 3 đường cao tam giác cắt nhau tại 1 điểm gọi là trực tâm. 

* Đặc biệt (mở rộng)

- Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cùng đi qua 1 đường thẳng gọi là đường thẳng Ơ-le. 

- Trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao ứng với cạnh đáy của tam giác đều trùng nhau. 

- Bốn giao điểm của 4 loại đường của tam giác đều trùng nhau. 

Những số chia 7 dư 1 trong khoảng từ 1 đến 20 là: 1; 8; 15

Vậy có 3 số chia 7 dư 1 trong khoảng từ 1 đến 20

Có một số cách sau:

1. Sử dụng định nghĩa:
 Định nghĩa: Tia phân giác của một góc là tia nằm trong góc đó và chia góc đó thành hai góc bằng nhau.
 Cách chứng minh: Để chứng minh tia Oz là tia phân giác của góc xOy, ta cần chứng minh góc xOz bằng góc yOz.
 2. Sử dụng tính chất của tam giác:
 Tính chất: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
 Cách chứng minh: Nếu ta có một tam giác và muốn chứng minh một tia là tia phân giác của một góc trong tam giác đó, ta có thể sử dụng tính chất này để lập các tỉ lệ thức và chứng minh chúng bằng nhau.
 3. Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác:
 Các trường hợp bằng nhau: Cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c), cạnh - góc - cạnh (c.g.c), góc - cạnh - góc (g.c.g).
 Cách chứng minh: Ta có thể dựng thêm các tam giác phụ, sau đó sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai góc tạo bởi tia phân giác là bằng nhau.
 4. Sử dụng tính chất đường trung trực:
 Tính chất: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
 Cách chứng minh: Nếu ta có một tia và muốn chứng minh nó là tia phân giác của một góc, ta có thể chứng minh các điểm nằm trên tia đó cách đều hai cạnh của góc.

Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương

⇒ đường thẳng (d) có vectơ pháp tuyến  hoặc

Quy tắc: Muốn tính diện tích của hình tròn ta lấy bán kính nhân với bán kính rồi nhân với số 3,14.

S = r × r × 3,14

(S là diện tích hình tròn, r là bán kính hình tròn)

1. Vẽ cạnh đáy (trên dòng kẻ ngang cho dễ nha, mà số đo tròn xíu)

2. Kẻ đường trung trực (vuông góc tại trung điểm) của cạnh đáy

3. Lấy 1 điểm trên đường trung trực

4. Kẻ từ điểm đó đến 2 đầu mút

Chọn A

Xét: 8 ≡ 0 (mod 4) ⇒ 8101 ≡ 0 (mod 4)

⇒ A = 8101 – 5 ≡ –5 (mod 4) ≡ 3 (mod 4)

Các số chính phương khi chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1.

Nên A không phải là số chính phương.

Ta có: (a – 1)(a – 2) ≤ 0 ⇒ a2 ≤ 3a – 2

Tương tự: (b – 1)(b – 2) ≤ 0 ⇒ b2 ≤ 3b – 2

(c – 1)(c – 2) ≤ 0 ⇒ c2 ≤ 3c – 2

Cộng 3 vế ta có:

a2 + b2 + c2 ≤ 3(a + b + c) – 6 = 3.6 – 6 = 12

Vậy GTLN của a2 + b2 + c2 là 12 khi a = b = c = 2.

⇔ 

⇔ 

⇔ 

⇔ 

⇔

⇔

⇔

⇔ x + y + z = 7.

Điều kiện: m + 1 ≤ 2m – 1 ⇒ m ≥ 2

Để A là tập con của B thì

Suy ra:

Kết hợp với điều kiện ta được

Vì m nguyên nên m = 2 hoặc m = 3.

Kẻ từ một điểm bất kỳ với các điểm còn lại vẽ được 29 đường thẳng.

Làm như vậy với 30 điểm nên có 30 . 29 = 870 đường thẳng

Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần

Do vậy số đường thẳng thực sự có là: 870 : 2 = 435 đường thẳng

Với 5 điểm, không có điểm nào thẳng hàng vẽ được: 5 . 4 : 2 = 10 đường thẳng

Còn nếu 5 điểm này thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 đường thẳng.

Do vậy số đường thẳng bị giảm đi là: 10 – 1 = 9 đường thẳng

Số đường thẳng cần tìm là: 435 – 9 = 426 đường thẳng

a) 

Không có vecto nào bằng k lần vecto kia suy ra ABCD không là hình thang.

b) Đường thẳng AB đi qua A(−2;−3)

Vecto chỉ phương 

Suy ra:

Phương trình đường thẳng AB là:

(x + 2) − 3(y + 3) = 0

⇒ x − 3y – 7 = 0

Đường thẳng AB giao với Ox: y = 0

⇒ x − 3.0 – 7 = 0

⇒ x = 7

Vậy tọa độ giao điểm là: (7;0)

c) AC đi qua A(-2;-3)

Vecto chỉ phương 

⇒ 

Phương trình đường thẳng AC là (x+2) − (y + 3) = 0

⇒ x – y – 1 = 0 (1)

Tương tự phương trình đường thẳng BD là: x + 3y – 1 = 0 (2)

Tọa độ giao điểm của AC và BD là nghiệm của Hệ phương trình (1) và (2)

⇒ tọa độ giao điểm là (1;0)

> 50

Vậy 50 < A.

a) Để A là số nguyên thì 12n + 1 chia hết cho 2n + 3

Ta có: 12n + 1 = (2n + 3).6 – 17

Thấy (2n + 3).6 chia hết cho 2n + 3 nên để 12n + 1 chia hết cho 2n + 3

Thì 17 chia hết cho 2n + 3

Suy ra: 2n + 3 ∈ {±1; ±17}

⇒ n ∈ {-1;-2;7;-10}

b) Để A là một phân số thì 2n + 3 ≠ 0 hay

A = 21 + 22 + … + 2100 

A = 2(1 + 2) + 23(1 + 2) + … + 299(1 + 2)

A = 2.3 + 23.3 + … + 299.3

A = 3(2 + 23 + … + 299) ⋮ 3

Vậy A chia hết cho 3.

A là một phân số khi n – 3 ≠ 0 hay n ≠ 3.

Vì AD là tia phân giác của

Nên:

Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác của ADB có:

⇒ 

B = 1 + 3 + 32 + 33 + … + 311

B = (1 + 3 + 32) + (33 + 34 + 35) + … + (39 + 310 + 311)

B = 13 + 33(1 + 3 + 32) + … + 39(1 + 3 + 32)

B = 13.(1 + 33 + … + 39) ⋮ 13.

Vậy B chia hết cho 13.

Một công nhân hoàn thành công việc đó trong số ngày là:

12 . 15 = 180 ( ngày )

Để hoàn thành công việc đó trong 8 ngày cần số công nhân là:

180 : 8 = 22,5 (công nhân) ≈ 23 (công nhân)

⇔ 

⇔ 

⇔ 

Suy ra:

Cách xác định tính chất đặc trưng của các phần tử trong bài :

0 = 0²

1 = 1²

4 = 2²

9 = 3²

...

2401 = 49²

⇒ Tính chất đặc trưng : x²

A = {x² | x là số tự nhiên, 0 ≤ x ≤ 49}

Số số hạng là : 

(98,99 − 10,11) : 1,01 + 1 = 89

Tổng trên là : 

(98,99 + 10,11) × 89 : 2 = 4854,95

a. Ta có:

KB < KM + MB

⇒ KA + KB < KA + (KM + MB) = KA + KM + MB = MA + MB

MA < AC + CM

⇒ MA + MB < AC + CM + MB = AC + BC 

⇒ KA + KB < MA + MB < CA + CB

b. Gọi BK ∩ AC = D 

Ta có: BD < BA + AD 

⇒ DB + DC < BA + AD + DC = AB + AC

KC < KD + DC

⇒ KC + KB < KD + DC + KB = DB + DC

⇒ KC + KB < DB + DC < AB + AC

c. Tương tự chứng minh được KA + KC < BA + BC

⇒ (KA + KB) + (KB + KC) + (KC + KA) < (CA + CB) + (AB + AC) + (BA + BC)

⇒ 2(KA + KB + KC) < 2(AB + BC + CA)

⇒ KA + KB + KC < AB + BC + CA

a. Ta có: d(O,a) = 8 < 10 = R

⇒ a, (O) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

b.Kẻ OH ⊥ MN, H ∈ MN

⇒ H là trung điểm MN, OH = 8

⇒ 

⇒ MN = 2; MH = 12

Vectơ pháp tuyến: (1;-3)

Vectơ chỉ phương (3;1)

Diện tích hình tròn ban đầu: S0 = 400π (cm2)

Gọi Sn là diện tích của hình tròn (Cn)

Suy ra: {Sn} là một cấp số nhân

Gọi un là diện tích phần tô màu ở bước thứ n, khi đó:

Tổng diện tích phần tô màu là:

S = u1 + u2 + … + un

=

a) Ta có tam giác OCD cân tại O có OI là đường cao

⇒ I là trung điểm của CD

⇒ Tứ giác OCBD là hình thoi

⇒ BD = OD = OC = BC = R

⇒ OBCE là hình thoi

⇒ CE = R

⇒ Tứ giác CEAO là hình bình hành (do AO // CE và AO = CE = R)

⇒ AE = OD = BC = BD

b) Xét ΔOAE và ΔOBD có:

+ OA = OE =OB = OD

+ AE = BD
 ⇒ ΔOAE = ΔOBD (c.c.c)

⇒ 

⇒ E, O, D thẳng hàng

c) Ta có AEBD có 2 đường chéo cắt nhau tại O là trung điểm mỗi đường 

Lại có ED = AB = 2R

⇒ AEBD là hình chữ nhật.

Đặt

Thì

Từ đó suy ra:

f(1) + f(2) + f(3) + … f(40)

Vì 0° < α < 180° nên 0 ≤ cos2α ≤ 1

Suy ra:

Vậy P = 4.

ĐKXĐ: x ≠ m

Ta có:

Để hàm số đồng biến trên (0; +∞) thì

⇔

⇔ 

Vì m nguyên nên m = -1 hoặc m = 0.

Vậy m = -1 hoặc m = 0.

nên AK = 2DK, K thuộc AD

Suy ra:

= a2

Ta có: AD = , CD = AB = 3a

Kẻ AE ⊥ CD

⇒ AE =

⇒ DE

⇒ΔADE⇒ΔADE vuông cân tại EE

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

 ⇒ 

Áp dụng định lí cos ta có:

BD2 = AB2 + AD2 – 2.AB.AD.cos

= 22 + 12 – 2.1.2.cos60°

Suy ra:

AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC.cos

= 22 + 12 – 2.1.2.cos120°

Suy ra:

a) P ∈ (MNP) ∩ (SAC)

SO và MN ⊂ (SBD) ⇒ SO cắt được MN

Gọi MN ∩ SO = I ⇒ I ∈ (MNP) ∩ (SAC)

⇒ (MNP) ∩ (SAC) = PI

 b) Gán SA ⊂ (SAC)

Mà (SAC) ∩ (MNP) = PI

⇒ SA ∩ (MNP) =  SA ∩ PI = J

c) AI, SC ⊂ (SAC) ⇒ AI cắt được SC

Gọi AI ∩ SC = E

⇒(AMN) ∩ (SAB) = AM

(AMN) ∩ (SBC) = ME

(AMN) ∩ (SCD) = EN

(AMN) ∩ (SAD) = AN

⇒ thiết diện là tứ diện AMEN.

DD’ ⊥ (A’B’C’D’) ⇒ DD’ ⊥ A’C’

Mà A’C’ ⊥ B’D’

⇒ A’C’ ⊥ (BDD’B’)

⇒

 (với O là giao điểm A’C’ và B’D’)

⇒

Chiều cao hình thang ABCD là:

135 . 2 : (5 + 4) = 30 (cm)

Diện tích hình thang ABCD là:

(9 + 12) . 30 : 2 = 315 (cm2)

a) Vì I là trung điểm DC nên DI = CI =

Xét tam giác ADC có IM // AC nên theo Ta-lét ta có:

IN // BD ⇒ 

Từ (1) và (2) suy ra:

b) IM // AC nên

IN // BD nên

Suy ra:

Vậy MI.BD = IN.AC.

Kẻ Ca sao cho My // Ca // Ax

Vì My // Ca

⇒ (2 góc so le trong)

⇒ 

Vì Ca // Ax

⇒  (2 góc so le trong)

Ta có: (2 góc kề bù)

  ⇒ 

  ⇒ 

Mà Az là tia phân giác  nên

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên

Suy ra:

Vì FN // DI (DI // EF, N thuộc EF) nên

Mà (2 góc đối đỉnh)

Suy ra:

Vì NE // BK (BK // EF, N thuộc EF)

⇒ (2 góc đồng vị)

Mà

⇒ (2)

Từ (1), (2) ⇒ 

Hay

Xét tam giác DIA và tam giác BKC có:

AD = CB

⇒ ∆DIA = ∆BKC (g.c.g)

⇒ AI = CK (2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác ADI có FN // DI nên

Tương tự chứng minh ta được:

⇒ 

⇒ 

Mà AI = CK nên

Kẻ đường thẳng xy đi qua L và song song với MN

Suy ra: Lx // MN và MN // KJ nên Lx // KJ

Lx // MN ⇒  (so le trong)

Lx // KJ ⇒  (trong cùng phía)

⇒ 

Cạnh của hình vuông ABCD là:  

20 : 4 = 5 (cm)

Theo hình bên, ta thấy có 4 nửa của hình tròn và ta có thể ghép lại thành 2 hình tròn. Bán kính của hình tròn đó là:     

5 : 2 = 2,5 (cm)

Diện tích phần tô màu là:

2,5 . 2,5 . 3,14 = 19,625 (cm2)

Vẽ điểm hình bình hành AMNC sao cho AM = 2AB

Để tìm tất cả các hình chữ nhật chứa trong hình vuông lớn (5x5), chúng ta có thể sử dụng phương pháp đếm số lượng hình chữ nhật có thể tạo ra từ các ô vuông nhỏ. Có thể chia các hình chữ nhật thành các nhóm dựa trên số lượng ô vuông mà chúng bao gồm.

Cụ thể:

- Có 25 hình vuông 1x1 (mỗi ô vuông nhỏ là một hình chữ nhật).

- Có 16 hình chữ nhật 2x1.

- Có 12 hình chữ nhật 3x1.

- Có 9 hình chữ nhật 4x1.

- Có 4 hình vuông 2x2.

- Có 6 hình chữ nhật 3x2.

- Có 4 hình chữ nhật 4x2.

- Có 1 hình vuông 3x3.

- Có 1 hình vuông 4x4.

- Có 1 hình vuông 5x5.

Vậy tổng cộng có 25 + 16 + 12 + 9 + 4 + 6 + 4 + 1 + 1 + 1 = 79 hình chữ nhật (bao gồm cả hình vuông) có thể tạo ra từ hình vuông lớn 5x5.

Đáp án đúng là B

A sai vì nếu b = 0 thì kết luận là sai

C sai vì

D sai vì .

A = n3 + 2025n2 + 2024n

A = n2(n + 2024) + n(n + 2024)

A = (n + 2024)(n2 + n)

A = (n + 2024).(n + 1).n

Ta có: A chia hết cho 3 nên n có dạng 3k; 3k + 1; 3k + 2

Với n = 3k

A = 3k(3k + 1)(3k + 2024) ⋮ 3

Với n = 3k + 1

A = (3k + 1)(3k + 2)(3k + 2025)

A = 3(k + 675)(3k + 1)(3k + 2) ⋮ 3

Với n = 3k + 2

A = (3k + 2)(3k + 3)(3k + 2027)

A = 3(k + 1)(3k + 2)(3k + 2027) ⋮ 3

⇒ A ⋮ 3.

ĐKXĐ: x2 + 3x + 2 ≠ 0 ⇔ (x + 1)(x + 2) ≠ 0 ⇔ x ≠ -1; -2

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi ∆’ > 0

⇔ (m – 1)2 – m – 1 >0

⇔ m2 – 3m > 0

⇔ 

Từ a ta có:

Theo bài ra x1 = 3x2

Suy ra:

⇔ 

⇔  (ĐK: m <1)

Suy ra: m2 – 3m = m2 – 2m + 1

⇔ m = -1

Vậy m = -1.

2x2 + 3x + 1 = 0

⇔ 2x2 + 2x + x + 1 = 0

⇔ 2x(x + 1) + (x + 1) = 0

⇔ (2x + 1)(x + 1) = 0

⇔ 

Thay m = -2 ta được: x2 + 6x = 0

⇔ 

x2 + 5x – 3m = 0

Xét ∆ = 12m + 25 > 0

Suy ra:

Theo Vi-ét ta có:

Ta có:

Vậy và là 2 nghiệm của phương trình: .

42S – 6S

Suy ra: .

Xét tam giác ABD và tam giác ACE có:

(AI là tia phân giác )

Suy ra: ∆ABD ~ ∆AEC (g.g)

⇒ 

Xét tam giác BDI và tam giác CEI có:

(2 góc đối đỉnh)

Suy ra: ∆BDI ~ ∆CEI (g.g)

⇒ 

⇒ BD.EI = EC. ID

Xét tứ giác AEDF có:

DE // AF (DE // AC)

DF // AE (DF // AB)

Suy ra: AEDF là hình bình hành

Xét tam giác ABC có DE // AC

Theo định lý Ta-lét ta có:

⇒ BE.DC = AE.DB

Trên AC lấy E sao cho AB = AE

Xét tam giác ABD và tam giác AED có:

AB = AE

Chung AD

⇒ ∆ABD = ∆AED (c.g.c)

⇒ 

Xét tam giác AED có là góc ngoài

Mà (1)

Xét tam giác ADC có: là góc ngoài tại đỉnh D

Suy ra: (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Xét tam giác DEC có: và DC > ED

Mà DE = DB nên DB < DC

Xét tam giác ABC có AB < AC

Suy ra:  (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)

Xét tam giác ADC có: là góc ngoài tại đỉnh D

Nên:

Xét tam giác ADB có: là góc ngoài tại đỉnh D

Nên

Mà và

Nên

Vì ΔABC = ΔHIK

⇒AC= HK = 7cm

Chu vi tam giác ABC là:

7 + 8 + 7 = 22 (cm)

Vì ΔABC = ΔHIK

⇒ AB = HI; BC = IK; AC = HK

⇒ AB + BC + AC = HI + IK + HK

mà: AB + BC + AC là chu vi ΔABC

HI + IK + HK là chu vi ΔHIK

⇒ Chu vi ΔABC = Chu vi ΔHIK = 22cm

Xét ΔAHE và ΔAKE vuông tại E có:

+ AE chung

+ (AE là phân giác góc )

⇒ ΔAHE = ΔAKE (cạnh góc vuông – góc nhọn)

⇒ AH = AK

⇒ ΔAHK cân tại A

Do ΔAHK cân tại A nên góc

Mà BI // AK

⇒ (đồng vị)

⇒ 

⇒ ΔBHI cân tại B

Xét ΔBDI và ΔCDK có:

+ (so le trong)

+ BD = CD

+ (đối đỉnh)

⇒ ΔBDI = ΔCDK (g-c-g)

⇒ BI = CK

Mà ΔBHI cân tại B nên BI = BH

⇒ BH = CK

AC = AK + KC = AH + KC = (AB + BH) + KC

= AB + BH + KC = AB + 2.BH (do: BH = KC)

⇒ 12 = 9 + 2.BH

⇒ BH = 1,5 (cm)

AH = AB + BH = 9 + 1,5 = 10,5 (cm)

Gọi H là chân đường cao hạ từ điểm A xuống

Gọi H(x;y)

Ta có:

⇔ (x + 1).5 + (y – 2).(-5) = 0

⇔ 5x – 5y = -15 (1)

H thuộc BC nên cùng phương

Để 2 vectơ cùng phương thì

⇔ 5x + 5y = 15 (2)

Từ (1) và (2) ta có: x = 0; y = 3.

a) AD vuông góc với BE khi

⇔ 

⇔ 

⇔ 

⇔ 

⇔ 

Nên a sai

b)

Nên b sai

c) Vì D là trung điểm BC nên . Vậy c đúng

d) BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC. cos

Suy ra:

Vì D là trung điểm BC nên

⇒ 

Vậy d sai.

EF song song với AC và cắt AB tại E và BC tại F.

⇒ ΔBEF đồng dạng Δ BAC.

Vì AB = 3BE

⇒ ΔBAC > ΔBEF 3 lần.

⇒ Chu vi ΔBEF =  ΔBAC.

Chu vi ΔBAC đã cho là 36cm, vậy chu vi ΔBEF sẽ là:

Ta thấy:

Diện tích tam giác BCN = 2SBMN = 2.16 = 32 (cm2)

Xét giao điểm của phương trình đường cao hạ từ B và C:

Phương trình đường cao kẻ từ A cũng đi qua điểm và có vecto pháp tuyến

Suy ra ta có phương trình: -5x + 7y – 4 = 0

Nên mệnh đề đã cho sai.

Vì AD // KM nên

Vì AD là phân giác nên

⇒ 

Suy ra: DB = 4cm

Ta có: AD // KM, AD là phân giác

Nên

Suy ra tam giác AKE cân tại A

⇒ AE = AK

Vì AD // CE, AD là phân giác

⇒ 

Suy ra:

Vì M là trung điểm BC nên MB = MC

Ta có:

Lại có:

Suy ra: BK = CE

Ta có:

Mà

Khi đó:

Suy ra:

Xét tam giác AMC và tam giác EMB có:

AM = EM

MC = MB
 ⇒ ∆AMC = ∆EMB (c.g.c) (1)

Từ (1) suy ra:

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AC // BE

Xét tam giác AMI và tam giác EMK có:

AM = EM

AI = EK

⇒ ∆AMI = ∆EMK (c.g.c)

⇒ 

Mà (do A, M, E thẳng hàng nên là góc bẹt)

Suy ra:

Hay

Vậy I, M, K thẳng hàng.

Xét ΔAMN và ΔABC có:

AM = AB (gỉa thiết)

 (đối đỉnh)

AN = AC (gt)

⇒ ΔAMN = ΔABC (c.g.c)

ΔAMN = ΔABC

⇒ 

mà 2 góc này ở vị trí so le trong của MN và BC

⇒ MN // BC

Xét ΔAME và ΔABF có:

AM = AB (gt)

(đối đỉnh)

AE = AF (gt)

⇒ ΔAME = ΔABF (c.g.c)

⇒ 

mà 2 góc này ở vị trí so le trong của ME và BF

⇒ ME // BF ⇒ ME // BC (F ∈ BC)

Mà MN // BC (cmt) ⇒ M, E, N thẳng hàng

 AM là phân giác nên

Suy ra: MB = MC nên tam giác MBC cân tại M

AN, AM lần lượt là phân giác ngoài và phân giác trong của nên  ⇒ 

⇒ MN là đường kính (O).

⇒ M, O, N thẳng hàng.

AN = x.AC suy ra:

2BA = 5BM ⇒ ⇒ AM = AB – BM =  ⇒ 

Gọi D là trung điểm BC

⇒ 

Để M, G, N thẳng hàng thì cùng phương

Suy ra:

⇒ 

Xét tam giác EAB và tam giác ECD có:

chung

⇒ ∆EAB ∽ ∆ECD (g.g)

∆EAB ∽ ∆ECD (g.g) nên

Xét tam giác EAC và tam giác EBD có:

chung

⇒ ∆EAC ∽ ∆EBD (c.g.c)

∆EAC ∽ ∆EBD (c.g.c)

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

Xét tam giác OAD và tam giác OBC có:

⇒ ∆OAD ∽ ∆OBC (g.g)

⇒ 

⇒ OA.OC = OB.OD

Xét tam giác MNP và tam giác MNK có chung chiều cao hạ từ M xuống NP,đáy NK= NP hay đáy NP gấp đôi đáy NK nên diện tích tam giác MNP gấp 2 lần diện tích tam giác MNK.

Diện tích tam giác MNP là:

54 × 2 = 108 (cm2).

 ⇒  ⇒ 

P = 25(sin4x + cos4x)

tan2x =

Vì sin2x + cos2x = 1 nên

Thay vào giá trị P ta được: P = 17.

Đặt  ⇒ a = kb, c = kd

Ta có:

Vậy .

S = 31 + 32 + … + 320

S = (31 + 32) + (33 + 34) + … + (319 + 320)

S = 12 + 32(3 + 32) + … + 318(3 + 32)

S = 12(1 + 32 + … + 318)

Vậy S chia hết cho 12.