10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 34

Hai vectơ cùng phương là hai vectơ mà giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Các cặp vectơ cùng phương với nhau là: \(\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right),\,\,\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow c } \right),\,\,\left( {\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c } \right).\)

Ta có:

315 : 3 = 105.

Ta có: \[\frac{{7125}}{{1000}} = \frac{{7125:125}}{{1000:125}} = \frac{{57}}{8}.\]

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆: 2x + 3y ‒ 5 = 0 có hệ số góc \[{k_1} = - \frac{2}{3}\].

Đường thẳng ∆’: 3x ‒ 2y ‒ 1 = 0 có hệ số góc \[{k_2} = \frac{3}{2}\].

Ta có: \[{k_1} \cdot {k_2} = - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = - 1\].

Vậy đường thẳng ∆ và ∆’ vuông góc với nhau.

b) Vì d tạo với Δ và Δ' một tam giác cân, và Δ⊥Δ', nên d phải tạo với Δ hoặc Δ' một góc 45°. Giả sử d tạo với Δ một góc 45°.

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng có hệ số góc k và k₁​ là:

\[\tan \alpha = \left| {\frac{{k - {k_1}}}{{1 + k{k_1}}}} \right|\]

\[\tan 45^\circ = 1 = \left| {\frac{{k - \left( { - \frac{2}{3}} \right)}}{{1 + k \cdot \left( { - \frac{2}{3}} \right)}}} \right| = \left| {\frac{{k + \frac{2}{3}}}{{1 - \frac{2}{3}k}}} \right|\]

Suy ra \[k + \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3}k\] hoặc \[k + \frac{2}{3} = - 1 + \frac{2}{3}k\]

⦁ Trường hợp 1:

\[k + \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3}k\]

\[k + \frac{2}{3}k = 1 - \frac{2}{3}\]

\[\frac{5}{3}k = \frac{1}{3}\]

\[k = \frac{1}{5}\].

⦁ Trường hợp 2:

\[k + \frac{2}{3} = - 1 + \frac{2}{3}k\]

\[k - \frac{2}{3}k = - 1 - \frac{2}{3}\]

\[\frac{1}{3}k = \frac{{ - 5}}{3}\]

k = –5.

Với \[k = \frac{1}{5}\], phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3) là:

\[y - 3 = \frac{1}{5}\left( {x - 2} \right)\] hay x ‒ 5y + 13 = 0.

Với k = –5, phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3) là: 

y ‒ 3 = –5(x ‒ 2) hay 5x + y ‒ 13 = 0.

Vậy d là x ‒ 5y + 13 = 0 hoặc 5x + y ‒ 13 = 0.

Đáp án đúng là: D

\[y = \sqrt x \] có tập xác định là D = [0; +∞] nên không liên tục trên ℝ.

Hàm số y = tanx, y = cot x không liên tục trên ℝ.

Hàm số \[y = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\] là hàm phân thức xác định trên ℝ nên liên tục trên ℝ.

Lời giải:

Cạnh AB là: 2 × 4 = 8 (cm).     

Cạnh CD là: 2 × 10 = 20 (cm).

Cạnh  AK là: 2 × 3 = 6 (cm).

Diện tích hình thang ABCD là: (8+20) ×6 :2 = 84 (cm²).

Từ x ‒ y = ‒ 36 nên x = ‒36 + y.

Thay vào biểu thức x : 11 = y : (‒11) ta có:

(‒36 + y) : 11 = y : (‒11)

(‒36 + y) : 11 = ‒y : 11

‒36 + y = ‒y

2y = 36

y = 18

Vậy y = 18.

a) Đúng.

Ta có: \[f\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2} - 1}} = \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 1 - \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}.\]

Vậy \[f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}.\]

b) Sai.

Ta có: \[\int {f\left( x \right)dx = \int {\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} } \]

 \[ = \ln \left| {x - 1} \right| - \ln \left| {x + 1} \right| + C\]

 \[ = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C.\]

c) Sai.

Nếu \[F\left( x \right) = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + 1\] thì \[F\left( { - 2} \right) = \ln \left| {\frac{{ - 3}}{{ - 1}}} \right| + 1 = \ln 3 + 1 \ne \ln \left( {3e} \right) = \ln 3 + 1\].

d) Đúng.

Giả sử \[F\left( x \right) = \ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C = \ln \left( {2e} \right)\]

Suy ra \[\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| = \ln 2 + 1 - C\]

Nếu C = 1 thì \[\left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| = 2\]

Giải phương trình: \[\left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| = 2\]

Suy ra x – 1 = 2(x + 1) hoặc x – 1 = –2(x + 1)

           x – 1 = 2x + 2 hoặc x – 1 = –2x – 2

           –x = 3 hoặc 3x = –1

             x = –3 hoặc \(x = - \frac{1}{3}\).

Như vậy, phương trình trên có hai nghiệm x₁ và x₂ và x₁.x₂ = 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Nếu x = x₀ là điểm cực trị của hàm số thì f’(x₀) = 0.

Nếu f’(x₀) = 0 và f’’(x₀) > 0 thì x = x₀ là điểm cực tiểu của hàm số.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy f(x) ≥ 0 ⇔ ‒1 ≤ x ≤ 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Vì hàm số y = f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng (3; 11), nên từ bất phương trình f(11x) > f(x²) ta suy ra 11x > x².

Giải bất phương trình:

11x > x²

x² ‒11x < 0

x(x ‒11) < 0

0 < x < 11

Vì x thuộc khoảng (3; 11) nên số nguyên x thỏa mãn là 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Vậy có 7 số nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Do nhà bạn Minh đi 5 người nên phải chọn taxi 7 chỗ.

Tổng số tiền mà gia đình bạn Minh đi là:

12 000 + 17 000.30 + 14600.2 = 551 200 (đồng).

10% của 551200 là:

551 200 × 10 : 100 = 55 120 (đồng).

Do chương trình khuyến mãi giảm tối đa 50000 đồng nên:

Số tiền gia đình bạn Minh phải thanh toán là:

551 200 ‒ 50 000 = 501 200 (đồng).

Hiệu số phần bằng nhau là:

7 ‒ 2 = 5

Số thứ nhất là:

45 : 5 × 7 = 73

Số thứ hai là:

45 : 5 × 2 = 18.

Ta có: \[0,8 = \frac{4}{5}\]

Hiệu số phần bằng nhau là:

5 ‒ 4 = 1 (phần)

Số thứ nhất là:

3,6 : 1 × 4 = 14,4

Số thứ hai là:

3,6 : 1 × 5 = 18.

Lời giải:

\[\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 2;4} \right)\].

Suy ra \[\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} = \left( {1;1; - 2} \right)\].

a) Ta có: \[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 5;1; - 2} \right)\]

Mặt phẳng (ABC) đi qau điểm A(1; 0; ‒1) và nhận \[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 5;1; - 2} \right)\] làm một vecto pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (ABC) là:

‒5(x ‒ 1) + y ‒ 2(z + 1) = 0 hay ‒5x + y ‒ 2z + 3 = 0.

b) Đường thẳng AC đi qua điểm A(1; 0; ‒1) và nhận \[\frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow {AC} = \left( {1;1; - 2} \right)\] làm một vecto chỉ phương nên phương trình chính tắc đường thẳng AC là: \[\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\] phương trình tham số đường thẳng AC là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.\]

c) Gọi I là trung điểm của AC nên I(0; ‒1; 1)

Mặt cầu đường kính AC có bán kính \[R = \frac{{AC}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt 6 \] và tâm I(0; ‒1; 1) nên phương trình mặt cầu là: x² + (y + 1)² + (z ‒ 1)² = 6.

d) Mặt cầu tâm A đi qua B có tâm là A(1; 0; ‒1) và bán kính \[AB = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {3^2}} = \sqrt {11} \] nên phương trình mặt cầu là: (x ‒ 1)²+ y² + (z + 1)² = 11.

Dấu “!” trong toán học là giai thừa, tức là tích của các số từ 1 đến chính nó.

Gọi phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b.

Do đường thẳng qua A và B, thay vào phương trình đường thẳng ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 1\\a + b = - 2\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}3a = - 3\\a + b = - 2\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 1\end{array} \right.\]

Vậy phương tình đường thẳng là: y = ‒x ‒ 1.

Ta có: x chia 5 dư 3,x chia 6 dư 4

Suy ra x + 2 chia hết cho 5 và x + 2 chia hết cho 6

Do đó x + 2 ∈ BC(5,6).

Ta có: 5=5 và 6=2.3.

Suy ra BCNN(5,6) = 2.3.5=30.

Nên BC(5,6)=B(30) ={0;30;60; 90; ...}.

Do đó x + 2 ∈ {0; 30; 60; 90;...}.

Hay x ∈ {‒2; 28; 58; 88;...}.

Mà x <59.

Vậy x= 28, x = 58.

Lời giải:

Ta có: f(1) = ‒1.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = {1^2} + 1 = 2\].

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - x} \right) = - 1\].

Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\] nên không tồn tại \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\].

Vậy hàm số không liên tục tại điểm x₀ = 1.