Ôn tập chương 1

Các đỉnh, cạnh, mặt của một đa diện phải thỏa mãn những tính chất:

- Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh, ba mặt;

- Mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt;

- Hai mặt bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có đúng một cạnh chung.

Hình trên không phải là đa diện vì có 1 cạnh là cạnh chung của 4 mặt phẳng.

Với hai điểm M và N thuộc khối đa diện thì mọi điểm của đoạn thẳng MN cũng thuộc khối đa diện đó. Ta gọi đó là khối đa diện lồi.

(Hai điểm M, N thuộc khối đa diện nhưng đoạn MN nằm ngoài khối đa diện).

Gọi S là diện tích đáy và h là chiều cao của hình lăng trụ và của hình chóp, ta có:

 

 

- Tam giác OBC vuông ở O và có đường cao OE nên:

1OE2=1OB2+1OC25

- Tam giác AOE vuông ở O và có đường cao OH nên:

1OH=1OA2+1OE2

Từ (5) và (6) suy ra 

a)

+ Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC)

⇒ AH là hình chiếu của SA trên (ABC)

Gọi E là trung điểm BC

H là tâm của Δ đều ABC.

SH=SA2-AH2=a

Thể tích khối chóp S.ABC là:

⇒ Thể tích khối chóp S.DBC là:

ta có công thức S=p.r, ta có r=SP=2a63

=> SH=EH.tanSEH^=r.tan60o=2a633=2a2

S∆AB'C'=12B'C'.AB'=12.c2a2+c2.ba2+b2+c2.caa2+c2

Điều này chứng tỏ SM là đường cao của hình chóp S.AEMF. Vậy thể tích của khối chóp S.AEMF là:

Ta chia khối lẳng trụ đã cho thành hình chóp A’.ABC, C.A’B’C’ và C.A’BB’

Ta có: VA’.ABC = VA’B’C’ =  trong đó S là diện tích đáy S = SABC = SA’B’C’ và h là chiều cao của hình lăng trụ

Lại có: VABC.A’B’C’ = S.h

Do đó,

Trong đó, tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a nên 

Vì đây là hình lăng trụ đứng nên h = AA’ = BB’= CC’ = a.

Vậy thể tích hình chóp C.A’BB’ là:

Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và A’B’, G là trọng tâm của tam giác ABC.Đường thẳng qua G, song song với AB cắt AC và BC lần lượt tại E và F, đường thẳng EF chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (GA’B’) và (ABC).

Gọi O là tâm hình hộp và tâm của hình bình hành BB’D’D. Khi đó O là trung điểm của EF.

Ta có: A’ ∈ CO (1)

CO ⊂ mp(CEF)(2)

Mặt khác A’E // CF, A’F // CE

Nên mp(CEF) cắt hình hộp theo thiết diện là hình bình hành A’ECF.

mp(CEF) chia hình hộp ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối đa diện (Đ) và (Đ’).

Gọi (Đ) là khối đa diện có các đỉnh là A, B, C, D, A’, E, F và (Đ’) là khối đa diện còn lại.

Phép đối xứng qua tâm O biến các đỉnh A, B, C, D, A’, E, F của đa diện (Đ) lần lượt thành các đỉnh C’, D’, A’, B’, C, F, E của khối da diện (Đ’)

Suy ra phép đối xứng qua tâm O biến (Đ) thành (Đ’), nghĩa là hai hình đa diện (Đ) và (Đ’) bằng nhau.

Vậy tỉ số thể tích của (Đ) và (Đ’) bằng 1.

Gọi M’ là hình chiếu của M lên mp(ABCD).

 

-Mặt phẳng (DMN) cắt hình lập phương theo thiết diện MEDNF trong đó ME // ND, FN //DE và chia hình lập phương thành hai khối đa diện (H) và (H’), gọi phần khối lập phương chứa A, B, A’, mặt phẳng (DMN) là (H)

-Chia (H) thành các hình chóp F.DBN, D.ABFMA’ và D.A’EM.