Giải SGK Toán 12 CTST Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm có đáp án

Sau bài học này, ta có thể tính được phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ở biểu đồ trên như sau:

Từ biểu đồ, ta lập được bảng tần số ghép nhóm sau:

Ta có bảng thống kê chiều cao của các học sinh nữ lớp 12 theo giá trị đại diện:

Cỡ mẫu n = 3 + 5 + 8 + 4 + 1 = 21.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:$\overline{x}=\frac{3\cdot 162+5\cdot 166+8\cdot 170+4\cdot 174+1\cdot 178}{21}=\frac{3550}{21}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S^2=\frac{1}{21}\left[3{\left(162-\frac{3550}{21}\right)}^2+5{\left(166-\frac{3550}{21}\right)}^2+\mathrm{...}+1{\left(178-\frac{3550}{21}\right)}^2\right]$

   $=\frac{8000}{441}$ ≈ 18,14.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S=\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac{8000}{441}}=\frac{40\sqrt{5}}{21}\approx \mathrm{4,26}$.

a) Từ biểu đồ, ta lập được bảng tần số ghép nhóm và tính được giá trị đại diện của mỗi nhóm như sau:

Số học sinh nữ lớp 12 tham gia khảo sát là n = 3 + 5 + 8 + 4 + 1 = 21.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:$\overline{x}=\frac{3\cdot 162+5\cdot 166+8\cdot 170+4\cdot 174+1\cdot 178}{21}=\frac{3550}{21}$.

b) Ta có bảng thống kê mẫu số liệu mới:

Cỡ mẫu n = 21.

Giá trị trung bình $\overline{x}=\frac{3550}{21}$.

Phương sai của mẫu số liệu mới là: $S^2=\frac{1}{21}\left[3{\left(162-\frac{3550}{21}\right)}^2+5{\left(166-\frac{3550}{21}\right)}^2+\mathrm{...}+1{\left(178-\frac{3550}{21}\right)}^2\right]$

    $=\frac{8000}{441}$ ≈ 18,14.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu mới là: $S=\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac{8000}{441}}=\frac{40\sqrt{5}}{21}\approx \mathrm{4,26}$.

Từ biểu đồ, ta lập được bảng tần số ghép nhóm sau:

Ta có bảng thống kê chiều cao của các học sinh nữ lớp 12 theo giá trị đại diện:

Cỡ mẫu n = 3 + 5 + 8 + 4 + 1 = 21.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:$\overline{x}=\frac{3\cdot 162+5\cdot 166+8\cdot 170+4\cdot 174+1\cdot 178}{21}=\frac{3550}{21}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S^2=\frac{1}{21}\left[3{\left(162-\frac{3550}{21}\right)}^2+5{\left(166-\frac{3550}{21}\right)}^2+\mathrm{...}+1{\left(178-\frac{3550}{21}\right)}^2\right]$

    $=\frac{8000}{441}$ ≈ 18,14.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S=\sqrt{S^2}=\sqrt{\frac{8000}{441}}=\frac{40\sqrt{5}}{21}\approx \mathrm{4,26}$.

a) Ta có bảng sau:

Xét mẫu số liệu của Mai:

Cỡ mẫu là n_M = 6 + 7 + 6 + 6 + 5 = 30.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\overline{x}}_M=\frac{6\cdot 4+7\cdot 6+6\cdot 8+6\cdot 10+5\cdot 12}{30}=\mathrm{7,8}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_M^2=\frac{1}{30}$(6 ∙ 4² + 7 ∙ 6² + 6 ∙ 8² + 6 ∙ 10² + 5 ∙ 12²) – (7,8)² = 7,56.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S_M=\sqrt{S_M^2}=\sqrt{\mathrm{7,56}}=\frac{3\sqrt{21}}{5}\approx \mathrm{2,75}$.

Xét mẫu số liệu của Ngọc:

Cỡ mẫu là n_N = 2 + 5 + 13 + 8 + 2 = 30.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\overline{x}}_N=\frac{2\cdot 4+5\cdot 6+13\cdot 8+8\cdot 10+2\cdot 12}{30}=\mathrm{8,2}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S_N^2=\frac{1}{30}$(2 ∙ 4² + 5 ∙ 6² + 13 ∙ 8² + 8 ∙ 10² + 2 ∙ 12²) – (8,2)² ≈ 3,83.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S_N=\sqrt{S_N^2}\approx \sqrt{\mathrm{3,83}}\approx \mathrm{1,96}$.

b) Ta thấy S_N ≈ 1,96 < S_M ≈ 2,75.

Do đó, nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì bạn Ngọc có số lượng bước chân đi mỗi ngày đều đặn hơn.

Ta có bảng sau:

Cỡ mẫu là n = 13 + 45 + 24 + 12 + 6 = 100.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\overline{x}=\frac{13\cdot \mathrm{19,25}+45\cdot \mathrm{19,75}+24\cdot \mathrm{20,25}+12\cdot \mathrm{20,75}+6\cdot \mathrm{21,25}}{100}=\mathrm{20,015}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^2=\frac{1}{100}$[13 ∙ (19,25)² + 45 ∙ (19,75)² + 24 ∙ (20,25)²

                                     + 12 ∙ (20,75)² + 6 ∙ (21,25)²] – (20,015)² ≈ 0,277.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S=\sqrt{S^2}\approx \sqrt{\mathrm{0,277}}\approx \mathrm{0,526}$.

a) Từ biểu đồ ta thấy có 2 máy vi tính có thời gian sử dụng pin từ 7,2 đến dưới 7,4 giờ.

b) Từ biểu đồ, ta có bảng thống kê sau:

Cỡ mẫu là n = 2 + 4 + 7 + 5 = 18.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\overline{x}=\frac{2\cdot \mathrm{7,3}+4\cdot \mathrm{7,5}+7\cdot \mathrm{7,7}+5\cdot \mathrm{7,9}}{18}\approx \mathrm{7,667}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^2=\frac{1}{18}$[2 ∙ (7,3)² + 4 ∙ (7,5)² + 7 ∙ (7,7)² + 5 ∙ (7,9)²] – (7,667)² ≈ 0,032.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S=\sqrt{S^2}\approx \sqrt{\mathrm{0,032}}\approx \mathrm{0,179}$.

a) Mẫu số liệu đã cho đã được xếp theo thứ tự không giảm.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

R = 61,1 – 42 = 19,1 (km/h).

Cỡ mẫu n = 20.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu số liệu:

Do đó, $Q_1=\frac{\mathrm{46,7}+\mathrm{46,8}}{2}=\mathrm{46,75}$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu số liệu:

Do đó, $Q_3=\frac{\mathrm{54,8}+\mathrm{55,6}}{2}=\mathrm{55,2}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 55,2 – 46,75 = 8,45.

Số trung bình của mẫu số liệu là: $\overline{x}=\frac{42+\mathrm{43,4}+\mathrm{43,4}+\mathrm{46,5}+\mathrm{...}+\mathrm{60,3}+\mathrm{61,1}}{20}=\mathrm{50,945}$.

Phương sai của mẫu số liệu là:

S² = $\frac{1}{20}$[42² + (43,4)² + (43,4)² + … + (60,3)² + (61,1)²] – (50,945)² ≈ 32,2.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: $S=\sqrt{S^2}\approx \sqrt{\mathrm{32,2}}\approx \mathrm{5,675}$.

b) Ta lập được bảng tần số ghép nhóm như sau:

c) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là:

R' =62 – 42 = 20 (km/h).

Gọi x₁; x₂; …; x₂₀ là mẫu số liệu gốc về tốc độ của 20 xe hơi đi qua một trạm kiểm tra tốc độ được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có x₁; x₂; x₃ ∈ [42; 46), x₄; …; x₁₀ ∈ [46; 50), x₁₁; …; x₁₄ ∈ [50; 54),

          x₁₅; …; x₁₇ ∈ [54; 58), x₁₈; x₁₉; x₂₀ ∈ [58; 62).

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_5+x_6\right)$ ∈ [46; 50).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q^{\text{'}}}_1=46+\frac{\frac{20}{4}-3}{7}\cdot \left(50-46\right)=\frac{330}{7}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left(x_{15}+x_{16}\right)$ ∈ [54; 58).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q^{\text{'}}}_3=54+\frac{\frac{3\cdot 20}{4}-\left(3+7+4\right)}{3}\cdot \left(58-54\right)=\frac{166}{3}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

∆'_Q = Q'₃ – Q'₁ = $\frac{166}{3}-\frac{330}{7}=\frac{172}{21}$≈ 8,19.

Từ bảng tần số ghép nhóm, ta có bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\overline{x}}^{\text{'}}=\frac{3\cdot 44+7\cdot 48+4\cdot 52+3\cdot 56+3\cdot 60}{20}=\mathrm{51,2}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

S'² = $\frac{1}{20}$(3 ∙ 44² + 7 ∙ 48² + 4 ∙ 52² + 3 ∙ 56² + 3 ∙ 60²) – (51,2)² = 26,56.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $S^{\text{'}}=\sqrt{{S^{\text{'}}}^2}=\sqrt{\mathrm{26,56}}=\frac{2\sqrt{166}}{5}\approx \mathrm{5,154}$.

a) Ta có bảng sau:

Cỡ mẫu: n_A = 25 + 38 + 20 + 10 + 7 = 100; n_B = 22 + 27 + 19 + 18 + 14 = 100.

Đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A là: ${\overline{x}}_A=\frac{25\cdot 31+38\cdot 33+20\cdot 35+10\cdot 37+7\cdot 39}{100}=\mathrm{33,72}$.

Đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm B là: ${\overline{x}}_B=\frac{22\cdot 31+27\cdot 33+19\cdot 35+18\cdot 37+14\cdot 39}{100}=\mathrm{34,5}$.

Vì ${\overline{x}}_A=\mathrm{33,72}<{\overline{x}}_B=\mathrm{34,5}$ nên đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A nhỏ hơn tại địa điểm B.

b) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A là:

$S_A^2=\frac{1}{100}$(25 ∙ 31² + 38 ∙ 33² + 20 ∙ 35² + 10 ∙ 37² + 7 ∙ 39²) – (33,72)² ≈ 5,402.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm A là: $S_A=\sqrt{S_A^2}\approx \sqrt{\mathrm{5,402}}\approx \mathrm{2,324}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm B là:

$S_B^2=\frac{1}{100}$(22 ∙ 31² + 27 ∙ 33² + 19 ∙ 35² + 18 ∙ 37² + 14 ∙ 39²) – (34,5)² = 7,31.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ghép nhóm về đường kính của thân cây xoan đào trồng tại địa điểm B là: $S_B=\sqrt{S_B^2}=\sqrt{\mathrm{7,31}}=\frac{\sqrt{731}}{10}\approx \mathrm{2,704}$.

Vì S_A ≈ 2,324 < S_B ≈ 2,704 nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì cây trồng tại địa điểm A có đường kính đồng đều hơn.