20 câu trắc nghiệm Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2: Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Ta có \(\overline x  = \frac{{5.6 + 7.12 + 9.19 + 11.9 + 13.4}}{{6 + 12 + 19 + 9 + 4}} = 8,72\).

Phương sai: \({s^2} = \frac{{{5^2}.6 + {7^2}.12 + {9^2}.19 + {{11}^2}.9 + {{13}^2}.4}}{{6 + 12 + 19 + 9 + 4}} - {8,72^2} = \frac{{3001}}{{625}}\).

Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {\frac{{3001}}{{625}}}  \approx 2,19\).

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu 11A là R₁ = 10 – 5 = 5.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu 11B là R₂ = 10 – 6 = 4.

Vì R₂ < R₁ nên điểm trung bình của các học sinh lớp 11B ít phân tán hơn điểm trung bình của các học sinh lớp 11A.

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu 11A là R₁ = 10 – 5 = 5.

c)

Ta có \(\overline {{x_A}} = \frac{{5,5.1 + 6,5.0 + 7,5.11 + 8,5.22 + 9,5.6}}{{1 + 0 + 11 + 22 + 6}} = 8,3\).

Phương sai: \(s_A^2 = \frac{{{{5,5}^2}.1 + {{6,5}^2}.0 + {{7,5}^2}.11 + {{8,5}^2}.22 + {{9,5}^2}.6}}{{1 + 0 + 11 + 22 + 6}} - {8,3^2} = 0,61\).

Độ lệch chuẩn: \({s_A} = \sqrt {0,61} \approx 0,78\).

d)

Ta có \(\overline {{x_B}} = \frac{{6,5.6 + 7,5.8 + 8,5.14 + 9,5.12}}{{6 + 8 + 14 + 12}} = 8,3\).

Phương sai: \(s_B^2 = \frac{{{{6,5}^2}.6 + {{7,5}^2}.8 + {{8,5}^2}.14 + {{9,5}^2}.12}}{{6 + 8 + 14 + 12}} - {8,3^2} = 1,06\).

Độ lệch chuẩn: \({s_B} = \sqrt {1,06} \approx 1,03\).

Vì s_A < s_B nên điểm trung bình của học sinh lớp 11A ít phân tán hơn học sinh lớp 11B.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng; c) Sai;   d) Đúng.

a) Khoảng biến thiên: 31,8 – 16,8 = 15.

b) \(\overline x  = \frac{{18,3.2 + 21,3.3 + 24,3.2 + 27,3.1 + 30,3.4}}{{2 + 3 + 2 + 1 + 4}} = 24,8\).

c) Phương sai: \({s^2} = \frac{{{{18,3}^2}.2 + {{21,3}^2}.3 + {{24,3}^2}.2 + {{27,3}^2}.1 + {{30,3}^2}.4}}{{2 + 3 + 2 + 1 + 4}} - {24,8^2} = 20,75\).

d) Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {20,75}  \approx 4,6\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;  c) Sai;   d) Sai.

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: 10 – 5 = 5.

b) Ta có \(\overline {{x_A}} = \frac{{5,5.4 + 6,5.5 + 7,5.5 + 8,5.4 + 9,5.2}}{{4 + 5 + 5 + 4 + 2}} = \frac{{29}}{4}\).

\(s_A^{^2} = \frac{{{{5,5}^2}.4 + {{6,5}^2}.5 + {{7,5}^2}.5 + {{8,5}^2}.4 + {{9,5}^2}.2}}{{4 + 5 + 5 + 4 + 2}} - {\left( {\frac{{29}}{4}} \right)^2} = \frac{{127}}{{80}}\).

c) \(\overline {{x_B}} = \frac{{5,5.3 + 6,5.6 + 7,5.5 + 8,5.5 + 9,5.1}}{{3 + 6 + 5 + 5 + 1}} = \frac{{29}}{4}\).

\(s_B^2 = \frac{{{{5,5}^2}.3 + {{6,5}^2}.6 + {{7,5}^2}.5 + {{8,5}^2}.5 + {{9,5}^2}.1}}{{3 + 6 + 5 + 5 + 1}} - {\left( {\frac{{29}}{4}} \right)^2} = \frac{{103}}{{80}} = 1,2875\).

d) Có \({s_A} = \sqrt {\frac{{127}}{{80}}} \approx 1,26\); \({s_B} = \sqrt {\frac{{103}}{{80}}} \approx 1,13\).

Vì s_B < s_A nên mức lương khởi điểm của công nhân khu vực B đồng đều hơn công nhân khu vực A.

Đáp án: a) Sai;   b) Sai; c) Sai;   d) Đúng.

a) Xét số liệu ở Đà Lạt : Khoảng biến thiên là: \(R = 91,5 - 78,3 = 13,2\)

b) Xét số liệu ở Vũng Tàu:

+ Số phần tử của mẫu là \(n = 12\).

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1} = \frac{{{x_3} + {x_4}}}{2}\) mà x3; x4 Î [75; 78,3).

Tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = 75 + \left( {\frac{{3 - 0}}{5}} \right).3,3 = 76,98\).

\({Q_3} = \frac{{{x_9} + {x_{10}}}}{2}\) mà x9; x10 Î [78,3; 81,6).

Ta có tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = 78,3 + \left( {\frac{{9 - 5}}{6}} \right).3,3 = 80,5\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \({Q_3} - {Q_1} = 80,5 - 76,98 = 3,52\).

c) Xét số liệu ở Đà Lạt :

+ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\overline {{x_1}}  = \frac{{0.76,65 + 2.79,95 + 83,25 + 6.86,55 + 3.89,85}}{{12}} = 86\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(s_1^2 = \frac{{{{0.76,65}^2} + {{2.79,95}^2} + {{83,25}^2} + {{6.86,55}^2} + {{3.89,85}^2}}}{{12}} - {86^2} = \frac{{847}}{{80}}\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({s_1} = \sqrt {{s_1}^2}  = \sqrt {\frac{{847}}{{80}}}  \approx 3,25\).

d) Xét số liệu ở Vũng Tàu:

+ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\overline {{x_2}}  = \frac{{5.76,65 + 6.79,95 + 83,25}}{{12}} = 78,85\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(s_2^2 = \frac{{5{{(76,65 - 78,85)}^2} + 6{{(79,95 - 78,85)}^2} + {{(83,25 - 78,85)}^2}}}{{12}} = 4,235\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({s_2} = \sqrt {s_2^2}  = \sqrt {4,235}  \approx 2,06\)

Vũng Tàu có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn vì độ lệch chuẩn nhỏ hơn.

Đáp án: a) Sai;   b) Sai;   c) Sai;   d) Sai.

a) Mẫu số liệu trên có khoảng biến thiên \[R = 80 - 0 = 80.\]

b) Vì có 30 tỉnh, thành phố có tỉ lệ che phủ rừng nhỏ hơn \(40{\rm{\% }}\).

c) Cỡ mẫu n = 17 + 6 + 3 + 4 + 9 + 15 + 5 + 1 = 60.

Gọi x1; x2; …; x60 là tỉ lệ che phủ rừng của 60 tỉnh được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có \({Q_1} = \frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}\) mà x15; x16 Î [0; 10) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.

Khi đó \({Q_1} = 0 + \frac{{\frac{{60}}{4} - 0}}{{17}}.10 = \frac{{150}}{{17}}\).

Ta có \({Q_3} = \frac{{{x_{45}} + {x_{46}}}}{2}\) mà x45; x46 Î [50; 60) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ ba.

Khi đó \({Q_3} = 50 + \frac{{\frac{{3.60}}{4} - 39}}{{15}}.10 = 54\).

Suy ra \({\Delta _Q} = 54 - \frac{{150}}{{17}} \approx 45,18\).

d) Ta có

Trung bình của mẫu số liệu:

\[\overline x  = \frac{{17.5 + 6.15 + 3.25 + 4.35 + 9.45 + 15.55 + 5.65 + 1.75}}{{60}} = \frac{{101}}{3} \approx 33,67\]

Phương sai của mẫu số liệu:

\[\begin{array}{l}{s^2} = \frac{{17.{{\left( {\overline x  - 5} \right)}^2} + 6.{{\left( {\overline x  - 15} \right)}^2} + 3.{{\left( {\overline x  - 25} \right)}^2} + 4.{{\left( {\overline x  - 35} \right)}^2}}}{{60}}\\{\rm{        + }}\frac{{9.{{\left( {\overline x  - 45} \right)}^2} + 15.{{\left( {\overline x  - 55} \right)}^2} + 5.{{\left( {\overline x  - 65} \right)}^2} + 1.{{\left( {\overline x  - 75} \right)}^2}}}{{60}} = \frac{{23257}}{{45}}.\end{array}\]

\[ \Rightarrow s = \sqrt {\frac{{23257}}{{45}}}  \approx 22,73.\]

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Sai;   d) Đúng.

Ta có bảng tần số ghép nhóm sau:

Ta có \(\overline {{x_A}}  = \frac{{7,5.20 + 12,5.5 + 17,5.10 + 22,5.5 + 27,5.20}}{{20 + 5 + 10 + 5 + 20}} = 17,5\).

Phương sai: \(s_A^2 = \frac{{{{7,5}^2}.20 + {{12,5}^2}.5 + {{17,5}^2}.10 + {{22,5}^2}.5 + {{27,5}^2}.20}}{{20 + 5 + 10 + 5 + 20}} - {17,5^2} = \frac{{425}}{6}\).

Độ lệch chuẩn: \({s_A} = \sqrt {\frac{{425}}{6}} \).

\(\overline {{x_B}}  = \frac{{7,5.5 + 12,5.10 + 17,5.30 + 22,5.10 + 27,5.5}}{{5 + 10 + 30 + 10 + 5}} = 17,5\).

Phương sai: \(s_B^2 = \frac{{{{7,5}^2}.5 + {{12,5}^2}.10 + {{17,5}^2}.30 + {{22,5}^2}.10 + {{27,5}^2}.5}}{{5 + 10 + 30 + 10 + 5}} - {17,5^2} = 25\).

Độ lệch chuẩn: sB = 5.

Hiệu độ lệch chuẩn: sA – sB \( = \sqrt {\frac{{425}}{6}}  - 5 \approx 3,4\).

Trả lời: 3,4.

Ta có \(\overline x  = \frac{{5.25 + 15.8 + 25.7 + 35.2}}{{25 + 8 + 7 + 2}} = \frac{{35}}{3}\).

Phương sai: \({s^2} = \frac{{{5^2}.25 + {{15}^2}.8 + {{25}^2}.7 + {{35}^2}.2}}{{25 + 8 + 7 + 2}} - {\left( {\frac{{35}}{3}} \right)^2} = \frac{{5300}}{{63}} \approx 84,1\).

Trả lời: 84,1.

Ta có \(\overline x  = \frac{{45.3 + 47.3 + 49.10 + 51.15 + 53.7 + 55.2}}{{3 + 3 + 10 + 15 + 7 + 2}} = \frac{{503}}{{10}}\).

Phương sai: \({s^2} = \frac{{{{45}^2}.3 + {{47}^2}.3 + {{49}^2}.10 + {{51}^2}.15 + {{53}^2}.7 + {{55}^2}.2}}{{3 + 3 + 10 + 15 + 7 + 2}} - {\left( {\frac{{503}}{{10}}} \right)^2} = \frac{{591}}{{100}}\).

Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {\frac{{591}}{{100}}}  \approx 2,43\).

Trả lời: 2,43.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[\overline x \, = \frac{{35.2 + 45.10 + 55.16 + 65.8 + 75.2 + 85.2}}{{40}} = 56\]

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[\begin{array}{l}s\, = \sqrt {\frac{1}{{40}}\left[ {2.{{\left( {35 - 56} \right)}^2} + 10.{{\left( {45 - 56} \right)}^2} + 16.{{\left( {55 - 56} \right)}^2} + 8.{{\left( {65 - 56} \right)}^2} + 2.{{\left( {75 - 56} \right)}^2} + 2.{{\left( {85 - 56} \right)}^2}} \right]} \\ = 11,4\end{array}\]

Trả lời: 11,4.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[\overline x \, = \frac{{37.9 + 39.15 + 41.25 + 43.30 + 45.21}}{{100}} = 41,78\]

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:

 \[\begin{array}{l}s\, = \sqrt {\frac{1}{{100}}\left[ {9.{{\left( {37 - 41,78} \right)}^2} + 15.{{\left( {39 - 41,78} \right)}^2} + 25.{{\left( {41 - 41,78} \right)}^2} + 30.{{\left( {43 - 41,78} \right)}^2} + 21.{{\left( {45 - 41,78} \right)}^2}} \right]} \\ = 2,45\end{array}\]

Trả lời: 2,45.