Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 7. Cấp số nhân có đáp án

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Lương hằng năm (triệu đồng) của chuyên gia lập thành một cấp số nhân, với số hạng đầu u₁ = 240 và công bội q = 1,05. Tổng số lương của chuyên gia đó sau 10 năm chính là tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân này và bằng

\({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{240\left[ {1 - {{\left( {1,05} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - 1,05}} \approx \,3\,019\).

Vậy tổng số lương (làm tròn đến triệu đồng) của chuyên gia đó sau 10 năm là 3 019 triệu đồng hay 3,019 tỉ đồng.

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là

u₁ = 3 . 2¹ = 6;

u₂ = 3 . 2² = 12;

u₃ = 3 . 2³ = 24;

u₄ = 3 . 2⁴ = 48;

u₅ = 3 . 2⁵ = 96.

b) Ta có: u_{n – 1} = 3 . 2^{n – 1} = 3 . \(\frac{{{2^n}}}{{{2^1}}}\) = \(\frac{{{{3.2}^n}}}{2}\) = \(\frac{{{u_n}}}{2}\), suy ra u_n = u_{n – 1} . 2.

Hệ thức truy hồi liên hệ giữa u_n và u_{n – 1} là u₁ = 6, u_n = u_{n – 1} . 2 với n ≥ 2.

Lời giải:

Dãy số không đổi a, a, a, ... là một cấp số nhân với công bội q = 1.

Lời giải:

Với mọi n ≥ 2, ta có:

\(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{{2.5}^n}}}{{{{2.5}^{n - 1}}}} = \frac{{{5^n}}}{{\frac{{{5^n}}}{5}}} = 5\),

tức là u_n = 5u_{n – 1} với mọi n ≥ 2.

Vậy (u_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 2 . 5¹ = 10 và công bội q = 5.

Lời giải:

a) Ta có: u₂ = u₁ . q;

u₃ = u₂ . q = (u₁ . q) . q = u₁ . q²;

u₄ = u₃ . q = (u₁ . q²) . q = u₁ . q³;

u₅ = u₄ . q = (u₁ . q³) . q = u₁ . q⁴.

b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo u₁ và q là u_n = u₁ . q^{n – 1} với n ≥ 2.

Lời giải:

Vì ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ nên số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ lập thành một cấp số nhân với sống hạng đầu u₁ = 5 000 và công bội q = 1,08 và u₆ là số lượng vi khuẩn nhận được sau 5 giờ nuôi cấy.

Ta có: u₆ = u₁ . q^{6 – 1} = 5 000 . 1,08⁵ ≈ 7 347.

Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn xấp xỉ khoảng 7 347 con.

Lời giải:

a) Ta có: u₂ = u₁ . q; ...; u_{n – 1} = u₁ . q(^{n – 1) – 1} = u₁ . q^{n – 2}; u_n = u₁ . q^{n – 1}.

Do đó, S_n = u₁ + u₂ + ... + u_{n – 1} + u_n = u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1}              (1).

b) Ta có: q . S_n = q . (u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1})

⇔ q . S_n = u₁ . q + u₁ . q² + ... + u₁ . q^{n – 1} + u₁ . qⁿ   (2).

c) Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2) ta được:

S_n – q . S_n = (u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1}) – (u₁ . q + u₁ . q² + ... + u₁ . q^{n – 1} + u₁ . qⁿ)

⇔ (1 – q)S_n = u₁ – u₁ . qⁿ

⇔ (1 – q)S_n = u₁(1 – qⁿ)

⇒ S_n = \(\frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\) (với q ≠ 1).

Lời giải:

Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì cấp số nhân là u₁, u₁, ..., u₁,... Khi đó

S_n = u₁ + u₁ + ... + u₁ = n . u₁ (tổng của n số hạng u₁).

Lời giải:

Ta có: 3 năm = 12 quý (mỗi quý gồm 3 tháng).

+ Theo phương án 1:

Lương của công nhân trong quý 1 là: 5 . 3 = 15 (triệu đồng).

Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng hay 0,5 triệu đồng, do đó từ quý thứ hai trở đi, lương sẽ tăng mỗi quý là 0,5 . 3 = 1,5 (triệu đồng).

Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 15 và công sai d = 1,5. Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó sau ba năm hay 12 quý làm việc chính là tổng của 12 số hạng đầu của cấp số cộng trên và là

S₁₂ = \(\frac{{12}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {12 - 1} \right)d} \right]\) = 6(2 . 15 + 11 . 1,5) = 279 (triệu đồng).

+ Theo phương án 2:

Lương của công nhân trong quý 1 là: 5 . 3 = 15 (triệu đồng).

Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%, có nghĩa là lương mỗi tháng trong quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi tháng quý liền trước đó, tức là lương của quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi quý liền trước đó.

Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u'₁ = 15 và công bội q = 1,05. Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó sau ba năm hay 12 quý làm việc chính là tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân trên và là

S'₁₂ = \(\frac{{{{u'}_1}\left( {1 - {q^{12}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{15\left( {1 - {{\left( {1,05} \right)}^{12}}} \right)}}{{1 - 1,05}}\)≈ 238,76 (triệu đồng).

+ Vì 279 > 238,76, do đó với phương án 1 thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn.

Lời giải:

a) Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội là q = 4 : 1 = 4.

Số hạng thứ 5 là u₅ = u₁ . q^{5 – 1} = 1 . 4⁴ = 256.

Số hạng tổng quát là u_n = u₁ . q^{n – 1} = 1 . 4^{n – 1} = 4^{n – 1}.

Số hạng thứ 100 là u₁₀₀ = 4^{100 – 1} = 4⁹⁹.

b) Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội là q = \( - \frac{1}{2}:2 = - \frac{1}{4}\).

Số hạng thứ 5 là u₅ = u₁ . q^{5 – 1} = 2 . \({\left( { - \frac{1}{4}} \right)^4}\) = \(\frac{1}{{128}}\).

Số hạng tổng quát là u_n = u₁ . q^{n – 1} = 2 . \({\left( { - \frac{1}{4}} \right)^{n - 1}}\).

Số hạng thứ 100 là u₁₀₀ = 2 . \({\left( { - \frac{1}{4}} \right)^{100 - 1}}\) = \(\frac{{2.{{\left( { - 1} \right)}^{99}}}}{{{4^{99}}}} = \frac{{ - 2}}{{{2^{2.99}}}} = \frac{{ - 2}}{{{2^{198}}}} = - \frac{1}{{{2^{197}}}}\).

Lời giải:

a) +) Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 5 . 1 = 5;

u₂ = 5 . 2 = 10;

u₃ = 5 . 3 = 15;

u₄ = 5 . 4 = 20;

u₅ = 5 . 5 = 25;

+) Với mọi n ≥ 2 ta có \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{5n}}{{5\left( {n - 1} \right)}} = \frac{n}{{n - 1}} = \frac{{n - 1 + 1}}{{n - 1}} = 1 + \frac{1}{{n - 1}}\) luôn thay đổi.

Do đó, dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

b) +) Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 5¹ = 5;

u₂ = 5² = 25;

u₃ = 5³ = 125;

u₄ = 5⁴ = 625;

u₅ = 5⁵ = 3 125;

+) Với mọi n ≥ 2 ta có

\(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{5^n}}}{{{5^{n - 1}}}} = \frac{{{5^{n - 1}}.5}}{{{5^{n - 1}}}} = 5\),

tức là u_n = 5u_{n – 1} với mọi n ≥ 2.

Do đó, (u_n) là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 5, công bội q = 5 và số hạng tổng quát là u_n = u₁ . q^{n – 1} = 5 . 5^{n – 1} = 5^{1 + n – 1} = 5ⁿ.

c) +) Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 1;

u₂ = 2 . u₁ = 2 . 1 = 2;

u₃ = 3 . u₂ = 3 . 2 = 6;

u₄ = 4 . u₃ = 4 . 6 = 24;

u₅ = 5 . u₄ = 5 . 24 = 120.

+) Ta có: u_n = nu_{n – 1}, suy ra \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = n\) luôn thay đổi với mọi n ≥ 2.

Vậy dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

d) +) Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 1;

u₂ = 5 . u₁ = 5 . 1 = 5;

u₃ = 5 . u₂ = 5 . 5 = 25;

u₄ = 5 . u₃ = 5 . 25 = 125;

u₅ = 5 . u₄ = 5 . 125 = 625.

+) Ta có: u_n = 5u_{n – 1}, suy ra \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = 5\) với mọi n ≥ 2.

Vậy dãy số (u_n) là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 1, công bội q = 5 và có số hạng tổng quát u_n = u₁ . q^{n – 1} = 1 . 5^{n – 1} = 5^{n – 1}.

Lời giải:

Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu u₁ và công bội q. Khi đó theo bài ra ta có:

u₆ = u₁ . q^{6 – 1} = u₁ . q⁵ = 96 và u₃ = u₁ . q^{3 – 1} = u₁ . q² = 12.

Do đó, \(\frac{{{u_6}}}{{{u_3}}} = \frac{{{u_1}.{q^5}}}{{{u_1}.{q^2}}} = {q^3} = \frac{{96}}{{12}} = 8\) ⇒ q = 2, thay vào u₁ . q² = 12 ta được

u₁ . 2² = 12 ⇒ u₁ = 3.

Vậy số hạng thứ 50 của cấp số nhân là u₅₀ = u₁ . q^{50 – 1} = 3 . 2^{50 – 1} = 3 . 2⁴⁹.

Lời giải:

Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu u₁ = 5 và công bội q = 2.

Giả sử tổng của n số hạng đầu bằng 5 115.

Khi đó ta có: \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{5\left( {1 - {2^n}} \right)}}{{1 - 2}} = - 5\left( {1 - {2^n}} \right)\) hay – 5(1 – 2ⁿ) = 5 115

⇔ 1 – 2ⁿ = – 1 023 ⇔ 2ⁿ = 1 024 ⇔ n = 10.

Vậy để có tổng bằng 5 115 thì phải lấy tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho. 

Lời giải:

Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó, tức là giá trị của chiếc máy ủi năm sau thì bằng 80% giá trị của chiếc máy ủi so với năm liền trước đó.

Giá trị của chiếc máy ủi sau 1 năm sử dụng là 3 . 0,8 = 2,4 (tỉ đồng).

Giá trị của chiếc máy ủi sau mỗi năm sử dụng lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 2,4 và công bội q = 0,8.

Vậy giá trị còn lại của chiếc máy ủi sau 5 năm sử dụng là

u₅ = u₁ . q^{5 – 1} = 2,4 . 0,8⁴ = 0,98304 (tỉ đồng) = 983 040 000 (đồng).

Lời giải:

Giả sử dân số của quốc gia đó là N. Vì tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91% nên sau một năm, số dân tăng thêm là 0,91% . N.

Vậy dân số của quốc gia đó vào năm sau là N + 0,91% . N = 100,91% . N = 1,0091N.

Như vậy, dân số của quốc gia đó sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = N và công bội q = 1,0091.

Theo bài ra ta có: u₁ = 97 ứng với năm 2020.

Ta có: 2030 – 2020 = 10.

Dân số của quốc gia đó vào năm 2030 chính là dân số của quốc gia sau 10 năm kể từ năm 2020, ứng với u₁₁ và u₁₁ = u₁ . q^{11 – 1} = 97 . 1,0091¹⁰  ≈ 106,2 (triệu người).

Vậy nếu tốc độ tăng trưởng dân số được giữ nguyên hằng năm thì dân số của quốc gia đó vào năm 2030 xấp xỉ khoảng 106,2 triệu người.

Lời giải:

Lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau mỗi ngày dùng thuốc lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 50 và công bội q = \(\frac{1}{2}\).

Tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp chính bằng tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên và là

\({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{50\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}} \right)}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{25\,\,575}}{{256}}\) (mg).