Đáp án đúng là: B

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: \(\overrightarrow u \) = (2; −5; 3).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng nào dưới đây đi qua điểm M(6; −2; 1) và có một vectơ chỉ phương

 \(\overrightarrow u \) = (3; 1; −1) là: \(\frac{{x - 6}}{3} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu (S) có tâm I(−3; −1; 1).

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt cầu có tâm I(2; −1; −2), bán kính bằng 3 là:

(x – 2)² + (y + 1)² + (z + 2)² = 9.

Đáp án đúng là: C

Ta có: (S): x² + y² + z² – 4x + 2y + 3 = 0 với các hệ số a = 2, b = −1, c = 0 và d = 3.

Bán kính mặt cầu bằng R = \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

P(B) = P(A).P(B | A) + P(\(\overline A \)).P(B | \(\overline A \)) = \(\frac{2}{7}\).\(\frac{1}{4}\) + \(\left( {1 - \frac{2}{7}} \right)\).\(\frac{1}{5}\) = \(\frac{3}{{14}}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: P(B).P(A | B) = P(A).P(B | A)

⇒ P(B) = 0,4.0,3:0,7 = \(\frac{6}{{35}}\).

⇒ P(\(\overline B \)) = 1 – P(B) = 1 – \(\frac{6}{{35}}\) = \(\frac{{29}}{{35}}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có: F(x) = \(\int {\left( {3{x^2} + \sin x} \right)dx} \) = x² – cosx + C.

Đáp án đúng là: A

Ta có: I = \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + 2\sin x} \right]dx} \)= \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2\sin xdx} \) = 5 – \(\left. {2\cos x} \right|_0^{^{\frac{\pi }{2}}}\)

          = 5 – (2cos\(\frac{\pi }{2}\) − 2cos0) = 7.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\int\limits_1^3 {\frac{{x + 2}}{x}dx} = \int\limits_1^3 {\left[ {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)dx} \right]} = \left. {\left( {x + 2\ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^3 = 3 + 2\ln 3 - 1 + 0 = 2 + 2\ln 3\)

Do đó, a = 2, b = 2, c = 3.

Vậy tổng S = a + b + c = 7.

Đáp án đúng là: B

Thể tích khối tròn xoay là: V = \(\pi {\int\limits_0^1 {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)} ^2}dx\) = \(\frac{{4\pi }}{3}.\)

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \) = (3; −2; 2), \(\overrightarrow {{n_\beta }} \) = (5; −4; 3) lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) và (β).

\(\overrightarrow n \) = \(\left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&2\\{ - 4}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\3&5\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 2}\\5&{ - 4}\end{array}} \right|} \right)\) = (2; 1; −2) là vectơ chỉ phương của mặt phẳng chứa O và vuông góc với cả (α) và (β).

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2(x – 0) + 1(y – 0) – 2(z – 0) = 0

⇒ 2x + y – 2z = 0.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (1; −2; −2), \(\overrightarrow {AC} \) = (2; 0; −3).

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 2}\\0&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\{ - 3}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\2&0\end{array}} \right|} \right)\) = (6; 1; 4) là vectơ pháp tuyến của (ABC).

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là:

6(x – 1) + 1(y + 2) + 4(z – 3) = 0

⇔ 6x + y + 4z – 16 = 0.

Đáp án đúng là: B

Ta có: vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) = (1; 3; −2) của mặt phẳng (P) chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Vậy phương trình đường thẳng d là: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\overrightarrow {MN} \) = (2; 2; −2) = 2(1; 1; −1) chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng MN.

Phương trình tham số của đường thẳng MN là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = 1 - t.\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu đường kính AB có tâm là trung điểm của AB. Tọa độ tâm I với I là trung điểm của AB là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2 + \left( { - 2} \right)}}{2} = 0\\y = \frac{{4 + 2}}{2} = 3\\z = \frac{{1 + \left( { - 3} \right)}}{2} = - 1\end{array} \right.\)⇒ I(0; 3; −1).

Bán kính mặt cầu là: R = IA = \(\sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {4 - 3} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} \)= 3.

Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là:

 x² + (y – 3)² + (z + 1)² = 9.

Đáp án đúng là: B

n(Ω) = 8 + 6 = 14.

Xác suất để lần thứ nhất lấy được bi trắng là: \(\frac{6}{{14}}\).

Xác suất để lần thứ hai lấy được bi trắng là: \(\frac{5}{{13}}\).

Vậy xác suất để cả hai lần lấy được bi trắng là: \(\frac{6}{{14}}\).\(\frac{5}{{13}}\)= \(\frac{{15}}{{91}}\).

Đáp án đúng là: A

Xác suất lấy được viên bi đen lần thứ nhất là: \(\frac{8}{{14}}\).

Xác suất để lấy được viên bi trắng ở lần thứ hai là: \(\frac{6}{{13}}\).

Vậy xác suất để lần thứ nhất lấy được bi đen, lần thứ hai lấy được bi trắng là:

\(\frac{8}{{14}}\).\(\frac{6}{{13}}\)= \(\frac{{24}}{{91}}\).

Đáp án đúng là: D

Gọi A là biến cố: “Xạ thủ bắn trúng bia số 1”.

       B là biến cố: “Xạ thủ bắn trúng bia thứ 2”.

Ta có: P(A) = 0,8; P(B) = 0,9, P(AB) = 0,75.

Biết xạ thủ đó không bắn trúng bia thứ nhất, xác suất để xạ thủ bắn trúng bia thứ hai là:

P(B | \(\overline A \)) = \(\frac{{P\left( {B\overline A } \right)}}{{P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)}}{{1 - P\left( A \right)}} = \frac{{0,9 - 0,75}}{{1 - 0,8}} = \frac{3}{4}\).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \({e^x}\left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\) = 2e^x + \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).

Do đó, \(\int {{e^x}\left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx = \int {\left( {2{e^x} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} } \) = 2e^x + tanx + C.

Đáp án đúng là: B

Hoành độ điểm cân bằng là nghiệm của phương trình

−0,01e^x + 19 = 0,09e^x + 1

⇒ 0,1e^x = 18 ⇒ x = ln180.

Suy ra tung độ điểm cân bằng y = 0,09e^ln180 + 1 = 17,2.

Thặng dư sản xuất cho sản phẩm đã cho là:

\(\int\limits_0^{\ln 180} {\left| {17,2 - 0,09{e^x} - 1} \right|dx} \) ≈ 68,02.

Thặng dư tiêu dùng cho sản phẩm đã cho là:

\(\int\limits_0^{\ln 180} {\left| { - 0,01{e^x} + 19 - 17,2} \right|dx} \) ≈ 7,56.

Đáp án đúng là: C

Xét v(t) = 0 ⇔ −5t + 10 = 0 ⇔ t = 2.

Do vậy, kể từ lúc người lại đạp phanh thì sau 2 giây ô tô dùng hẳn.

Quãng đường ô tô đi được kể từ lúc người lái đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn là:

s = \(\int\limits_0^2 {\left( { - 5t + 10} \right)dt = \left. {\left( { - \frac{5}{2}{t^2} + 10t} \right)} \right|_0^2} \)= 10 (m).

Đáp án đúng là: B

Gọi H là hình chiếu của C trên mặt phẳng (P).

Khoảng cách từ điểm C tới mặt phẳng (P) là d(C; (P)) = CH = \(\frac{{\left| {1.1 + 2.2 - 2.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }}\) = 2.

Vùng quan sát là hình tròn tâm H bán kính HA.

Ta có tam giác AHC cân tại C có CH vuông với đáy nên \(\widehat {ACH}\) = \(\frac{1}{2}\widehat C\) = 65°.

Do đó, AH = CH.tan65°.

Vậy diện tích vùng quan sát là: π.(CH.tan65°)² ≈ 57,8.

Đáp án đúng là: A

Ta có: d₁ // d₂ nên hai đường thẳng đó xác định duy nhất một mặt phẳng (P).

Giả sử có đường thẳng d cắt cả 4 đường thẳng đã cho thì d phải thuộc (P).

Ta có d₁ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) = (1; −2; 1) và M(3; −1; −1).

           d₂ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \) = (1; −2; 1) và N(0; 0; 1).

Có \(\overrightarrow {MN} \) = (−3; 1; 2).

Vectơ pháp tuyến của (P) là: \(\overrightarrow n \) = \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {MN} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\{ - 2}&1\end{array}} \right|} \right)\) = (−5; −5; 3)

Phương trình mặt phẳng (P) là:

−5(x – 3) – 5(y + 2) + 3(z – 1) = 0

⇒ 5x + 5y – 3z – 2 = 0.

Nhận thấy d₃, d₄ luôn cắt (P) tại hai điểm A, B.

Do đó, có duy nhất 1 đường thẳng AB cắt bốn đường thẳng trên.

Đáp án đúng là: B

Ta có: P: 30°N45°E thì P(cos30°cos45°; cos30°sin45°; sin30°) ⇒ P\(\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{4};\frac{{\sqrt 6 }}{4};\frac{1}{2}} \right)\).

           Q: 60°N45°E thì Q(cos60°cos45°; cos60°sin45°; sin60°) ⇒ Q\(\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

Từ đó, cos\(\left( {\widehat {POQ}} \right)\) = \(\frac{{\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {OQ} }}{{\left| {\overrightarrow {OP} } \right|.\left| {\overrightarrow {OQ} } \right|}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) ⇒ \(\widehat {POQ}\) = 30°.

Khoảng cách trên mặt đất từ P tới Q là:

\(\frac{{30.2\pi }}{{360}}.6371\) ≈ 3 335,8478 km.

Đáp số đúng là: B

Gọi A là biến cố: “Lấy từ chuồng I ra được thỏ trắng”.

       B là biến cố: “Lấy từ chuồng II ra được thỏ trắng”.

Ta có: P(A) = \(\frac{{10}}{{16}}\); P(\(\overline A \)) = \(\frac{6}{{16}}\).

           P(B | A) = \(\frac{5}{{13}}\); P(B | \(\overline A \)) = \(\frac{4}{{13}}\).

Vậy P(B) = P(A).P(B | A) + P(\(\overline A \)).P(B | \(\overline A \)) = \(\frac{{10}}{{16}}\).\(\frac{5}{{13}}\) + \(\frac{6}{{16}}\).\(\frac{4}{{13}}\) = \(\frac{{37}}{{104}}\).

Đáp án đúng là: C

Gọi M là biến cố: “Người đó mắc bệnh”;

       D là biến cố: “Người đó có xét nghiệm dương tính”.

Ta có: P(M) = 0,01% = 0,0001 ⇒ P(\(\overline M \)) = 1 – 0,0001 = 0,9999.

Trong số những người không mắc bệnh nhưng có 5% số người có xét nghiệm dương tính nên P(D | \(\overline M \)) = 5% = 0,05.

Nếu một người mắc bệnh thì xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính là 90% nên

P(M | D) = 90% = 0,9.

Khi một người xét nghiệm có kết quả dương tính thì khả năng mắc bệnh của người đó là P(D | M). áp dụng ông thức Bayes, ta có:

P(M | D) = \(\frac{{P\left( M \right).P\left( {D|M} \right)}}{{P\left( M \right).P\left( {D|M} \right) + P\left( {\overline M } \right).P\left( {D|\overline M } \right)}}\) = \(\frac{{0,0001.0,9}}{{0,0001.0,9 + 0,9999.0,05}}\) = 0,1797%.

Đáp án đúng là: B

Gọi A là biến cố: “Vận động viên được chọn đội I”.

       B là biến cố: “Vận động viên đạt huy chương vàng”.

Ta có: P(A) = \(\frac{6}{{14}} = \frac{3}{7}\); P(\(\overline A \)) = 1 – P(A) = \(\frac{4}{7}\);

         P(B | A) = 0,65; P(B | \(\overline A \)) = 0,55.

Xác suất để vận động viên được chọn thuộc đội I khi vận động viên ấy đạt huy chương vàng được tính theo công thức Bayes là:

P(A | B) = \(\frac{{P\left( A \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {A|\overline A } \right)}}\) = \(\frac{{\frac{3}{7}.0,65}}{{\frac{3}{7}.0,65 + \frac{4}{7}0,55}} = \frac{{39}}{{83}}\).

Chọn hệ trục Oxy sao cho A(−1,1; 0), B(1,1; 0), khi đó, ta có:C(1,1; 4), D(−1,1; 4),

E(0; 5,5).

Phương trình của parabol có dạng (P): y = ax² + bx + c.

Do (P) đi qua C, D, E nên ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}1,{1^2}a + 1,1b + c = 4\\{\left( { - 1,1} \right)^2}a - 1,1b + c = 4\\{0^2}a + 0b + c = 5,5\end{array} \right.\) ⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{150}}{{121}}\\b = 0\\c = 5,5\end{array} \right.\).

Suy ra phương trình (P) có dạng y = \( - \frac{{150}}{{121}}\)x² + 5,5.

Diện tích của cánh cửa gỗ là:

AB.AD + \(\int\limits_{ - 1,1}^{1,1} {\left| { - \frac{{150}}{{121}}{x^2} + 5,5} \right|dx} \)

= 2,2.4 + \(\int\limits_{ - 1,1}^{1,1} {\left| { - \frac{{150}}{{121}}{x^2} + 5,5} \right|dx} \) = 19,8 (m²)

Vậy chi phí sản xuất cánh cửa gỗ đã cho là: 19,8.30 = 594 (triệu đồng).

Ta có: \(\overrightarrow u \) = (1; 2; −2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

            \(\overrightarrow n \) = (2; −1; 1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Do đó, sin(d, (P)) = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right|\) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {1.2 + 2.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }}\) = \(\frac{2}{{3\sqrt 6 }}\).

⇒ (d,(P)) ≈ 15,79°.

Gọi A là biến cố: “Bạn Sơn lấy được chiếc bút bi xanh”;

       B là biến cố: “Bạn Tùng lấy được chiếc bút bi đỏ”.

Vì n(A) = 10 nên P(A) = \(\frac{{10}}{{16}}\) = \(\frac{5}{8}\).

Nếu A xảy ra tức là Sơn lấy được chiếc bút bi xanh thì hộp còn lại 9 chiếc bút bi xanh và 6 chiếc bút bi đỏ.

Do đó, P(B | A) = \(\frac{6}{{15}}\).

Theo công thức nhân xác suất:

P(AB) = P(A).P(B | A) = \(\frac{5}{8}\).\(\frac{6}{{15}}\) = \(\frac{1}{4}\).

Vậy xác suất bạn Sơn lấy được chiếc bút bi xanh và Tùng lấy được chiếc bút bi đỏ là \(\frac{1}{4}\).