Giải SBT Toán 11 KNTT Bài tập cuối chương 2 có đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có u₁ = 1;

u₂ = u₁ + 1 = 1 + 1 = 2;

u₃ = u₂ + 2 = 2 + 2 = 4;

u₄ = u₃ + 3 = 4 + 3 = 7.

Đáp án đúng là: D

Xét từng đáp án, ta thấy dãy số ở đáp án D là dãy số bị chặn. Thật vậy:

Ta có $u_n=\frac{2-n}{n+1}=\frac{-\left(n+1\right)+3}{n+1}=-1+\frac{3}{n+1}$.

Vì n > 0 nên $\frac{3}{n+1}>0$. Suy ra $-1+\frac{3}{n+1}>-1$.

Vì n ≥ 1 nên n + 1 ≥ 2 $\Rightarrow \frac{3}{n+1}\le \frac{3}{2}\Rightarrow -1+\frac{3}{n+1}\le \frac{1}{2}$.

Vậy $-1<u_n\le \frac{1}{2}$ nên dãy số này bị chặn.

Đáp án đúng là: B

Xét từng đáp án, ta thấy dãy số ở đáp án B là dãy số tăng. Thật vậy:

Ta có u_{n + 1} – u_n = [(n + 1)² – (n + 1) + 1] – (n² – n + 1)

                   = n² + 2n + 1 – n – 1 + 1 – n² + n – 1 = 2n > 0 với mọi n ≥ 1.

Tức là u_{n + 1} > u_n với mọi n ≥ 1. Vậy đây là dãy số tăng.

Đáp án đúng là: C

Ta có dãy số (u_n) với u_n = 3n là cấp số cộng.

Thật vậy, u_{n + 1} – u_n = 3(n + 1) – 3n = 3 không đổi với mọi n.

Vậy dãy số này là cấp số cộng với công sai d = 3.

Đáp án đúng là: B

Ta có u₉ = u₁ + 8d = – 2 + 8d = 22. Suy ra d = 3.

Vậy tổng 50 số hạng đầu của cấp số cộng này là

$S_{50}=\frac{50}{2}\left[2.\left(-2\right)+\left(50-1\right).3\right]=3575$.

Đáp án đúng là: C

Ta có dãy số (u_n) với u_n = 2ⁿ là cấp số nhân.

Thật vậy, $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^{n+1}}{2^n}=2$ không đổi với mọi n.

Vậy dãy số này là cấp số nhân với công bội q = 2.

Đáp án đúng là: D

Ta có $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^n}$. Nhận thấy các số hạng trong tổng này lập thành một cấp số nhân gồm n + 1 số hạng với số hạng đầu u₁ = 1 và công bội $q=\frac{1}{2}$.

Do đó $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^n}=u_1.\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=1.\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}=2-\frac{1}{2^n}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có 100 triệu đồng = 100 000 000 đồng.

3 năm tương ứng với 6 kì lãi.

Vậy sau ba năm, số tiền trong tài khoản tiết kiệm của ông Trung là

S = 100 000 000 . (1 + 8%)⁶ ≈ 158 687 432 (đồng).

Xét các đáp án ta thấy 158 687 432 đồng gần nhất với 158 687 000 đồng.

Đáp án đúng là: A

Du khách đó lần đầu tiên đặt 20 000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi tiền đặt lần trước.

Khi đó, số tiền đặt cược của du khách ở mỗi lần khác nhau lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là u₁ = 20 000 và công bội q = 2.

Người đó thua 9 lần liên tiếp nên tổng số tiền người đó đã bỏ ra và mất trong 9 lần đầu là:$S_9=u_1\frac{1-q^9}{1-q}=20000.\frac{1-2^9}{1-2}=10220000$ (đồng).

Số tiền người đó bỏ ra ở lần thứ 10 là:

u₁₀ = u₁ . q^{10 – 1} = 20 000 . 2^{10 – 1} = 10 240 000 (đồng).

Vì người du khách đó thắng ở lần thứ 10. Người đó nhận bỏ ra và nhận lại gấp đôi, nghĩa là người đó lãi được: 10 240 000 (đồng).

Vậy thì sau 10 lần chơi, người đó đã thắng 20 000 đồng.

Đáp án đúng là: D

Gọi số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của cấp số cộng này là u₂, u₉, u₄₄. Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u₁ và công sai là d. Khi đó ta có:

u₂ = u₁ + d;

u₉ = u₁ + 8d = (u₁ + d) + 7d = u₂ + 7d;

 u₄₄ = u₁ + 43d = (u₁ + d) + 42d = u₂ + 42d.

Vì 3 số này là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên ta có: 

$u_2{u}_{44}=u_9^2$ hay u₂(u₂ + 42d) = (u₂ + 7d)².

Và tổng của 3 số đó là 217 nên u₂ + u₉ + u₄₄ = u₂ + u₂ + 7d + u₂ + 42d = 3u₂ + 49d = 217.

Vậy ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}{u}_2\left(u_2+42d\right)={\left(u_2+7d\right)}^2\\ 3u_2+49d=217\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_2=7\\ d=4\end{array}\right.$.

Do đó u₁ = u₂ – d = 7 – 4 = 3.

Gọi n số hạng đầu của cấp số cộng có tổng là 210.

Khi đó $S_n=\frac{n}{2}\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]$ hay $210=\frac{n}{2}\left[2.3+\left(n-1\right).4\right]$ ⇔ 210 = n(2n + 1)

⇔ 2n² + n – 210 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}n=10\\ n=-\frac{21}{2}\end{array}\right.$.

Vì n nguyên dương nên n = 10. Vậy phải lấy 10 số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 210.

a) Từ hệ thức truy hồi ta có u₁ = 2; u₂ = u₁ + 1 = 2 + 1 = 3; u₃ = u₂ + 2 = 3 + 2 = 5.

Ta có 3 – 2 = 1; 5 – 3 = 2 nên u₂ – u₁ ≠ u₃ – u₂ và $\frac{3}{2}\ne \frac{5}{3}$ nên $\frac{u_2}{u_1}\ne \frac{u_3}{u_2}$.

Do vậy, dãy số đã cho không là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân.

b) Từ u_n = 6n + 3, suy ra u_{n + 1} = 6(n + 1) + 3 = 6n + 9.

Ta có u_{n + 1} = (6n + 9) – (6n + 3) = 6 không đổi với mọi n ≥ 1.

Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d = 6.

c) Từ hệ thức truy hồi ta có u₁ = 1; u₂ = 1; u₃ = 2 . u₂ = 2.

Từ đó suy ra u₂ – u₁ ≠ u₃ – u₂ và $\frac{u_2}{u_1}\ne \frac{u_3}{u_2}$.

Vậy dãy số đã cho không là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân.

d) Từ u_n = 3 . 5ⁿ suy ra u_{n + 1} = 3 . 5^{n + 1} = 3 . 5 . 5ⁿ.

Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{{\mathrm{3.5.5}}^n}{{3.5}^n}=5$ không đổi với mọi n ≥ 1.

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 5.

a) Theo giả thiết, ta giả sử dãy số (a_n) là cấp số cộng với công sai d₁ và dãy số (b_n) là cấp số cộng với công sai d₂ nên ta có:

a_{n + 1} = a_n + d₁ và b_{n + 1}  = b_n + d₂ với mọi n ≥ 1.

Khi đó a_{n + 1} + b_{n + 1} = (a_n + d₁) + (b_n + d₂) = (a_n + b_n) + d₁ + d₂ với mọi n ≥ 1.

Vậy dãy số (a_n + b_n) là cấp số cộng với công sai d₁ + d₂.

b) Theo giả thiết, ta giả sử dãy số (a_n) là cấp số nhân với công bội q₁ và dãy số (b_n) là cấp số nhân với công bội q₂ nên ta có:

q_{n + 1} = a_nq₁ và b_{n + 1}  = b_nq₂ với mọi n ≥ 1.

Khi đó a_{n + 1}b_{n + 1} = (a_nq₁) . (b_nq₂) = (a_nb_n)q₁q₂ với mọi n ≥ 1.

Vậy dãy số (a_nb_n) là cấp số nhân với công bội q₁q₂.

a) Giả sử u_n (kg) là khối lượng của con chó vào cuối tuần tuổi thứ n.

Ta có u₁ = 0,4; u₂ = u₁ + u₁24% = u₁(1 + 0,24) = 1,24u₁;

u₃ = u₂ + u₂24% = u₂(1 + 0,24) = u₁(1 + 0,24)(1 + 0,24) = u₁(1 + 0,24)².

Cứ tiếp tục làm tương tự, ta dự đoán được công thức u_n = u₁(1 + 0,24)^{n – 1} với mọi n ≥ 1.

b) Sau sáu tuần tuổi thì con chó nặng là

u₆ = u₁(1 + 0,24)^{6 – 1} = 0,4 . (1,24)⁵ ≈ 1,173 (kg).

Gọi T_n là số phút mà bác Hưng bơi vào ngày thứ n của chương trình.

a) Do bác bắt đầu bằng cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút mỗi ngày sau đó nên ta có hệ thức truy hồi sau T₁ = 10, T_{n + 1} = T_n + 2 ∀ n ≥ 1.

b) Sáu số hạng đầu của dãy số là

T₁ = 10;

T₂ = T₁ + 2 = 10 + 2 = 12;

T₃ = T₂ + 2 = 12 + 2 = 14:

T₄ = T₃ + 2 = 14 + 2 = 16;

T₅ = T₄ + 2 = 16 + 2 = 18;

T₆ = T₅ + 2 = 18 + 2 = 20.

c) Từ công thức truy hồi T_{n + 1} = T_n + 2 suy ra T_{n + 1} – T_n = 2 không đổi ∀ n ≥ 1.

Do đó, dãy số (T_n) là cấp số cộng có số hạng đầu T₁ = 10 và công sai d = 2.

Suy ra, công thức tổng quát của dãy số là

T_n = T₁ + (n − 1)d = 10 + (n – 1).2 = 8 + 2n   ∀ n ≥ 1.

d) Ta có T_n ≥ 60 ⇔ 8 + 2n ≥ 60 ⇔ n ≥ 26.

Vậy bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ 26 của chương trình.

e) Tổng thời gian bác Hưng bơi trong 30 ngày đầu của chương trình là

$S_{30}=\frac{30}{2}\left[2.10+\left(30-1\right).2\right]$ = 1 170 (phút).

a) Công thức số hạng thứ n của dãy các số chính phương đã cho là n² ∀ n ≥ 1.

Tám số hạng đầu của cấp số cộng (u_n) được mô tả là

u₁ = 4 – 1 = 3; u₂ = 9 – 4 = 5; u₃ = 16 – 9 = 7; u₄ = 25 – 16 = 9;

u₅ = 36 – 25 = 11; u₆ = 49 – 36 = 13; u₇ = 64 – 49 = 15; u₈ = 81 – 64 = 17.

Theo giả thiết chúng ta xét hiệu của hai số hạng liên tiếp, do đó số hạng thứ n của cấp số cộng này là hiệu của số hạng thứ n + 1 và số hạng thứ n của dãy các số chính phương nên

u_n = (n + 1)² – n² = 2n + 1 ∀ n ≥ 1.

Ta chứng minh được dãy số (u_n) là cấp số cộng với công sai d = 2.

b) Xét dãy các số lập phương, với ba số hạng liên tiếp ta lấy số đầu cộng với số thứ ba trừ đi 2 lần số thứ hai ta thu được một cấp số cộng.

c) Bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong câu b là 12; 18; 24; 30; 36, 42, 48,

u₁ = 1 + 27 – 2 . 8 = 12;

u₂ = 8 + 64 – 2 . 27 = 18;

u₃ = 27 + 125 – 2 . 64 = 24;

u₄ = 64 + 216 – 2 . 125 = 30;

u₅ = 125 + 343 – 2 . 216 = 36;

u₆ = 216 + 512 – 2 . 343 = 42;

u₇ = 343 + 729 – 2 . 512 = 48.

Công thức số hạng thứ n của cấp số cộng này là

u_n = n³ + (n + 2)³ – 2(n + 1)³ = 6n + 6    ∀ n ≥ 1.

Gọi x, y lần lượt là số thứ nhất và số thứ ba trong ba số đó.

Vì ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên số thứ hai là $\frac{x+y}{2}$.

Khi đó, ba số cần tìm có dạng: x, $\frac{x+y}{2}$, y.

Vì ba số này lập thành một cấp số nhân nên ta có

$xy={\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2$⇔ 4xy = x² + 2xy + y² ⇔ x² – 2xy + y² = 0 ⇔ (x − y)² = 0, tức là x = y.

Suy ra $\frac{x+y}{2}=\frac{x+x}{2}=\frac{2x}{2}=x$.

Vậy ba số đó bằng nhau.

Ta tính tổng tiền lương của anh Nam theo từng phương án:

- Phương án 1: Mỗi năm ngoài mức lương cố định như trên, sẽ được thưởng thêm 50 triệu đồng thì sau 5 năm tổng số tiền lương của anh Nam là

5 . 300 + 5 . 50 = 1 750 (triệu đồng).

- Phương án 2: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 10% so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai thì sau 5 năm tổng số tiền lương của anh Nam là

300 + 300 . (1 + 10%) + 300 . (1 + 10%)² + 300 . (1 + 10%)³ + 300 . (1 + 10%)⁴

= 1 831,53 (triệu đồng).

- Phương án 3: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 30 triệu so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai thì sau 5 năm tổng số tiền lương của anh Nam là

300 + 330 + 360 + 390 + 420 = 1 800 (triệu đồng).

Vậy anh Nam nên sử dụng phương án 2 để nhận được tổng lương sau 5 năm là cao nhất.

a) Ta viết lần lượt các số hạng của dãy:

u₁ = a;

u₂ = qu₁ + d;

u₃ = qu₂ + d = q(qu₁ + d) + d = q²u₁ + qd + d = q²u₁+ d(q + 1);

u₄ = qu₃ + d = q(q²u₁ + qd + d) + d = q³u₁ + q²d + qd + d

= q³u₁ + d(q² + q + 1) = q³u₁ + d $\frac{1-q^3}{1-q}$     (với q ≠ 1).

Làm tương tự ta được công thức số hạng tổng quát u_n:

u_n = q^{n – 1}u₁ + d(q^{n – 2} + q^{n – 3} + ... + 1) = q^{n – 1}u₁ + d$\frac{1-q^{n-1}}{1-q}$.

b) Ta viết tổng n số hạng đầu như sau

S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n

= u­₁ + (qu₁ + d) + (qu₂ + d) + ... + (qu_{n – 1} + d)

= u₁ + q(u₁ + u₂ + ... + u_{n – 1}) + (n – 1)d

= u₁ + qS_{n – 1} + (n – 1)d

= qS_{n – 1} + a + (n – 1)d               (vì u₁ = a).

Như vậy, ta được (S_n) cũng là một cấp số nhân cộng với S₁ = u₁ = a.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát vừa tìm được ở câu a để tính S_n ta có

$S_n=q^{n-1}{S}_1+\left[a+\left(n-1\right)d\right]\frac{1-q^{n-1}}{1-q}=q^{n-1}a+\left[a+\left(n-1\right)d\right]\frac{1-q^{n-1}}{1-q}$.

Vậy $S_n=q^{n-1}a+\left[a+\left(n-1\right)d\right]\frac{1-q^{n-1}}{1-q}$.