Giải SBT Toán 11 Cánh Diều Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit có đáp án

Đáp án đúng là: B

Tập xác định của hàm số mũ y = a^x (a > 0, a ≠ 1) là ℝ.

Ta thấy: a = 0,2 > 0 và a = 0,2 ≠ 1 nên tập xác định của hàm số y = 0,2^{x – 1} là ℝ.

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định:  $2x+1>0\iff x>-\frac{1}{2}.$

Suy ra tập xác định của hàm số y = log₃(2x + 1) là  $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right).$

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: x² > 0 ⇔ x ≠ 0.

Suy ra tập xác định của hàm số y = log₅(x²) là ℝ \ {0}.

Đáp án đúng là: B

Tập xác định của hàm số y = log₅x là (0; +∞).

Tập xác định của hàm số  $y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$ là ℝ.

Tập xác định của hàm số y = ln(x² – 1) là (–∞; –1) ∪ (1; +∞).

Tập xác định của hàm số  $y=2^{\frac{1}{x}}$ là ℝ \ {0}.

Đáp án đúng là: B

Cả 4 đáp án đều có tập xác định: D = ℝ.

Do  $0<\frac{1}{5}<1$ nên hàm số  $y={\left(\frac{1}{5}\right)}^x$ nghịch biến trên ℝ hay hàm số  $y={\left(\frac{1}{5}\right)}^x$ nghịch biến trên tập xác định của nó.

Đáp án đúng là: D

Cả 4 đáp án đều có tập xác định: D = (0; +∞).

Do e > 1 nên hàm số y = lnx đồng biến trên D = (0; +∞) hay hàm số y = lnx đồng biến trên tập xác định của nó.

Đáp án đúng là: B

Để hàm số y = log_2a+3 x đồng biến trên khoảng (0; +∞) thì 2a + 3 > 1 ⇔ a > –1.

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = 4^x là hàm số mũ có a = 4 > 1 nên hàm số đồng biến trên ℝ. Do đó đồ thị ở phương án B và C là sai.

Thay x = 1 vào hàm số y = 4^x ta được y = 4¹ = 4, do đó đồ thị luôn đi qua điểm (1; 4). Do đó đồ thị ở phương án A là sai, đồ thị ở phương án D là đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

a) Xét hàm số:  $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$ có  $\sqrt{2}>1$ nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số  $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$ là một đường cong liền nét đi qua các điểm  $\left(-2;\frac{1}{2}\right),$ (0; 1), (2; 2), ( ; 4) (hình vẽ dưới đây).

b) Xét hàm số:  $y={\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^x$ có  $\frac{1}{\sqrt{2}}<1$ nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số  $y={\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^x$ là một đường cong liền nét đi qua các điểm  $\left(2;\frac{1}{2}\right)$, (0; 1), (–2; 2), (–4; 4) (hình vẽ dưới đây).

c) Xét hàm số:  $y={\log }_{\sqrt{3}}x$ có $\sqrt{3}>1$  nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số  $y={\log }_{\sqrt{3}}x$ là một đường cong liền nét đi qua các điểm  $\left(\frac{1}{3};-2\right)$, (1; 0), (3; 2), (9; 4) (hình vẽ dưới đây).

d) Xét hàm số:  $y=-{\log }_{2}x={\log }_{2^{-2}}x={\log }_{\frac{1}{2}}x$ có  $0<\frac{1}{2}<1$ nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số y = –log₂x là một đường cong liền nét đi qua các điểm  $\left(\frac{1}{2};1\right)$, (1; 0), (2; –1), (4; –2) (hình vẽ dưới đây).

Xét hàm số: y = (0,5)^x có 0 < 0,5 < 1 nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số y = (0,5)^x là một đường cong liền nét đi qua các điểm (–2; 4), (–1; 2), (0; 1),  $\left(1;\frac{1}{2}\right)$ (hình vẽ dưới đây).

Dựa vào đồ thị hàm số trên ta thấy:

a) Đồ thị hàm số y = (0,5)^x nằm ở phía trên đường thẳng y = 1 khi x < 0.

b) Đồ thị hàm số y = (0,5)^x nằm ở phía trên đường thẳng y = 4 khi x < –2.

c) Đồ thị hàm số y = (0,5)^x nằm ở phía dưới đường thẳng  $y=\frac{1}{2}$ khi x > 1.

Xét hàm số: y = log₃x có 3 > 1 nên ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số y = log₃x là một đường cong liền nét đi qua các điểm  $\left(\frac{1}{3};-1\right)$, (1; 0), (3; 1), (9; 2) (hình vẽ dưới đây).

Dựa vào đồ thị hàm số trên ta thấy:

a) Đồ thị hàm số y = log₃x nằm ở phía trên đường thẳng y = 1 khi x > 3.

b) Đồ thị hàm số y = log₃x nằm ở phía dưới trục hoành (y = 0) khi x < 1.

Để hàm số y = log₃(4x² – 4x + m) xác định trên ℝ thì 4x² – 4x + m > 0, ∀x ∈ ℝ.

Đặt f(x) = 4x² – 4x + m

Có ∆’ = (−2)² – 4.m = 4 – 4m.

Để f(x) > 0, ∀x ∈ ℝ thì ∆’ < 0, ∀x ∈ ℝ ⟺ 4 – 4m < 0 ⟺ m > 1.

Vậy m > 1 thì hàm số y = log₃(4x² – 4x + m) xác định trên ℝ.

a) Xét $f\left(x\right)=\frac{9^x}{9^x+3}.$
Ta có: $f\left(a\right)=\frac{9^a}{9^a+3}.$
Do a + b = 1 nên b = 1 – a.
Suy ra:  $f\left(b\right)=f\left(1-a\right)=\frac{9^{1-a}}{9^{1-a}+3}=\frac{\frac{9}{9^a}}{\frac{9}{9^a}+3}$
 $=\frac{\frac{9}{9^a}}{\frac{9+9^a\cdot 3}{9^a}}=\frac{9}{9+9^a\cdot 3}=\frac{3}{3+9^a}.$
Từ đó ta có:  $f\left(a\right)+f\left(b\right)=\frac{9^a}{9^a+3}+\frac{3}{9^a+3}=\frac{9^a+3}{9^a+3}=1.$
b) Ta thấy: $\frac{1}{2023}+\frac{2022}{2023}=1;$$\frac{2}{2023}+\frac{2021}{2023}=1;$...;$\frac{1011}{2023}+\frac{1012}{2023}=1.$
Nên theo câu a, ta có: 
 $f\left(\frac{1}{2023}\right)+f\left(\frac{2022}{2023}\right)=1;$
 $f\left(\frac{2}{2023}\right)+f\left(\frac{2021}{2023}\right)=1;$

...;

$f\left(\frac{1011}{2023}\right)+f\left(\frac{1012}{2023}\right)=1.$
Suy ra: 
 $S=f\left(\frac{1}{2023}\right)+f\left(\frac{2}{2023}\right)+\mathrm{...}+f\left(\frac{2022}{2023}\right)$$=\left[f\left(\frac{1}{2023}\right)+f\left(\frac{2022}{2023}\right)\right]+\left[f\left(\frac{2}{2023}\right)+f\left(\frac{2021}{2023}\right)\right]+\mathrm{...}$
 $\mathrm{...}+\left[f\left(\frac{1011}{2023}\right)+f\left(\frac{1012}{2023}\right)\right]$  (có 1 011 nhóm)
= 1 + 1 + … + 1 (có 1 011 số hạng 1)
= 1 011.

a) Chu kì bán rã của ${}_6{}^{14}C$ là T = 5 730 (năm).

Cứ sau 5 730 năm thì số nguyên tử  ${}_6{}^{14}C$ giảm đi một nửa hay sau 5 730 năm, khối lượng của  ${}_6{}^{14}C$ giảm đi một nửa.

Suy ra khối lượng của  ${}_6{}^{14}C$ còn lại sau t năm là:  $m\left(t\right)=m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{5730}}.$

b) Từ công thức:  $m\left(t\right)=m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{5730}},$ suy ra tỉ lệ phần trăm lượng  ${}_6{}^{14}C$ còn lại trong mẫu gỗ cổ đó (t = 2 000) so với lúc còn sinh trưởng là: $\frac{m\left(t\right)}{m_0}\cdot 100\%=\frac{m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{5730}}}{m_0}\cdot 100\%$

$={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{5730}}\cdot 100\%={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{2000}{5730}}\cdot 100\%\approx 78,5\%.$

Vì tai người có thể nghe được âm có cường độ âm từ 10^–12 W/m² đến 10 W/m² nên ta có: ${10}^{-12}\le I\le 10\Rightarrow \frac{{10}^{-12}}{{10}^{-12}}\le \frac{I}{{10}^{-12}}\le \frac{10}{{10}^{-12}}$ 

$\iff \mathrm{l}\le \frac{I}{{10}^{-12}}\le {10}^{13}$

$\Rightarrow \log 1\le \log \frac{I}{{10}^{-12}}\le \log {10}^{13}$

$\iff 0\le 10\log \frac{I}{{10}^{-12}}\le 10\cdot 13$

$\iff 0\le L\le 130.$

Vậy mức cường độ âm mà tai người có thể nghe được 0 (dB) đến 130 (dB).