ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Tích có hướng và ứng dụng
20 câu hỏi
Cho hai véc tơ u1→=x1;y1;z1 và u2→=x2;y2;z2. Kí hiệu u→=u1→,u2→,khi đó:
u→=y2y1z2z1;z2z1x2x1;x2x1y2y1
u→=x1x2y1y2;y1y2z1z2;z1z2x1x2
u→=y1y2z1z2;z1z2x1x2;x1x2y1y2
u→=z1z2x1x2;x1x2y1y2;y1y2z1z2
Công thức xác định tọa độ tích có hướng
u1→,u2→=y1y2z1z2;z1z2x1x2;x1x2y1y2
=y1z2−y2z1;z1x2−z2x1;x1y2−x2y1
Đáp án cần chọn là: C
Cho hai véc tơ u1→,u2→ ,khi đó:
u1→,u2→=u2→,u1→
u1→,u2→=−u2→,u1→
u1→,u2→−u2→,u1→=0→
u1→,u2→+u2→,u1→=0
Ta có:u1→;u2→=−u2→;u1→
Đáp án cần chọn là: B
Điều kiện để hai véc tơ u1→,u2→ cùng phương là:
u1→.u2→=0
u1→.u2→=0→
u1→,u2→=0→
u1→,u2→=0
Ta có:u1→;u2→=0→⇔u1→ cùng phương u2→
Đáp án cần chọn là: C
Cho hai véc tơ u1→,u2→, chọn kết luận sai:
u1→;u2→.u1→=0
u1→;u2→.u2→=0→
u1→;u2→.u2→=0
u1→;u2→⊥u1→
Vì tích có hướng của hai véc tơ vuông góc với cả hai véc tơ đó nên:
u1→;u2→⊥u1→⇒u1→;u2→.u1→=0u1→;u2→⊥u2→⇒u1→;u2→.u2→=0
Do đó các đáp án A, C, D đúng.
Đáp án cần chọn là: B
Cho hai véc tơ u1→,u2→, kí hiệu u1→,u2→ là góc hợp bởi hai véc tơ. Chọn mệnh đề đúng:
u1→;u2→=u1→.u2→sinu1→,u2→
u1→;u2→=u1→.u2→cosu1→,u2→
u1→;u2→=u1→.u2→sinu1→,u2→
u1→;u2→=u1→.u2→sinu1→,u2→
Ta có:u1→;u2→=u1→.u2→sinu1→,u2→
Đáp án cần chọn là: A
Cho A,B,C là ba đỉnh của tam giác. Công thức tính diện tích tam giác ABC là:
SABC=AB→,AC→
SABC=12AB→,AC→
SABC=14AB→,AC→
SABC=16AB→,AC→
Tam giác ABC có SABC=12AB→,AC→
Đáp án cần chọn là: B
Diện tích hình bình hành ABCD được tính theo công thức:
SABCD=AB→,AD→
SABCD=12AB→,AD→
SABCD=2AB→,AD→
SABCD=4AB→,AD→
Công thức tính diện tích hình bình hànhSABCD=AB→,AD→
Đáp án cần chọn là: A
Thể tích khối tứ diện được tính theo công thức:
VABCD=13AB→,AC→.AD→
VABCD=16AB→,AD→.AD→
VABCD=16AB→,AC→.AD→
VABCD=16AB→,AD→.AB→
Công thức tính thể tích tứ diện ABCD làVABCD=16AB→,AC→.AD→
Đáp án cần chọn là: C
Công thức tính thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' là:
VABCD.A'B'C'D'=AB→,AD→.AA'→
VABCD.A'B'C'D'=16AB→,AD→.AA'→
VABCD.A'B'C'D'=AB→,AD→.AA'→
VABCD.A'B'C'D'=13AB→,AD→.AA'→
Khối hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích VABCD.A'B'C'D'=AB→,AD→.AA'→
Đáp án cần chọn là: C
Tính tích có hướng của hai véc tơ u→0;1;−1,v→1;−1;−1.
0→
(−2;−1;−1)
(2;1;1)
(−1;−2;−1)
Ta có:
u→,v→=1−1−1−1;−1−101;011−1
=−1−1;−1−0;0−1=−2;−1;−1
Đáp án cần chọn là: B
Hai véc tơ u→=a;1;b,v→=−2;2;c cùng phương thì:
b=2c
c=2b
b=−2c
b=c
Ta có:u→=kv→⇔a=−2k1=2kb=kc⇔k=12a=−1b=12c⇒c=2b
Đáp án cần chọn là: B
Cho ba véc tơ u1→,u2→,u3→ thỏa mãn u1→;u2→.u3→=0⇔. Khi đó ba véc tơ đó
đồng phẳng
đôi một vuông góc
cùng phương
cùng hướng
u1→;u2→.u3→=0⇔ba véc tơu1→,u2→,u3→ đồng phẳng.
Đáp án cần chọn là: A
Sin của góc giữa hai véc tơ u1→,u2→ là:
sinu1→,u2→=u1→;u2→u1→.u2→
sinu1→,u2→=u1→;u2→u1→.u2→
sinu1→,u2→=u1→.u2→u1→.u2→
sinu1→,u2→=u1→.u2→u1→.u2→
Ta có:
u1→;u2→=u1→.u2→sinu1→,u2→⇒sinu1→,u2→=u1→;u2→u1→.u2→
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(0;−2;3),B(1;0;−1). Tính sin góc hợp bởi hai véc tơ OA→,OB→.
1
1926
12
1726
Ta có:
OA→=0;−2;3⇒OA→=02+−22+32=13OB→=1;0;−1⇒OB→=12+02+−12=2
Suy ra
OA→,OB→=−203−1;3−101;01−20=2;3;2
⇒OA→,OB→=22+32+22=17
Do đó sinOA→,OB→=OA→,OB→OA→.OB→=1713.2=1726
Đáp án cần chọn là: D
Diện tích tam giác OBC biết B(1;0;2),C(−2;0;0) là:
5
4
25
2
Ta có:OB→=1;0;2,OC→=−2;0;0
⇒OB→,OC→=0020;201−2;1−200=0;−4;0
Do đóSOBC=12OB→,OC→=120+−42+02=2
Đáp án cần chọn là: D
Công thức nào sau đây không sử dụng để tính diện tích hình bình hàn ABCDABCD?
SABCD=AB→,AD→
SABCD=AB→,AC→
SABCD=BC→,BD→
SABCD=AC→,BD→
Diện tích hình bình hành SABCD=AB→,AD→=AB→,AC→=BC→,BD→
Hai công thức sau có được từ việc suy luận diện tích hình bình hành ABCD bằng hai lần diện tích tam giác ABC hoặc tam giác DCB.
Chỉ có đáp án D là công thức sai.
Đáp án cần chọn là: D
Diện tích hình bình hành ABCD có các điểm A(1;0;0),B(0;1;2),C(−1;0;0) là:
5
25
26
22
Ta có: AB→=−1;1;2,AC→=−2;0;0
⇒AB→,AC→=1020;20−1−2;−1−210=0;−4;2
Do đó diện tích hình bình hành SABCD là:
SABCD=AB→,AC→=02+−42+22=25
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian tọa độ Oxyz, tính thể tích khối tứ diện OBCD biết B(2;0;0),C(0;1;0),D(0;0;−3).
1
6
3
2
Ta có:OB→=2;0;0,OC→=0;1;0,OD→=0;0;−3
Do đó OB→,OC→=0100;0020;2001=0;0;2
Suy raVOBCD=16OB→,OC→.OD→=160.0+0.0+2.−3=1
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, véctơ nào dưới đây vuông góc với cả hai véctơ u→=−1;0;2,v→=4;0;−1?
w→=1;7;1.
w→=−1;7;−1.
w→=0;7;1.
w→=0;−1;0.
Ta có:u→;v→=0;7;0
Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có vectơw→=0;−1;0
cùng phương vớiu→;v→
Vậy w→=0;−1;0 vuông góc với cả hai véctơu→=−1;0;2,v→=4;0;−1
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;2), B(2;−1;3). Số điểm M thuộc trục Oy sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 64 là:
1
Vô số
0
2
Gọi M0;m;0∈Oy
Ta có: AM→=−1;m;−2,AB→=1;−1;1
⇒AM→;AB→=m−2;−1;1−m
⇒SMAB=12AM→;AB→=12(m−2)2+(−1)2+(1−m)2=122m2−6m+6
⇒122m2−6m+6=64
⇔22m2−6m+6=6
⇔42m2−6m+6=6
⇔8m2−24m+18=0
⇔4m2−12m+9=0
⇔(2m−3)2=0
⇔m=32
Vậy có 1 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là M0;32;0
Đáp án cần chọn là: A
