ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Các dạng toán về viết phương trình mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng qua điểm M(2,−3,4) và nhậnn→=(−2,4,1)làm vectơ pháp tuyến là:

−2(x−2)+4(y+3)+(z−4)=0⇔−2x+4y+z+12=0⇔2x−4y−z−12=0

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:P:2x−y+3z+4=0⇒nP→=2;−1;3

Mặt phẳng (Q) đi qua A(1,3,−2) và nhậnnP→=2;−1;3 làm VTPT nênQ:2x−1−1y−3+3z+2=0⇔2x−y+3z+7=0

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và nhận AB→ làm vectơ pháp tuyến.

Có I(3,−2,0) vàAB→=(−2,−2,−4).Chọnn→=(1,1,2) là vectơ pháp tuyến ta có phương trình

(x−3)+(y+2)+2z=0⇔x+y+2z−1=0

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình mặt phẳng (ABC) qua B(1,0,1) và nhận n→=[AB→,AC→]là vectơ pháp tuyến.

Ta cóAB→=(0,3,−1)và AC→=(1,6,−2).Suy ran→=AB→,AC→=0,−1,−3

Quan sát đáp án bài cho, ta chọn ngay đáp án D.

Đáp án cần chọn là: D

Ta sử dụng phương trình đoạn chắnx1+y1+z1=1⇔x+y+z−1=0

Đáp án cần chọn là: D

Có nQ→=(1,2,−3) và nR→=(2,−3,1).Suy ra n→=(−7,−7,−7).Chọnn→'=(1,1,1) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có phương trình (P) là

(x−1)+(y−0)+(z+2)=0⇔x+y+z+1=0

Cách tính tích có hướng bằng CASIO fx 570 vn plus:

Bước 1: Nhập các vecto

MODE 8->1->1. Nhập vecto thứ nhất vào.

MODE 8->2->1. Nhập vecto thứ nhất vào.

Bước 2: Tính tích có hướng

Ấn AC để ra màn hình. Ấn (SHIFT 5 -> 3) và (SHIFT 5 ->4) và ấn “=”

Đáp án cần chọn là: C

Nhận xét (P)  và (Q) là hai mặt phẳng song song.

Chọn A(−11,0,0) thuộc (P) . Ta có

d(P),(Q)=dA,(Q)=|−11+2.0+2.0+2|12+22+22=93=3

Đáp án cần chọn là: D

Yêu cầu bài toán tương đương với36=−m5=−1−2≠7−4

⇔−m5=12⇔m=−52

Đáp án cần chọn là: B

A,B thuộc (P) nên ta có hệ phương trình3a+2b+c−27=0−3a+5b+2c−27=0

(P) vuông góc với (Q)  nên ta có điều kiện 3a+b+c=0.

Giải hệ3a+2b+c−27=0−3a+5b+2c−27=03a+b+c=0⇔a=6b=27c=−45

 Suy ra S=−12.

Đáp án cần chọn là: D

Bước 1: Tìm VTPT của (P), (Q), (R)

+)(P):x+y+z−1=0có VTPTa→=(1;1;1)

+) (Q):2x+my+2z+3=0 có VTPTb→=(2;m;2)

+) (R):−x+2y+nz=0có VTPT c→=(−1;2;n)

Bước 2: Tính m+2n

(P)⊥(R)⇔d→⋅c→=0⇔n=−1

(P)//(Q)⇔21=m1=21⇔m=2

Vây m+2n=2+2(−1)=0

Vì (P)  song song với (Q) nênP:x+y−z+c=0vớic≠−2

Chọn A(2,0,0) thuộc (Q)ta có

d(P),(Q)=dA,(P)=|2+c|3=23⇔|2+c|=6

 Suy ra c = 4 hoặc c = −8.

Đáp án cần chọn là: A

Theo giả thiết (ABC)⊥(P) nên ta có0.bc+1.c−1.b=0⇔c−b=0⇔b=c

Với giả thiếtdO,(ABC)=13 ta có|−bc|b2c2+b2+c2=13

Vì b,c>0 nên có

b2c2+b2+c2=3bc⇔b2c2+b2+c2=9b2c2⇔b2+c2=8b2c2

Thayb=c>0 vào ta được2b2=8b4⇔b2=14⇔b=12, suy ra c=12

Vậy M=b+c=1

Đáp án cần chọn là: D

(P) có nP→=(1,3,−2),Q  có nQ→=(1,1,2),  mặt phẳng (Oxy) có n1→=(0,0,1)

mặt phẳng (Oxz) có n2→=(0,1,0), mặt phẳng (Oyz) có n3→=(1,0,0)

Có cosP,Q=cosnP→,nQ→=nP→.nQ→|nP→|.|nQ→|=0     (1)

Có cosP,Oxy=cosnP→,n1→=nP→.n3→|nP→|.|n1→|=214        (2)

Có cosP,Oxy=cosnP→,n1→=nP→.n3→|nP→|.|n1→|=214        (3)

Có cosP,Oyz=cosnP→,n3→=nP→.n3→|nP→|.|n3→|=114       (4)

Trong [0;900] góc có cô sin càng nhỏ thì càng lớn.

Do đó góc giữa (P) và (Q) lớn nhất.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có MA→=(1−x,2−y,−1−z) và MB→=(2−x,−1−y,3−z)

Theo giả thiết MA2−MB2=2⇔MA2=2+MB2 nên ta có

(1−x)2+(2−y)2+(−1−z)2=2+(2−x)2+(−1−y)2+(3−z)2

⇔−2x−4y+2z+6=−4x+2y−6z+16

⇔2x−6y+8z−10=0

⇔x−3y+4z−5=0

Đáp án cần chọn là: A

Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của (Q),(R) nên có phương trình dạng

m19x−6y−4z+27+n42x−8y+3z+11=0 với m2+n2>0.

Do (P) đi qua M(3;4;1) nên 56m+108n=0⇒mn=−2714.

Chọn m=27,n=−14thì:

P:27.19x−6y−4z+27−14.42x−8y+3z+11=0⇔−75x−50y−150z+575=0⇔3x+2y+6z−23=0

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:MM'→=4;−2;6⇒n→=12MM'→=2;−1;3

Mặt phẳng (P) đi qua M′ và nhận n→=2;−1;3 làm VTPT nên có phương trình:

2x−5−1y+4+3z−2=0⇔2x−y+3z−20=0

Đáp án cần chọn là: C

Gọinα→=a;b;c là 1 VTPT của α

Ta có nOyz→=1;0;0nên góc giữa α và (Oyz) bằng 60⁰

^{⇔cos600=nα→.nOyz→nα→.nOyz→⇔12=a.1+b.0+c.0a2+b2+c2.12+02+02⇔12=aa2+b2+c2}

α đi qua M(4;0;0) và nhận nα→=a;b;c làm VTPT nên α có phương trình tổng quát là:

ax−4+by−0+cz−0=0⇔ax+by+cz−4a=0

Suy ra khoảng cách từ O đến α là:

dO,α=a.0+b.0+c.0−4aa2+b2+c2=4aa2+b2+c2=4.aa2+b2+c2=4.12=2

Đáp án cần chọn là: D

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi hình lập phương có cạnh bằng 1 ta có:

A0;0;0,B1;0;0,C1;1;0,A'0;0;1,C'1;1;1

Ta có:A'B→=1;0;−1,  BC→=0;1;0⇒A'B→;BC→=1;0;1⇒A'BC có 1 VTPT làn1→=1;0;1

AB→=1;0;0,  AC'→=1;1;1⇒AB→;AC'→=0;−1;1⇒ABC' có 1 VTPT làn2→=0;−1;1

Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (ABC′) ta có:

cosα=n1→.n2→n1→.n2→=1.0+0.−1+1.112+02+12.02+−12+12=12

 Đáp án cần chọn là: D

Ta có:P:   4x−4y+2z−7=0 có VTPT là:nP→=4;−4;  2=22;−2;  1

Q:   2x−2y+z+4=0 có VTPT là:nQ→=2;−2;  1

⇒nP→//nQ→⇒P//Q

Lấy điểm A0;  2;  0∈Q

⇒dP;  Q=dA;  P=4.0−4.2+2.0−742+−42+22=156=52

Mà hai mặt phẳng (P),(Q)  chứa hai mặt của hình lập phương đã cho

⇒ Độ dài cạnh của hình lập phương là dP;  Q=52.

⇒V=523=1258.

Đáp án cần chọn là: A

Giả sử M(x,y,z) là điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q). Ta có

 |x+2y−2z+1|3=|x−2y+2z−1|3

⇔|x+2y−2z+1|=|x−2y+2z−1|

⇔x+2y−2z+1=x−2y+2z−1x+2y−2z+1=−(x−2y+2z−1)

⇔4y−4z+2=02x=0⇔2y−2z+1=0x=0

 

Đáp án cần chọn là: D

Giả sử M(x0,y0,z0)  là điểm thuộc (Pm)  ta có

mx0+m(m+1)y0+(m−1)2z0−1=0,∀m

⇔mx0+m2y0+my0+m2z0−2mz0+z0−1=0,∀m

⇔(y0+z0)m2+(x0+y0−2z0)m+z0−1=0,∀m

⇔y0+z0=0x0+y0−2z0=0z0−1=0⇔z0=1y0=−1x0=3⇔M(3,−1,1)

Đáp án cần chọn là: C

Gọi Aa;0;0;B0;b;0;C0;0;c  là giao điểm của mặt phẳng (P) với các trục tọa độ, khi đó phương trình mặt phẳng (P) là :xa+yb+zc=1

M∈P⇒1a+1b+2c=1                 1.

Lại có OA=OB=OC⇔a=b=c

Suy ra a=b=ca=−b=c và a=b=−ca=−b=−c mà a=b=− c không thỏa mãn điều kiện (1).

Vậy có 3 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A