ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Các dạng toán về viết phương trình mặt phẳng

Bước 1: Tìm VTPT của (P), (Q), (R)

$+\left)\right(P):x+y+z-1=0$có VTPT$\overrightarrow{a}=(1;1;1)$

+) $\left(Q\right):2x+my+2z+3=0$ có VTPT$\overrightarrow{b}=(2;m;2)$

+) $\left(R\right):-x+2y+nz=0$có VTPT $\overrightarrow{c}=(-1;2;n)$

Bước 2: Tính m+2n

$\left(P\right)\perp \left(R\right)\iff \overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{c}=0\iff n=-1$

$\left(P\right)//\left(Q\right)\iff \frac{2}{1}=\frac{m}{1}=\frac{2}{1}\iff m=2$

Vây $m+2n=2+2(-1)=0$

Vì (P)  song song với (Q) nên$\left(P\right):x+y-z+c=0$với$c\ne -2$

Chọn A(2,0,0) thuộc (Q)ta có

$d\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=d\left(A,\left(P\right)\right)=\frac{|2+c|}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\iff |2+c|=6$

 Suy ra c = 4 hoặc c = −8.

Đáp án cần chọn là: A

Theo giả thiết $\left(ABC\right)\perp \left(P\right)$ nên ta có$0.bc+1.c-1.b=0\iff c-b=0\iff b=c$

Với giả thiết$d\left(O,\left(ABC\right)\right)=\frac{1}{3}$ ta có$\frac{|-bc|}{\sqrt{b^2{c}^2+b^2+c^2}}=\frac{1}{3}$

Vì $b,c>0$ nên có

$\sqrt{b^2{c}^2+b^2+c^2}=3bc\iff b^2{c}^2+b^2+c^2=9b^2{c}^2\iff b^2+c^2=8b^2{c}^2$

Thay$b=c>0$ vào ta được$2b^2=8b^4\iff b^2=\frac{1}{4}\iff b=\frac{1}{2}$, suy ra $c=\frac{1}{2}$

Vậy $M=b+c=1$

Đáp án cần chọn là: D

(P) có $\overrightarrow{n_P}=(\mathrm{1,3,}-2),\left(Q\right)$  có $\overrightarrow{n_Q}=\left(\mathrm{1,1,2}\right)$,  mặt phẳng (Oxy) có $\overrightarrow{n_1}=\left(\mathrm{0,0,1}\right)$

mặt phẳng (Oxz) có $\overrightarrow{n_2}=\left(\mathrm{0,1,0}\right)$, mặt phẳng (Oyz) có $\overrightarrow{n_3}=\left(\mathrm{1,0,0}\right)$

Có $\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_Q}\right|}{\left|\overrightarrow{n_P}\right|.\left|\overrightarrow{n_Q}\right|}=0$     (1)

Có $\cos \left(\left(P\right),\left(Oxy\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_1}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_3}\right|}{\left|\overrightarrow{n_P}\right|.\left|\overrightarrow{n_1}\right|}=\frac{2}{\sqrt{14}}$        (2)

Có $\cos \left(\left(P\right),\left(Oxy\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_1}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_3}\right|}{\left|\overrightarrow{n_P}\right|.\left|\overrightarrow{n_1}\right|}=\frac{2}{\sqrt{14}}$        (3)

Có $\cos \left(\left(P\right),\left(Oyz\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_3}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_3}\right|}{\left|\overrightarrow{n_P}\right|.\left|\overrightarrow{n_3}\right|}=\frac{1}{\sqrt{14}}$       (4)

Trong $[0;{90}^0]$ góc có cô sin càng nhỏ thì càng lớn.

Do đó góc giữa (P) và (Q) lớn nhất.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có $\overrightarrow{MA}=(1-x\mathrm{,2}-y,-1-z)$ và $\overrightarrow{MB}=(2-x,-1-y\mathrm{,3}-z)$

Theo giả thiết $M{A}^2-M{B}^2=2\iff M{A}^2=2+M{B}^2$ nên ta có

${(1-x)}^2+{(2-y)}^2+{(-1-z)}^2=2+{(2-x)}^2+{(-1-y)}^2+{(3-z)}^2$

$\iff -2x-4y+2z+6=-4x+2y-6z+16$

$\iff 2x-6y+8z-10=0$

$\iff x-3y+4z-5=0$

Đáp án cần chọn là: A

Mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến của (Q),(R) nên có phương trình dạng

$m\left(19x-6y-4z+27\right)+n\left(42x-8y+3z+11\right)=0$ với $m^2+n^2>0.$

Do (P) đi qua M(3;4;1) nên $56m+108n=0\Rightarrow \frac{m}{n}=-\frac{27}{14}.$

Chọn $m=\mathrm{27,}n=-14$thì:

$\begin{array}{l}\left(P\right):27.\left(19x-6y-4z+27\right)-14.\left(42x-8y+3z+11\right)=0\\ \iff -75x-50y-150z+575=0\\ \iff 3x+2y+6z-23=0\end{array}$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:$\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}=\left(4;-2;6\right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\frac{1}{2}\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}=\left(2;-1;3\right)$

Mặt phẳng (P) đi qua M′ và nhận $\overrightarrow{n}=\left(2;-1;3\right)$ làm VTPT nên có phương trình:

$2\left(x-5\right)-1\left(y+4\right)+3\left(z-2\right)=0\iff 2x-y+3z-20=0$

Đáp án cần chọn là: C

Gọi$\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}=\left(a;b;c\right)$ là 1 VTPT của $\left(\alpha \right)$

Ta có $\overrightarrow{n_{\left(Oyz\right)}}=\left(1;0;0\right)$nên góc giữa $\left(\alpha \right)$ và (Oyz) bằng 60⁰

^{$\begin{array}{l}\iff \cos {60}^0=\frac{\left|\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}.\overrightarrow{n_{\left(Oyz\right)}}\right|}{\left|\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}\right|.\left|\overrightarrow{n_{\left(Oyz\right)}}\right|}\\ \iff \frac{1}{2}=\frac{\left|a.1+b.0+c.0\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{1^2+0^2+0^2}}\\ \iff \frac{1}{2}=\frac{\left|a\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\end{array}$}

$\left(\alpha \right)$ đi qua M(4;0;0) và nhận $\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}=\left(a;b;c\right)$ làm VTPT nên $\left(\alpha \right)$ có phương trình tổng quát là:

$a\left(x-4\right)+b\left(y-0\right)+c\left(z-0\right)=0\iff ax+by+cz-4a=0$

Suy ra khoảng cách từ O đến $\left(\alpha \right)$ là:

$d\left(O,\left(\alpha \right)\right)=\frac{\left|a.0+b.0+c.0-4a\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{\left|4a\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=4.\frac{\left|a\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=4.\frac{1}{2}=2$

Đáp án cần chọn là: D

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi hình lập phương có cạnh bằng 1 ta có:

$A\left(0;0;0\right),B\left(1;0;0\right),C\left(1;1;0\right),A^{\text{'}}\left(0;0;1\right),C^{\text{'}}\left(1;1;1\right)$

Ta có:$\overrightarrow{A^{\text{'}}B}=\left(1;0;-1\right),\overrightarrow{BC}=\left(0;1;0\right)\Rightarrow \left[\overrightarrow{A^{\text{'}}B};\overrightarrow{BC}\right]=\left(1;0;1\right)\Rightarrow \left(A^{\text{'}}BC\right)$ có 1 VTPT là$\overrightarrow{n_1}=\left(1;0;1\right)$

$\overrightarrow{AB}=\left(1;0;0\right),\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\left(1;1;1\right)\Rightarrow \left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}\right]=\left(0;-1;1\right)\Rightarrow \left(AB{C}^{\text{'}}\right)$ có 1 VTPT là$\overrightarrow{n_2}=\left(0;-1;1\right)$

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng (A′BC) và (ABC′) ta có:

$\cos \alpha =\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|1.0+0.\left(-1\right)+1.1\right|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}.\sqrt{0^2+{\left(-1\right)}^2+1^2}}=\frac{1}{2}$

 Đáp án cần chọn là: D

Ta có:$\left(P\right):4x-4y+2z-7=0$ có VTPT là:$\overrightarrow{n_P}=\left(4;-4;2\right)=2\left(2;-2;1\right)$

$\left(Q\right):2x-2y+z+4=0$ có VTPT là:$\overrightarrow{n_Q}=\left(2;-2;1\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n_P}//\overrightarrow{n_Q}\Rightarrow \left(P\right)//\left(Q\right)$

Lấy điểm $A\left(0;2;0\right)\in \left(Q\right)$

$\Rightarrow d\left(\left(P\right);\left(Q\right)\right)=d\left(A;\left(P\right)\right)=\frac{\left|4.0-4.2+2.0-7\right|}{\sqrt{4^2+{\left(-4\right)}^2+2^2}}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$

Mà hai mặt phẳng (P),(Q)  chứa hai mặt của hình lập phương đã cho

⇒ Độ dài cạnh của hình lập phương là $d\left(\left(P\right);\left(Q\right)\right)=\frac{5}{2}.$

$\Rightarrow V={\left(\frac{5}{2}\right)}^3=\frac{125}{8}.$

Đáp án cần chọn là: A

Giả sử M(x,y,z) là điểm cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q). Ta có

 $\frac{|x+2y-2z+1|}{3}=\frac{|x-2y+2z-1|}{3}$

$\iff |x+2y-2z+1|=|x-2y+2z-1|$

$\iff \left[\begin{array}{c}x+2y-2z+1=x-2y+2z-1\\ x+2y-2z+1=-(x-2y+2z-1)\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\iff \left[\begin{array}{c}4y-4z+2=0\\ 2x=0\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{c}2y-2z+1=0\\ x=0\end{array}\right.\end{array}$

Đáp án cần chọn là: D

Giả sử $M(x_0,y_0,z_0)$  là điểm thuộc $\left(P_m\right)$  ta có

$m{x}_0+m(m+1)y_0+{(m-1)}^2{z}_0-1=\mathrm{0,}\forall m$

$\iff m{x}_0+m2y_0+m{y}_0+m^2{z}_0-2m{z}_0+z_0-1=\mathrm{0,}\forall m$

$\iff (y_0+z_0)m^2+(x_0+y_0-2z_0)m+z_0-1=\mathrm{0,}\forall m$

$\iff \left\{\begin{array}{c}{y}_0+z_0=0\\ x_0+y_0-2z_0^{}=0\\ z_0-1=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{z}_0=1\\ y_0=-1\\ x_0=3\end{array}\right.\iff M(\mathrm{3,}-\mathrm{1,1})$

Đáp án cần chọn là: C