ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Phương trình đường thẳng

Ta có $\overrightarrow{a}=\left(4;-6;2\right)=2\left(2;-3;1\right)$  nên chọn$\overrightarrow{u}=\left(2;-3;1\right)$ là vecto chỉ phương của d.

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2,0,−1) và có vecto chỉ phương

$\overrightarrow{u}=\left(2;-3;1\right)$là $\left\{\begin{array}{c}x=2+2t\\ y=-3t\\ z=-1+t\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{AB}=\left(2;-3;4\right)$ là vectơ chỉ phương. Loại B, C.

Phương trình qua A(1,2,−3) nên có dạng$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+3}{4}$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có I là trung điểm của AB. Suy ra I(2,−1,1)

Ta có OI  nhận $\overrightarrow{OI}=\left(2;-1;1\right)$ là vectơ chỉ phương và đi qua điểm O(0,0,0) nên$d:\frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{1}$

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{AB}=\left(2;-3;4\right)$ là vectơ chỉ phương. Loại B, C.

Phương trình qua A(1,2,−3) nên có dạng$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+3}{4}$

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình đường thẳng d có vecto chỉ phương là 
$\overrightarrow{u}=\left(\mathrm{3,1,1}\right)$ và đi qua điểm A(2,1,3) nên có phương trình$\left\{\begin{array}{c}x=2+3t\\ y=1+t\\ z=3+t\end{array}\right.$

+ Phương án A đúng.

+ Với t=−1 ta có B(−1,0,2) thuộc d . Do đó B đúng.

+ Với t=1, ta có C(5,2,4) thuộc d . Do đó C đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Vì d//Oz nên ta có$\overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{k}=\left(\mathrm{0,0,1}\right)$. Vì d qua A(1,2,−3) nên d có phương trình $\left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=2\\ z=-3+t\end{array}\right.$

Đối chiếu kết quả các đáp án ta thấy:

+ A,B, D sai vecto chỉ phương.

+ Đáp án C đúng vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_d}$. Kiểm tra điểm B(1,2,3) thuộc (*) nên C đúng.

Đáp án cần chọn là: C

- Thay tọa độ điểm $A\left(3+m;4+m;5-2m\right)$  vào phương trình đường thẳng d ta có:$\frac{3+m-3}{1}=\frac{4+m-4}{1}=\frac{5-2m-5}{-2}\iff m=m=m$ (luôn đúng)$\Rightarrow A\in d$

- Thay tọa độ điểm $B\left(4-n;5-n;3+2n\right)$ vào phương trình đường thẳng d ta có:

$\frac{4-n-3}{1}=\frac{5-n-4}{1}=\frac{3+2n-5}{-2}\iff 1-n=1-n=1-n$ (luôn đúng)$\Rightarrow B\in d$

Vậy $A\in d,B\in d$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có$\overrightarrow{u_{d_1}}=(\mathrm{2,1,}-1)$ và$\overrightarrow{u_{d_2}}=\left(\mathrm{3,2,2}\right)$

Vì d vuông góc với $d_1$ và $d_2$ nên có $\overrightarrow{u_d}=\left[\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}\right]=\left(4;-7;1\right)$

Vì d qua A(1,2,3) nên có phương trình $d:\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{-7}=\frac{z-3}{1}$

Đáp án cần chọn là: D

H  là trực tâm của $\Delta ABC\iff \left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\\ \left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right].\overrightarrow{AH}=0\end{array}\right.$

Ta giả sử H(x,y,z), ta có

$\overrightarrow{BC}=(\mathrm{0,}-\mathrm{3,}-4)$

$\overrightarrow{AC}=(-\mathrm{2,0,}-4)$

$\overrightarrow{AH}=(x-\mathrm{2,}y,z)$

$\overrightarrow{BH}=(x,y-\mathrm{3,}z)$

$\overrightarrow{AB}=(-\mathrm{2,3,0})$

Điều kiện $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\iff 3y+4z=0$

Điều kiện $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\iff x+2z=0$

Ta tính $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(-\mathrm{12,}-\mathrm{8,6})$

Điều kiện

Giải hệ $\left\{\begin{array}{c}3y+4z=0\\ x+2z=0\\ -6x-4y+3z+12=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{72}{61}\\ y=\frac{48}{61}\\ z=\frac{-36}{61}\end{array}\right.$

Suy ra $H(\frac{72}{61},\frac{48}{61},\frac{-36}{61})$

Suy ra $\overrightarrow{OH}=(\frac{72}{61},\frac{48}{61},\frac{-36}{61})$  là vecto chỉ phương của OH.

Chọn $\overrightarrow{u}=(\mathrm{6,4,}-3)$  là vecto chỉ phương của OH và OH qua O(0,0,0)O(0,0,0) nên phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{c}x=6t\\ y=4t\\ z=-3t\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: C

Bước 1: Tìm vecto chỉ phương và tham số hóa hình chiếu M của A lên d.

Ta có:

$d:\left\{\begin{array}{c}x=-1+t\\ y=-3+2t\\ z=-2+2t\end{array}\right.;\overrightarrow{u_d}=(1;2;2)$

Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên d và A′ đối xứng A qua d.

Suy ra $M\left(m-1;2m-3;2m-2\right)$

Bước 2: Biểu diễn $\overrightarrow{AM}$  theo tham số và tìm điểm A'.

$\overrightarrow{AM}=\left(m-4;2m-5;2m-2\right)$

Khi đó

$\overrightarrow{AM}.{\overrightarrow{u}}_d=0\Rightarrow \left(m-4\right)+2\left(2m-5\right)+2\left(2m-2\right)=0\iff 9m=18\iff m=2.$

Vậy M(1;1;2) và M là trung điểm AA′ nên A′(−1;0;4).

Vậy$a+b+c=3$