ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Phương trình đường thẳng
20 câu hỏi
Đường thẳng đi qua điểm −x0;−y0;−z0 và có VTCP (−a;−b;−c) có phương trình:
x−x0a=y−y0b=z−z0c
x−x0−a=y−y0−b=z−z0−c
x+x0a=y+y0b=z+z0c
x+x0a=y+y0−b=z+z0c
Đường thẳng đi qua điểm−x0;−y0;−z0 và có VTCP −a;−b;−c có phương trình:
x−−x0−a=y−−y0−b=z−−z0−c⇔x+x0a=y+y0b=z+z0c
Đáp án cần chọn là: C
Cho đường thẳng d:x=−ty=1−tz=t(t∈ℝ). Điểm nào trong các điểm dưới đây thuộc đường thẳng d?
(−1;−1;1)
(−1;1;1)
(0;1;1)
(0;1;0)
Vì d:x=−ty=1−tz=t⇔d:x=0−ty=1−tz=0+tt∈ℝ nên d đi qua điểm (0;1;0).
Ngoài ra các điểm ở mỗi đáp án A, B, C đều không thỏa mãn phương trình của dd nên chỉ có đáp án D đúng.
Đáp án cần chọn là: D
Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng x+12=y−2−2=z1?
(0;1;2)
(1;0;1)
(2;−2;1)
(3;−4;1)
Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình ta được:
0+12=1−2−2≠21 nên A sai.
1+12=0−2−2=11 nên B đúng.
Thay tọa độ các điểm đáp án C,D vào đường thẳng ta thấy đều không thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x=1y=2+3tz=5−t(t∈R). Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của d?
u1→=(0,3,−1)
u1→=(1,3,−1)
u1→=(1,−3,−1)
u1→=(1,2,5)
Ta có:
d:x=1y=2+3tz=5−t(t∈R)⇒d:x=1+0ty=2+3tz=5−t⇒u1→=(0,3,−1)
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian Oxyz, tìm phương trình tham số trục Oz?
x=ty=tz=t
x=ty=0z=0
x=ty=tz=0
x=0y=0z=t
Phương trình trục Oz: x=0y=0z=tt∈ℝ
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian Oxyz, điểm nào sau đây thuộc trục Oy?
M(0,0,3)
N(0,1,0)
P(−2,0,0)
Q(1,0,1)
Phương trình trục Oy: x=0y=tz=0t∈ℝ. Do đó chỉ có điểm N(0,1,0) thuộc trục Oy
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng d:x=1+2ty=3tz=−2+t
x+12=y3=z−21
x−11=y3=z+2−2
x+11=y3=z−2−2
x−12=y3=z+21
Ta có:
d:x=1+2ty=3tz=−2+t⇔M(1;0;−2)u→=2;3;1⇒x−12=y3=z+21
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng Δ:x−41=y+32=z−2−1. là:
Δ:x=1−4ty=2+3tz=−1−2t
Δ:x=−4+4ty=3+2tz=−2−t
Δ:x=4+ty=−3+2tz=2−t
Δ:x=1+4ty=2−3tz=−1+2t
Δ:x−41=y+32=z−2−1 đi qua M(4;−3;2) và nhậnu→=1;2;−1 làm VTCP nên
Δ:x=4+ty=−3+2tz=2−t
Đáp án cần chọn là: C
Cho đường thẳng d:x−12=y−1−1=z+12 và các điểm A1;1;−1,B−1;−1;1,C2;12;0.a Chọn mệnh đề đúng:
A và B đều thuộc d
B và C đều thuộc d
A và C đều thuộc d
chỉ có A thuộc d
Ta có:
1−12=1−1−1=−1+12=0⇒A∈d−1−12≠−1−1−1≠1+12⇒B∉d2−12=12−1−1=0+12=12⇒C∈d
Do đó cả hai điểm A và C đều thuộc d.
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(2,0,−1) và có vecto chỉ phương a→=4,−6,2. Phương trình tham số của đường thẳng d là:
x=2+2ty=−3tz=−1+t
x=−2+2ty=−3tz=1+t
x=−2+4ty=−6tz=1+2t
x=4+2ty=−3tz=2+t
Ta có a→=4;−6;2=22;−3;1 nên chọnu→=2;−3;1 là vecto chỉ phương của d.
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2,0,−1) và có vecto chỉ phương
u→=2;−3;1là x=2+2ty=−3tz=−1+t
Đáp án cần chọn là: A
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1,2,−3) và B(3,−1,1)?
x+12=y+2−3=z−34
x−13=y−2−1=z+31
x−31=y+12=z−1−3
x−12=y−2−3=z+34
Phương trình đường thẳng AB nhận AB→=2;−3;4 là vectơ chỉ phương. Loại B, C.
Phương trình qua A(1,2,−3) nên có dạngx−12=y−2−3=z+34
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB với A(1;1;2),B(3;−3;0). Phương trình đường trung tuyến OI của tam giác OAB là
x2=y−1=z1
x2=y1=z1
x2=y−1=z−1
x−2=y1=z1
Ta có I là trung điểm của AB. Suy ra I(2,−1,1)
Ta có OI nhận OI→=2;−1;1 là vectơ chỉ phương và đi qua điểm O(0,0,0) nênd:x2=y−1=z1
Đáp án cần chọn là: A
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1,2,−3) và B(3,−1,1)?
x+12=y+2−3=z−34
x−13=y−2−1=z+31
x−31=y+12=z−1−3
x−12=y−2−3=z+34
Phương trình đường thẳng AB nhận AB→=2;−3;4 là vectơ chỉ phương. Loại B, C.
Phương trình qua A(1,2,−3) nên có dạngx−12=y−2−3=z+34
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2,1,3) và đường thẳng d':x−13=y−21=z1 . Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song d′. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình đường thẳng d?
x=2+3ty=1+tz=3+t
x=−1+3ty=tz=2+t
x=5−3ty=2−tz=4−t
x=−4+ty=−1+tz=2+t
Phương trình đường thẳng d có vecto chỉ phương là
u→=(3,1,1) và đi qua điểm A(2,1,3) nên có phương trìnhx=2+3ty=1+tz=3+t
+ Phương án A đúng.
+ Với t=−1 ta có B(−1,0,2) thuộc d . Do đó B đúng.
+ Với t=1, ta có C(5,2,4) thuộc d . Do đó C đúng.
Đáp án cần chọn là: D
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;−3) và song song với trục Oz là:
x=1+ty=2z=−3
x=1y=2+tz=−3
x=1y=2z=3+t
x=1+ty=2+tz=−3
Vì d//Oz nên ta cóud→=k→=(0,0,1). Vì d qua A(1,2,−3) nên d có phương trình x=1y=2z=−3+t
Đối chiếu kết quả các đáp án ta thấy:
+ A,B, D sai vecto chỉ phương.
+ Đáp án C đúng vecto chỉ phương ud→. Kiểm tra điểm B(1,2,3) thuộc (*) nên C đúng.
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x−31=y−41=z−5−2 và các điểm A3+m;4+m;5−2m, B(4−n;5−n;3+2n) với m,n là các số thực. Khẳng định nào sau đây đúng?
A∉d, B∈d
A∈d, B∈d
A∈d, B∉d
A∉d, B∉d
- Thay tọa độ điểm A3+m; 4+m; 5−2m vào phương trình đường thẳng d ta có:3+m−31=4+m−41=5−2m−5−2⇔m=m=m (luôn đúng)⇒A∈d
- Thay tọa độ điểm B4−n; 5−n; 3+2n vào phương trình đường thẳng d ta có:
4−n−31=5−n−41=3+2n−5−2⇔1−n=1−n=1−n (luôn đúng)⇒B∈d
Vậy A∈d, B∈d
Đáp án cần chọn là: B
Phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1,2,3) và vuông góc với 2 đường thẳng cho trước: d1:x−12=y1=z+1−1 và d2:x−23=y−12=z−12 là:
d:x−14=y−2−7=z−3−1
d:x−14=y−27=z−31
d:x−1−4=y−2−7=z−31
d:x−14=y−2−7=z−31
Ta cóud1→=(2,1,−1) vàud2→=(3,2,2)
Vì d vuông góc với d1 và d2 nên có ud→=ud1→,ud2→=4;−7;1
Vì d qua A(1,2,3) nên có phương trình d:x−14=y−2−7=z−31
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,−4). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tìm phương trình tham số của đường thẳng OH trong các phương án sau:
x=6ty=−4tz=−3t
x=6ty=2+4tz=−3t
x=6ty=4tz=−3t
x=6ty=4tz=1−3t
H là trực tâm của ΔABC⇔AH→.BC→=0BH→.AC→=0AB→,AC→.AH→=0
Ta giả sử H(x,y,z), ta có
BC→=(0,−3,−4)
AC→=(−2,0,−4)
AH→=(x−2,y,z)
BH→=(x,y−3,z)
AB→=(−2,3,0)
Điều kiện AH→.BC→=0⇔3y+4z=0
Điều kiện BH→.AC→=0⇔x+2z=0
Ta tính [AB→,AC→]=(−12,−8,6)
Điều kiện
[AB→,AC→].AH→=0⇔−12(x−2)−8y+6z=0⇔−6x−4y+3z+12=0
Giải hệ 3y+4z=0x+2z=0−6x−4y+3z+12=0⇔x=7261y=4861z=−3661
Suy ra H(7261,4861,−3661)
Suy ra OH→=(7261,4861,−3661) là vecto chỉ phương của OH.
Chọn u→=(6,4,−3) là vecto chỉ phương của OH và OH qua O(0,0,0)O(0,0,0) nên phương trình tham số là x=6ty=4tz=−3t
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x+11=y+32=z+22 và điểm A(3;2;0). Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng dd có tọa độ là A′(a;b;c). Tính a+b+c.
Bước 1: Tìm vecto chỉ phương và tham số hóa hình chiếu M của A lên d.
Ta có:
d:x=−1+ty=−3+2tz=−2+2t;ud→=(1;2;2)
Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên d và A′ đối xứng A qua d.
Suy ra Mm−1;2m−3;2m−2
Bước 2: Biểu diễn AM→ theo tham số và tìm điểm A'.
AM→=m−4;2m−5;2m−2
Khi đó
AM→.u→d=0⇒m−4+22m−5+22m−2=0⇔9m=18⇔m=2.
Vậy M(1;1;2) và M là trung điểm AA′ nên A′(−1;0;4).
Vậya+b+c=3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:x=2+m2−2mty=5−m−3tz=7−22
và điểm A(1;2;3). Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để khoảng cách từ A đến đường thẳng Δ có giá trị nhỏ nhất. Tổng các phần tử của S là
56
53
73
35
Đường thẳng Δ đi qua điểm M2;5;7−22 và nhậnu→=m2−2m;4−m;0 làm VTCP.
CóAM→=1;3;4−22⇒AM=34−162
Để dA,Δ=AHmin thì sinα=AHAM đạt GTNN hay cosα đạt GTLN.
Mà
cosα=cosAM,Δ=AM→.u→AM→.u→=m2−2m+34−m34−162.m2−2m2+4−m2
Màm2−2m+34−m≤12+32.m2−2m2+4−m2
⇒m2−2m+34−m34−162.m2−2m2+4−m2≤1034−162
đạt GTLN nếu
m2−2m1=4−m3⇔3m2−6m=4−m⇔3m2−5m−4=0
Phương trình này có hai nghiệm phân biệt do ac<0 nên tổng các giá trị của m là 53
Đáp án cần chọn là: B
