ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Phương trình mặt phẳng
22 câu hỏi
Cho hai mặt phẳng P:ax+by+cz+d=0;Q:a'x+b'y+c'z+d'=0. Công thức tính cô sin của góc giữa hai mặt phẳng là:
cosP,Q=a.a'+b.b'+c.c'a2+b2+c2.a'2+b'2+c'2
cosP,Q=a.a'+b.b'+c.c'a2+b2+c2.a'2+b'2+c'2
cosP,Q=a.a'+b.b'+c.c'a+b+c.a'+b'+c'
cosP,Q=a.a'+b.b'+c.c'a+b+c2.a'+b'+c'2
Góc giữa hai mặt phẳng (P),(Q) có:
cosP,Q=cosn1→,n2→=n1→.n2→n1→.n2→=a.a'+b.b'+c.c'a2+b2+c2.a'2+b'2+c'2
Đáp án cần chọn là: A
Cho mặt phẳng P:ax+by+cz+d=0. Khoảng cách từ điểm Mx0;y0;z0 đến mặt phẳng (P) là:
dM;P=ax0+by0+cz0+da2+b2+c2
dM;P=ax0+by0+cz0+da2+b2+c2
dM;P=ax0+by0+cz0+da2+b2+c2
dM;P=ax0+by0+cz0+da2+b2+c2
Khoảng cách từ điểm Mx0;y0;z0 đến P:ax+by+cz+d=0
dM;P=ax0+by0+cz0+da2+b2+c2
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P:2x−y+z−1=0. Điểm nào dưới đây thuộc (P)
M(2;−1;1)
N(0;1;−2)
P(1;−2;0)
Q(1;−3;−4)
Dễ thấy 2.1−−3+−4−1=0 ⇒ điểm Q thuộc (P)
Đáp án cần chọn là: D
Nếu a→,b→ là cặp VTCP của (P) thì véc tơ nào sau đây có thể là VTPT của (P)?
−a→hoặc −b→
a→,b→
a→−b→
a→+b→
Vì tích có hướng của hai vecto là một vecto vuông góc với cả hai vecto ban đầu nên nó vuông góc với mặt phẳng (P).
Nếu a→,b→ là cặp VTCP của (P) thì a→,b→ là một VTPT của (P).
Đáp án cần chọn là: B
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm Mx0;y0;z0 và nhận n→=a;b;c làm VTPT là:
ax−x0+by−y0+cz−z0=0
x0x−a+y0y−b+z0z−c=0
xa−x0+yb−y0+zc−z0=0
ax+x0+by+y0+cz+z0=0
Mặt phẳng (P) đi qua Mx0;y0;z0 và nhận n→=a;b;c làm VTPT thì (P) có phương trình:
ax−x0+by−y0+cz−z0=0
Đáp án cần chọn là: A
Cho hai mặt phẳng P:ax+by+cz+d=0;Q:a'x+b'y+c'z+d'=0. Nếu có aa'≠bb' thì ta kết luận được:
hai mặt phẳng cắt nhau
hai mặt phẳng trùng nhau
hai mặt phẳng song song
không kết luận được gì
Nếu có aa'≠bb' thì n→≠k.n'→ và ta kết luận được ngay hai mặt phẳng cắt nhau.
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oxz) có phương trình là
z=0
x+y+z=0
y=0
x=0
Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là y=0
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian Oxyz, điểm O(0;0;0) thuộc mặt phẳng nào sau đây?
P4: 2x+3z+1=0
P3: 2x+3y−z=0
P1: 2x+3y+1=0
P2: 2x+2y+2z+1=0
Ta thấy điểm O(0;0;0) thuộc mặt phẳng P3:2x+3y−z=0 vì 2.0+3.0-0=0.
Đáp án cần chọn là: B
Cho a→,b→ là các VTCP của mặt phẳng (P). Chọn kết luận sai?
(P) có vô số véc tơ pháp tuyến
n→=−a→,b→ là một VTPT của mặt phẳng (P)
n→=a→,b→ là một VTCP của mặt phẳng (P)
a→,b→không cùng phương.
- Một mặt phẳng có vô số VTPT nên A đúng.
- Véc tơ a→,b→ là một VTPT của (P) nên mọi véc tơ cùng phương với nó đều là VTPT của (P), do đó B đúng, C sai.
- Hai véc tơ muốn là VTCP của mặt phẳng thì chúng phải không cùng phương nên D đúng.
Đáp án cần chọn là: C
Cho a→=5;1;3,b→=−1;−3;−5 là cặp VTCP của mặt phẳng (P). Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của (P)?
(1;2;0)
(2;11;−7)
(4;−22;−14)
(2;2;−4)
Ta có: a→=5;1;3,b→=−1;−3;−5
a→,b→=1−33−5;3−55−1;5−11−3=4;22;−14
Do đó n→=4;22;−14 là một VTPT của (P) nên 12n→=2;11;−7 cũng là một VTPT của (P).
Đáp án cần chọn là: B
Mặt phẳng P:ax+by+cz+d=0 có một VTPT là:
n→=a;b;c;d
n→=a2;b2;c2
n→=a+b;b+c;c+a
n→=a;b;c
Mặt phẳng P:ax+by+cz+d=0 có một VTPT là n→=a;b;c
Đáp án cần chọn là: D
Mặt phẳng P:ax−by−cz−d=0 có một VTPT là:
(a;b;c)
(a;−b;−c)
(−a;−b;−c)
a;−b;−c;−d
Mặt phẳng P:ax−by−cz−d=0 có một VTPT là n→=a;−b;−c
Đáp án cần chọn là: B
Cho mặt phẳng P:2x−z+1=0, tìm một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
(2;−1;1)
(2;0;−1)
(2;0;1)
(2;−1;0)
Mặt phẳng P:2x−z+1=0⇔2.x+0.y+−1.z+1=0 nên (P) có một VTPT là (2;0;−1)
Đáp án cần chọn là: B
Cho hai mặt phẳng(P):ax+by+cz+d=0;(Q):a'x+b'y+c'z+d'=0.Điều kiện nào sau đây không phải điều kiện để hai mặt phẳng trùng nhau
n→=k.n'→ và d=k.d'(k≠0)
aa'=bb'=cc'=dd'a'b'c'd'≠0
aa'=bb'=cc'=d'd
a=ka';b=kb';c=kc';d=kd'k≠0
Hai mặt phẳng trùng nhau nếu n→=k.n'→ và d=k.d'(k≠0)
Trường hợp a'b'c'd'≠0 thì
aa'=bb'=cc'=dd'=k⇒a=ka';b=kb';c=kc';d=kd'
Do đó các đáp án A, B, D đúng và C sai.
Đáp án cần chọn là: C
Cho hai mặt phẳng P:ax+by+cz+d=0;Q:a'x+b'y+c'z+d'=0. Nếu có aa'=bb'=cc' thì:
hai mặt phẳng song song
hai mặt phẳng trùng nhau
hai mặt phẳng vuông góc
A hoặc B đúng.
Nếu có aa'=bb'=cc' thì ta chưa kết luận được gì vì còn phụ thuộc vào tỉ số dd' nên các đáp án A hoặc B đúng.
Đáp án cần chọn là: D
Cho điểm M(1;2;0) và mặt phẳng P:x−3y+z=0. Khoảng cách từ M đến (P) là:
5
51111
511
−511
Ta có:dM,P=1−3.2+012+32+12=511=51111
Đáp án cần chọn là: B
Cho mặt phẳng P:x−y+z=1,Q:x+z+y−2=0và điểm M(0;1;1). Chọn kết luận đúng:
dM,P=dM,Q
dM,P>dM,Q
M∈P
dM,P=3dM,Q
Ta có:
dM,P=0−1+1−112+12+12=13 và dM,Q=0+1+1−212+12+12=0 nên A sai, D sai, B đúng.
Do đó M∈Q,M∉Pnên C sai.
Đáp án cần chọn là: B
Cho α,β lần lượt là góc giữa hai véc tơ pháp tuyến bất kì và góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Chọn nhận định đúng:
α=β
α=1800−β
sinα=sinβ
cosα=cosβ
Ta có: cosβ=cosP,Q=cosn1→,n2→
=n1→.n2→n1→.n2→=a.a'+b.b'+c.c'a2+b2+c2.a'2+b'2+c'2
Do đó 0≤β≤900trong khi 0≤α≤1800nên hai góc này có thể bằng nhau cũng có thể bù nhau, do đó A, B sai.
Ngoài ra, khi α=β hay α=1800−βthì ta đều cónên C đúng.
D sai trong trường hợp hai góc bù nhau.
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P:x−2y−z+2=0,Q:2x−y+z+1=0. Góc giữa (P) và (Q) là
60∘.
90∘.
30∘.
120∘.
Mặt phẳng P:x−2y−z+2=0 có 1 VTPT là nP→1;−2;−1
Mặt phẳng Q:x−2y−z+2=0 có 1 VTPT là nQ→2;−1;1
Khi đó ta có: cos∠P;Q=nP→.nQ→nP→.nQ→
=1.2−2.−1−1.112+−22+−12.22+−12+12=36=12
Vậy ∠P;Q=600
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;6;−3) và mặt phẳng (P):2x−2y+z−2=0. Khoảng cách từ M đến (P) bằng:
Ta có: P: 2x−2y+z−2=0
⇒dM; P=2.1−2.6−3−222+−22+1=153=5.
Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P):2x+2y−z−11=0 và (Q):2x+2y−z+4=0
dP,Q=−11−422+22+−12=5.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 2; 3), B(3; 4; 4). Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 2x+y+mz−1=0 bằng độ dài đoạn thẳng AB.
Đặt α: 2x+y+mz−1=0.
Ta có: dA; α=2.1+2+3.m−122+12+m2=3+3mm2+5.
AB→=2; 2; 1⇒AB=22+22+1=3.⇒dA;α=AB⇔3+3mm2+5=3⇔m+1=m2+5⇔m2+2m+1=m2+5⇔m=2.
