ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Phương trình mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng (P),(Q) có:

$\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|a.a^{\text{'}}+b.b^{\text{'}}+c.c^{\text{'}}\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{a^{\text{'}2}+b^{\text{'}2}+c^{\text{'}2}}}$

Đáp án cần chọn là: A

Khoảng cách từ điểm $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$  đến $\left(P\right):ax+by+cz+d=0$

Đáp án cần chọn là: A

Dễ thấy $2.1-\left(-3\right)+\left(-4\right)-1=0$ ⇒ điểm Q thuộc (P)

Đáp án cần chọn là: D

Vì tích có hướng của hai vecto là một vecto vuông góc với cả hai vecto ban đầu nên nó vuông góc với mặt phẳng (P).

Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ là cặp VTCP của (P) thì $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$ là một VTPT của (P).

Đáp án cần chọn là: B

Mặt phẳng (P) đi qua $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left(a;b;c\right)$ làm VTPT thì (P) có phương trình:

$a\left(x-x_0\right)+b\left(y-y_0\right)+c\left(z-z_0\right)=0$

Đáp án cần chọn là: A

Nếu có $\frac{a}{a^{\text{'}}}\ne \frac{b}{b^{\text{'}}}$ thì $\overrightarrow{n}\ne k.\overrightarrow{n^{\text{'}}}$ và ta kết luận được ngay hai mặt phẳng cắt nhau.

Đáp án cần chọn là: A

Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là y=0

Đáp án cần chọn là: C

Ta thấy điểm O(0;0;0) thuộc mặt phẳng $\left(P_3\right):2x+3y-z=0$ vì 2.0+3.0-0=0.

Đáp án cần chọn là: B

- Một mặt phẳng có vô số VTPT nên A đúng.

- Véc tơ $\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]$  là một VTPT của (P) nên mọi véc tơ cùng phương với nó đều là VTPT của (P), do đó B đúng, C sai.

- Hai véc tơ muốn là VTCP của mặt phẳng thì chúng phải không cùng phương nên D đúng.

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: $\overrightarrow{a}=\left(5;1;3\right),\overrightarrow{b}=\left(-1;-3;-5\right)$

$\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}\begin{array}{l}1\\ -3\end{array}& \begin{array}{l}3\\ -5\end{array}\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}\begin{array}{l}3\\ -5\end{array}& \begin{array}{l}5\\ -1\end{array}\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}\begin{array}{l}5\\ -1\end{array}& \begin{array}{l}1\\ -3\end{array}\end{array}\right|\right)=\left(4;22;-14\right)$

Do đó $\overrightarrow{n}=\left(4;22;-14\right)$  là một VTPT của (P) nên $\frac{1}{2}\overrightarrow{n}=\left(2;11;-7\right)$ cũng là một VTPT của (P).

Đáp án cần chọn là: B

Mặt phẳng $\left(P\right):ax+by+cz+d=0$ có một VTPT là $\overrightarrow{n}=\left(a;b;c\right)$

Đáp án cần chọn là: D

Mặt phẳng $\left(P\right):ax-by-cz-d=0$ có một VTPT là $\overrightarrow{n}=\left(a;-b;-c\right)$

Đáp án cần chọn là: B

Mặt phẳng $\left(P\right):2x-z+1=0\iff 2.x+0.y+\left(-1\right).z+1=0$ nên (P) có một VTPT là (2;0;−1)

Đáp án cần chọn là: B

Hai mặt phẳng trùng nhau nếu $\overrightarrow{n}=k.\overrightarrow{n^{\text{'}}}$ và $d=k.d^{\text{'}}(k\ne 0)$

Trường hợp $a^{\text{'}}{b}^{\text{'}}{c}^{\text{'}}{d}^{\text{'}}\ne 0$ thì

$\frac{a}{a^{\text{'}}}=\frac{b}{b^{\text{'}}}=\frac{c}{c^{\text{'}}}=\frac{d}{d^{\text{'}}}=k\Rightarrow a=k{a}^{\text{'}};b=k{b}^{\text{'}};c=k{c}^{\text{'}};d=k{d}^{\text{'}}$

Do đó các đáp án A, B, D đúng và C sai.

Đáp án cần chọn là: C

Nếu có $\frac{a}{a^{\text{'}}}=\frac{b}{b^{\text{'}}}=\frac{c}{c^{\text{'}}}$ thì ta chưa kết luận được gì vì còn phụ thuộc vào tỉ số $\frac{d}{d^{\text{'}}}$ nên các đáp án A hoặc B đúng.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:$d\left(M,\left(P\right)\right)=\frac{\left|1-3.2+0\right|}{\sqrt{1^2+3^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{11}}=\frac{5\sqrt{11}}{11}$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

 $d\left(M,\left(P\right)\right)=\frac{\left|0-1+1-1\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $d\left(M,\left(Q\right)\right)=\frac{\left|0+1+1-2\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=0$ nên A sai, D sai, B đúng.

Do đó $M\in \left(Q\right),M\notin \left(P\right)$nên C sai.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $\cos \beta =\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)\right|$

$=\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|a.a^{\text{'}}+b.b^{\text{'}}+c.c^{\text{'}}\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{a^{\text{'}2}+b^{\text{'}2}+c^{\text{'}2}}}$

Do đó $0\le \beta \le {90}^0$trong khi $0\le \alpha \le {180}^0$nên hai góc này có thể bằng nhau cũng có thể bù nhau, do đó A, B sai.

Ngoài ra, khi $\alpha =\beta$ hay $\alpha ={180}^0-\beta$thì ta đều cónên C đúng.

D sai trong trường hợp hai góc bù nhau.

Đáp án cần chọn là: C

Mặt phẳng $\left(P\right):x-2y-z+2=0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n_P}\left(1;-2;-1\right)$

Mặt phẳng $\left(Q\right):x-2y-z+2=0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n_Q}\left(2;-1;1\right)$

Khi đó ta có: $\cos \angle \left(\left(P\right);\left(Q\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{n_P}.\overrightarrow{n_Q}\right|}{\left|\overrightarrow{n_P}\right|.\left|\overrightarrow{n_Q}\right|}$

$=\frac{\left|1.2-2.\left(-1\right)-1.1\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+1^2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Vậy $\angle \left(\left(P\right);\left(Q\right)\right)={60}^0$
Đáp án cần chọn là: A

Ta có: $\left(P\right):2x-2y+z-2=0$

$\Rightarrow d\left(M;\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.1-2.6-3-2\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-2\right)}^2+1}}=\frac{15}{3}=5.$

$d\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\frac{\left|-11-4\right|}{\sqrt{2^2+2^2+{\left(-1\right)}^2}}=5.$

Đặt $\left(\alpha \right):2x+y+mz-1=0.$

Ta có: $d\left(A;\left(\alpha \right)\right)=\frac{\left|2.1+2+3.m-1\right|}{\sqrt{2^2+1^2+m^2}}=\frac{\left|3+3m\right|}{\sqrt{m^2+5}}.$

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\left(2;2;1\right)\Rightarrow AB=\sqrt{2^2+2^2+1}=3.\\ \Rightarrow d\left(A;\left(\alpha \right)\right)=AB\iff \frac{\left|3+3m\right|}{\sqrt{m^2+5}}=3\\ \iff \left|m+1\right|=\sqrt{m^2+5}\\ \iff m^2+2m+1=m^2+5\\ \iff m=2.\end{array}$