ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Mối quan hệ giữa hai đường thẳng
20 câu hỏi
Cho d,d′ là các đường thẳng có VTCP lần lượt là u→,u'→,M∈d,M'∈d'.Khi đó d≡d' nếu:
A u→,u'→=0→
u→,u'→=u→,MM'→
u→,u'→=u→,MM'→=0→
u→,u'→≠u→,MM'→
d≡d'⇔u→,u'→,MM'→ đôi một cùng phương ⇔u→,u'→=u→,MM'→=0→
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:x=−1+3ty=−tz=1−2t và d2:x−1−3=y−21=z−32.
Vị trí tương đối của d1 và d2 là:
Song song.
Trùng nhau.
Cắt nhau.
Chéo nhau.
Đường thẳng d1 đi qua M1−1;0;1 và có VTCP u1→=3;−1;−2
Đường thẳng d2 đi qua M21;2;3 và có VTCP u2→=−3;1;2
Ta có 3−3=−11=−22 nên u1→∥u2→ 1
−1−1−3≠0−21≠1−32 nên M1∉d2 2
Từ (1) và (2), suy ra d1 và d2 song song.
Đáp án cần chọn là: A
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng cắt nhau là:
u→,u'→≠0→u→,u'→MM'→=0
u→,u'→≠0→
u→,u'→MM'→=0
u→,u'→=0→
d cắt d'⇔u→,u'→ không cùng phương và u→,u'→,MM'→ đồng phẳng
⇔u→,u'→≠0→u→,u'→MM'→=0
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:x−31=y−22=z−11 và d2:x=ty=2z=2+t.
Vị trí tương đối của d1 và d2 là:
Song song.
Trùng nhau.
Cắt nhau.
Chéo nhau.
Đường thẳng d1 đi qua M1(3;2;1) và có VTCP u1→=1;2;1
Đường thẳng d2 đi qua M20;2;2 và có VTCP u2→=1;0;1
Ta có u1→,u2→=2;0;−2,M1M2→=−3;0;1
Suy ra u1→,u2→.M1M2→=−6+0−2=−8≠0
Do đó d1 và d2 chéo nhau.
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x=−1+2ty=−tz=−2−t. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với d?
d1:x=3ty=1+tz=5t
d2:x=2y=2+tz=1+t
d3:x−23=y2=z−1−5
d4:x+22=y−1=z+12
Đường thẳng d1 có VTCP u→1=3;1;5, đường thẳng d có VTCP u→d=2;−1;−1
Vì u→d.u→1=3.2−1.1−5.1=0
Đáp án cần chọn là: A
Công thức tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d′ đi qua điểm M′ và có VTCP u'→ là:
dA,d'=AM'→,u'→u'→
dA,d'=AM'→,u'→u'→
dA,d'=AM'→,u'→u'→
dA,d'=AM'→.u'→u'→
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d′ được tính theo công thức
dA,d'=AM'→,u'→u'→
Đáp án cần chọn là: A
Góc giữa hai đường thẳng có các VTCP lần lượt là u→,u'→ thỏa mãn:
cosφ=u→.u'→u→.u'→
cosφ=u→.u'→u→.u'→
cosφ=−u→.u'→u→.u'→
cosφ=−u→.u'→u→.u'→
Góc giữa hai đường thẳng có các VTCP lần lượt là u→,u'→
cosφ=cosu→,u'→=u→.u'→u→.u'→
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình x−13=y+22=z−3−4 và d':x+14=y1=z+12 . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d nhưng thuộc đường thẳng d′?
N(4;0;−1)
M(1;−2;3).
P(7;2;1) .
Q(7;2;3)
A: 4−13=0+22=−1−3−4=1⇒N∈d
B:1−13=−2+22=3−3−4=0⇒M∈d
C: 7−13=2+22≠1−3−4⇒P∉d và 7+14=21≠1+12⇒P∉d'
D: 7−13=2+22≠3−3−4⇒Q∉d và 7+14=21=3+12⇒Q∈d'
Đáp án cần chọn là: D
Giao điểm của hai đường thẳng d:x=−3+2ty=−2+3tz=6+4t và d':x=5+t'y=−1−4t'z=20+t'có tọa độ là
(5;−1;20)
(3;−2;1)
(3;7;18)
(−3;−2;6)
Gọi M=d∩d';do M∈d⇒M−3+2t;−2+3t;6+4t
M∈d'⇒−3+2t=5+t'−2+3t=−1−4t'6+4t=20+t'⇔t=3t'=2⇒M(3;7;18)
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;0;2), B(1;0;0), C(2;2;0) và D(0;m;0). Điều kiện cần và đủ của m để khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 2 là:
A m=4m=−2
m=−4m=2
m=4m=2
m=−4m=−2
Ta có AB→=1;0;−2,CD→=−2;m−2;0 và AC→=2;2;−2
Suy ra AB→;CD→=2m−4;4;m−2
Do đó
dAB,CD=AB→;CD→.AC→AB→;CD→⇔22m−4+8−2m−22m−42+42+m−22=2
⇔|2m+4|=25m2−20m+36⇔m=4m=2
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:x−32=y+11=z−12 và điểm M(1;2;−3). Toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d là
M′(1;2;−1)
M′(1;−2;1)
M′(1;−2;−1)
M′(1;2;1)
Gọi M′ là hình chiếu của M trên d.
d có vectơ chỉ phương u→d=(2;1;2)
M'(3+2t;−1+t;1+2t)⇒MM'→=(2+2t;−3+t;4+2t)
Ta có MM'⊥d nên
MM'→.u→d=0⇔(2+2t).2+(−3+t).1+(4+2t).2=0⇔9t+9=0⇔t=−1
⇒M'(1;−2;−1)
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d:x−2−3=y+21=z+1−2 và d':x6=y−4−2=z−24. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
d//d′.
d≡d'.
d và d′ cắt nhau.
d và d′ chéo nhau.
Ta có:
ud→(−3;1;−2);ud'→(6;−2;4)⇒ud'→=−2ud→A(2;−2;−1)∈d;∉d'⇒d//d'
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;1;−2) và đường thẳng d:x−12=y+11=z−2 . Đường thẳng qua A và song song với d có phương trình tham số là
x=1+2ty=1−tz=−2−2t
x=1+2ty=1+tz=−2−2t
x=1+2ty=1+tz=2−2t
x=1+2ty=1+tz=−2−2t
Đường thẳng d:x−12=y+11=z−2 có 1 VTCP là ud→=2;1;−2 đây cũng là VTCP của đường thẳng đi qua A và song song với d.
Đường thẳng qua A và song song với d nhận u→=2;1;−2 là VTCP, có phương trình tham số: x=1+2ty=1+tz=−2−2t
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x=1+ty=2−tz=1−3t. Đường thẳng Δ đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với trục hoành Ox và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là:
Δ:x=0y=−3tz=−t
Δ:x=ty=−3tz=t
Δ:x=ty=−3tz=−t
Δ:x=0y=−3tz=t
Đường thẳng d:x=1+ty=2−tz=1−3t có 1 VTCP là ud→=1;−1;−3, trục Ox có 1 VTCP là i→=1;0;0
Gọi uΔ→ là 1 VTCP của đường thẳng Δ, ta có
Δ⊥OxΔ⊥d⇒uΔ→.i→=0uΔ→.ud→=0⇒uΔ→=i→;ud→=(0;−3;1)
Vậy phương trình đường thẳng Δ đi qua O(0;0;0) và có 1 VTCP uΔ→=0;−3;1 là:
Δ:x=0y=−3tz=t
Đáp án cần chọn là: D
Cho hai điểm A(1;−2;0),B(0;1;1), độ dài đường cao OH của tam giác OAB là:
319
31913
6
6611
Ta có: OA→=1;−2;0,AB→=−1;3;1
⇒OA→,AB→=−2301;011−1;1−1−23=−2;−1;1
Do đó OH=dO,AB=OA→,AB→AB→=22+12+1212+32+12=6611
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:x=1+ty=0z=−5+tvà d2:x=0y=4−2t'z=5+3t'Phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2 là:
x−42=y−3=z−2−2
x=4−ty=3tz=−2+t
x+4−2=y3=z−22
x−4−2=y3=z+22
Gọi M1+t;0;t−5∈d1,N0;4−2t';5+3t'∈d2
Suy ra MN→=−1−t;4−2t';10+3t'−t
Đường thẳng d1 có VTCP a→=1;0;1,d2 có VTCP b→=0;−2;3
Để MN là đoạn vuông góc chung thì
MN→.a→=0MN→.b→=0⇔t=3t'=−1⇒M(4;0;−2)N(0;6;2)
Phương trình đường vuông góc chung là MN:x−4−2=y3=z+22
Đáp án cần chọn là: D
Cho hình lập phương A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),A′(0;0;1). Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD. Khoảng cách giữa MN và A′C là:
12
24
12
32
Gọi C(x;y;z) ta có:
AB→=DC→⇔1−0=x−00−0=y−10−0=z−0⇔x=1y=1z=0⇒C(1;1;0)
Lại có
M12;0;0,N12;1;0⇒MN→=0;1;0,A'C→=1;1;−1,MA'→=−12;0;1⇒MN→,A'C→=110−1;0−101;0111=−1;0;−1
Vậy
dMN,A'C=MN→,A'C→.MA'→MN→,A'C→=−1.−12+0.0+−1.1−12+02+−12=122=24
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian Oxyz, đường thẳng d:x+21=y−32=z−11−1 và hai điểm A(1;2;4), B(0;0;m) cùng nằm trong một mặt phẳng khi m bằng:
154
156
5
5
Bước 1: Xác định điểm M và VTCP của d.
Xét d có M−2;2;11∈d và u→1;2;−1 là vecto chỉ phương của d.
Ta có:
AM→−3;1;7;AB→−1;−2;m−4
Bước 2:
Đường thẳng d, A, B đồng phẳng ⇔u→,AB→,AM→ đồng phẳng.
⇔u→,AM→.AB→=0
Bước 3:
Xét u→,AM→.AB→
=2−117;−117−3;12−31.AB→=15;−4;7.−1;−2;m−4
=−15+8+7m−28=7m−35
u→,AM→.AB→=0⇔7m−35=0 ⇔m=5
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian Oxyz cho hai điểm M(−2;−2;1),A(1;2;−3) và đường thẳng d:x+12=y−52=z−1. Gọi Δ là đường thẳng qua M, vuông góc với đường thẳng d,d, đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất. Khoảng cách bé nhất đó là
29
6
5
349
Gọi (P) là mặt phẳng qua M(−2;−2;1) và nhận ud→=2;2;−1 làm VTPT
Phương trình mặt phẳng P:2x+2+2y+2−z−1=0
⇔2x+2y−z+9=0
Suy ra Δ⊂P. Khi đó ta có dA,Δ≥dA,P
Lại có dA,P=2.1+2.2−−3+922+22+−12=6
Vậy khoảng cách nhỏ nhất là d=6.
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d:x−32=y−41=z−21 và 2 điểm A(6;3;−2); B(1;0;−1). Gọi Δ là đường thẳng đi qua B, vuông góc với d và thỏa mãn khoảng cách từ A đến Δ là nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của Δ có tọa độ :
(1;1;−3)
(1;−1;−1)
(1;2;−4)
(2;−1;−3)
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với d⇒P: 2x+y+z−1=0
Δ đi qua B và vuông góc với d⇒Δ⊂P
Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên (P) và Δ ta có AH≤AK
Do đó để khoảng cách từ A đến Δ là nhỏ nhất ⇒H∈Δ
Phương trình AH đi qua A và nhận ud→=2;1;1 là 1 VTCP là x=6+2ty=3+tz=−2+t
H∈AH⇒H6+2t;3+t;−2+tH∈P⇒26+2t+3+t−2+t−1=0⇔6t+12=0⇔t=−2⇒H2;1;−4
Δ đi qua B,H nhận BH→1;1;−3 là 1 VTCP.
Đáp án cần chọn là: A
