ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Bài toán về điểm và vecto
24 câu hỏi
Cho hai điểm A(1;2;−1) và B(−1;3;1). Tọa độ điểm M nằm trên trục tung sao cho tam giác ABM vuông tại M .
M(0;1;0) hoặc M(0;4;0)
M(0;2;0) hoặc M(0;3;0)
M(0;−1;0) hoặc M(0;−4;0)
M(0;−2;0) hoặc M(0;−3;0)
M nằm trên trục tung, giả sử M(0;m;0). Ta có
MA→=(1;2−m;−1) và MB→=(−1;3−m;1)
Vì tam giác ABM vuông tại M nên ta có MA.→MB→=0
⇔1.(−1)+(2−m)(3−m)+(−1).1=0⇔m2−5m+4=0⇔m=1m=4
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M thỏa mãn hệ thức OM→=2i→+j→Tọa độ của điểm M là
M(0;2;1)
M(1;2;0)
M(2;0;1)
M(2;1;0)
Ta có:OM→=2i→+j→⇒OM→=2.i→+1.j→+0.k→⇔M2;1;0
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho OM→=2j→−k→ và ON→=2j→−3i→. Tọa độ của MN→ là:
(−3;0;1)
(0;−1;−3)
(−2;1;1)
(−3;0;−1)
Ta có:MN→=ON→−OM→=2j→−3i→−2j→−k→=−3i→+k→
Suy ra MN→=−3;0;1
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;−2;3),B(1;0;−1). Gọi M là trung điểm đoạn AB. Khẳng định nào sau đây là đúng?
BA→=(−1;−2;−4)
AB=21
M1;−1;1
AB→=(−1;−2;4)
Ta có:BA→=(0−1;−2−0;3+1)=(−1;−2;4) Suy ra A sai.
Suy raAB→=(1;2;−4) D sai.
Có AB=12+22+(−4)2=21B đúng.
Mà M là trung điểm của AB nên M12;−1;1C sai.
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2;−3;5),N(6;−4;−1) và đặt u=MN→. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
u=(4;−1;−6)
u=53
u=311
u=(−4;1;6)
Ta cóMN→=(6−2;−4+3;−1−5)=(4;−1;−6)
Do đó|MN→|=42+(−1)2+(−6)2=53
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian Oxyz cho ba vecto a→=−1;1;0,b→=1;1;0,c→=1;1;1.Mệnh đề nào sau đay sai?
a→=2
a→⊥b→
c→=3
b→⊥c→
Kiểm tra lần lượt các điều kiện
a→=(−1)2+12+02=2b→=12+12+12=3a→.b→=(−1).1+1.1+0.0=0⇒a→⊥b→
Lại có:b→.c→=1.1+1.1+0.1=2≠0 nên b→và c→ không vuông góc.
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian Oxyz cho 3 véc tơ: a→4;2;5,b→3;1;3,c→2;0;1. Kết luận nào sau đây đúng
c→=a→,b→
3 véc tơ cùng phương.
3 véctơ đồng phẳng.
3 véctơ không đồng phẳng.
Tínha→,b→=2513;5433;4231=1;3;−2.Suy ra loại A
Tínha→,b→.c→=1;3;−2.2;0;1=0.Suy ra a→,b→,c→ đồng phẳng.
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểmA(1;1;1),B(−1;−1;0) và C(3;1;−1). Tìm tọa độ điểm M thuộc (Oxy) và cách đều các điểm A,B,C .
M0;74;2
M2;74;0
M2;−74;0
M−2;−74;0
MM thuộc mặt phẳng (Oxy), giả sử M(m;n;0).
Ta có
MA=(m−1)2+(n−1)2+(0−1)2=(m−1)2+(n−1)2+1MB=(m+1)2+(n+1)2+(0−0)2=(m+1)2+(n+1)2MC=(m−3)2+(n−1)2+(0+1)2=(m−3)2+(n−1)2+1
Vì M cách đều ba điểm A,B,C nên ta có MA=MB=MC
⇔MA=MBMA=MC⇔MA2=MB2MA2=MC2⇔(m−1)2+(n−1)2+1=(m+1)2+(n+1)2(m−1)2+(n−1)2+1=(m−3)2+(n−1)2+1⇔4m+4n=14m=8⇔m=2n=−74
Vậy M2;−74;0
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2) , B(−1;2;4). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho :MA2+MB2=32.
M(0;0;1) hoặc M(0;0;5)
M(0;0;−1) hoặc M(0;0;5)
M(0;0;−1) hoặc M(0;0;6)
M(0;0;1) hoặc M(0;0;−5)
M nằm trên trục Oz, giả sử M(0;0;m).
Ta có
MA=(0−1)2+(0−4)2+(m−2)2=(m−2)2+17MB=(0+1)2+(0−2)2+(m−4)2=(m−4)2+5
Theo giả thiết MA2+MB2=32 suy ra ta có
(m−2)2+17+(m−4)2+5=32
⇔(m−2)2+(m−4)2=10
⇔2m2−12m+20=10
⇔2m2−12m+10=0
⇔m=1m=5
Vậy M(0;0;1) hoặc M(0;0;5)
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , để hai vecto a→=m;2;3 và b→1;n;2 cùng phương thì 2m+3n bằng.
6
9
8
7
Hai vectơ a→=m;2;3,b→=1;n;2 cùng phương khi
m1=2n=32⇔m=32n=43
⇒2m+3n=7.
Đáp án cần chọn là: D
Cho tam giác ABC biết A(2;4;−3) và trọng tâm G của tam giác có toạ độ là G(2;1;0). Khi đó AB→+AC→ có tọa độ là
(0;−9;9)
(0;−4;4)
(0;4;−4)
(0;9;−9)
Gọi M là trung điểm của BC. Ta cóAB→+AC→=2AM→
Do tính chất trọng tâm cóAM→=32AG→.Suy raAB→+AC→=3AG→
MàAG→=2−2;1−4;0−(−3)=0;−3;3.Suy ra3AG→=(0;−9;9)
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a→ và b→ thỏa mãn a→=23,b→=3 và a→,b→=300. Độ dài của vectơ 5a→,−2b→ bằng:
33.
9
303.
90
Chú ý rằng5a→,−2b→=1800−a→,b→=1500.
Sử dụng công thứcma→,nb→=m.n.a→.b→.sinma→,nb→, ta được5a→,−2b→=5.−2.23.3.sin1500=303.
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;−1),B(2;−1;3),C(−3;5;1). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
D(−2;8;−3)
D(−4;8;−5)
D(−2;2;5)
D(−4;8;−3)
CóAB→=2−1;−1−2;3+1=1;−3;4 và
DC→=(−3−xD;5−yD;1−zD)
ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
AB→=DC→⇔−3−xD=15−yD=−31−zD=4⇔xD=−4yD=8zD=−3
Đáp án cần chọn là: D
Cho hình bình hành ABCD với A(2;4;−4),B(1;1;−3),C(−2;0;5),D(−1;3;4). Diện tích của hình bình hành ABCD bằng
6182đvdt.
615đvdt.
618đvdt.
345đvdt.
Có AB→=1−2;1−4;−3+4=−1;−3;1và
AC→=−2−2;0−4;5+4=−4;−4;9
TínhAB→,AC→=−31−49;1−19−4;−1−3−4−4=−23;5;−8
Áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành có
SABCD=AB→,AC→=(−23)2+52+(−8)2=618
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, các điểm A(1;2;3),B(3;3;4),C(−1;1;2) sẽ:
thẳng hàng và A nằm giữa B và C.
thẳng hàng và C nằm giữa B và A.
thẳng hàng và B nằm giữa A và C.
là ba đỉnh của một tam giác.
CóAB→=3−1;3−2;4−3=2;1;1và
AC→=−1−1;1−2;2−3=−2;−1;−1
Nhận thấyAB→ vàAC→ là hai vectơ đối nhau.
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a→=3;−1;−2,b→=1;2;m và c→=5;1;7.Giá trị m bằng bao nhiêu để c→=a→,b→
m=−1
m=1
m=2
m=−2
Ta có:
a→,b→=−1−22m;−23m1;3−112=−m+4;−2−3m;7
c→=a→,b→⇔−m+4=5−2−3m=17=7⇔m=−1
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;2;−1), B(2;0;1). Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox sao cho :MA2+MB2 đạt giá trị bé nhất.
M(0;1;0)
M(1;0;0)
M(0;1;2)
M(−1;0;0)
M nằm trên trục Ox, giả sử M(m;0;0).
Ta có
MA=(m−0)2+(0−2)2+(0+1)2=m2+5MB=(m−2)2+(0−0)2+(0−1)2=(m−2)2+1
Suy ra
MA2+MB2=m2+5+(m−2)2+1=2m2−4m+10
=2(m2−2m+1)+8=2(m−1)2+8≥8
Vậy M(1;0;0)
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;2;−1), B(2;−1;3), C(−4;7;5). Tọa độ chân đường phân giác trong góc B^ của tam giác ABC là:
−23;113;1
23;113;13
113;−2;1
−2;11;1
Gọi D là chân đường phân giác trong góc của tam giác ABC
Ta cóDA→=−BABCDC→. Tính đượcBA=26,BC=104
Suy raDA→=−26104DC→⇔DC→=−2DA→
Gọi D(x;y;z). Từ DC→=−2DA→⇒−4−x=−2(1−x)7−y=−2(2−y)5−z=−2(−1−z)⇒x=−2/3y=11/3z=1
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;−1;1) và C′(4;5;−5). Khi đó, thể tích của hình hộp đó là:
V=9
V=7
V=10
V=13
Ta cóAB→=(1;1;1),AD→=(0;−1;0)
ABCD.A'B'C'D' là hình hộp⇒ABCD là hình bình hành. Khi đó ta cóAD→=BC→
Giả sử C(x;y;z). Ta có:BC→=(x−2;y−1;z−2)
AD→=BC→⇔x−2=0y−1=−1z−2=0⇔x=2y=0z=2⇒C(2;0;2)
Ta cóAA'→=CC'→=2;5;−7,AB→,AD→=(1;0;−1)
Theo công thức tính thể tích ta cóVABCD.A'B'C'D=AB→,AD→.AA'→=1.2+0.5+−1.−7=9
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2;−1;1), B(3;0;−1), C(2;−1;3) và D thuộc trục Oy . Tính tổng tung độ của các điểm D, biết thể tích tứ diện bằng 5.
−6
2
7
−4
Giả sửD0;y;0∈Oy
AB→=(1;1;−2),AC→=(0;0;2),AD→=(−2;y+1;−1)
Ta có AB→,AC→=2;−2;0
Theo công thức tính thể tích ta có
VABCD=16.AB→,AC→.AD→=162.(−2)−2.(y+1)+0.(−1)=166+2y
Theo giả thiết ta cóVABCD=5 suy ra ta có:
16|6+2y|=5⇔|6+2y|=30⇔2y+6=302y+6=−30⇔y=12y=−18
Suy ra D(0;12;0) hoặc D(0;−18;0)
Do đó tổng tung độ của các điểm D là 12+(−18)=−6
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4;0;4) và B(2;4;0). Điểm M di động trên tia Oz, điểm N di động trên tia Oy. Đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
10,1
11,3
9,9
10,0
Ta có H(0;0;4) và K(0;4;0) là hình chiếu của A trên Oz và B trên Oy
GọiA'0;−4;4;B'0;4;−2
Xét hai tam giác vuông AHM;AHA' có chung
HM; HA=HA'=4⇒ΔAHM=ΔA'HM (2 cạnh góc vuông)
⇒AM=A'M
Chứng minh tương tự ta có BN=B'N
Độ dài đường gấp khúc AMNB là
AM+MN+NB=A'M+MN+NB'≥A'B'=10
(Lưu ý rằng các điểmA',M,N,B' cùng nằm trên mặt phẳng Oyz).
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a→=(1;m;2),b→=(m+1;2;1) và c→=(0;m−2;2). Giá trị m bằng bao nhiêu để ba vectơ a→,b→,c→đồng phẳng
m=35
m=25
m=34
m=23
Ta có
a→,b→=m221;211m+1;1mm+12=m−4;2m+1;2−m2−m
a→,b→.c→=(2m+1)(m−2)+2(2−m2−m)
a→,b→,c→ đồng phẳng khi
a→,b→.c→=0⇔(2m+1)(m−2)+2(2−m2−m)=0⇔2m2−4m+m−2+4−2m2−2m=0⇔−5m+2=0⇔m=25
Đáp án cần chọn là: B
Cho A(1;2;5),B(1;0;2),C(4;7;−1),D(4;1;a). Để 4 điểm A,B,C,D đồng phẳng thì a bằng:
−10
0
7
-7
Có
AB→=(1−1;0−2;2−5)=(0;−2;−3)AC→=(4−1;7−2;−1−5)=(3;5;−6)AD→=(4−1;1−2;a−5)=(3;−1;a−5)
AB→,AC→=−2−35−6;−30−63;0−235=(27;−9;6)
AB→,AC→.AD→==(27;−9;6).(3;−1;a−5)=60+6a
A,B,C,D đồng phẳng khiAB→,AC→.AD→=0⇔60+6a=0⇔a=−10
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , để hai vecto a→=(m;2;3) và b→(1;n;2) cùng phương thì 2m+3n bằng.
6
9
8
7
Hai vectơa→=m;2;3,b→=1;n;2 cùng phương khi
m1=2n=32⇔m=32n=43
⇒2m+3n=7.
Đáp án cần chọn là: D
