ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Bài toán về điểm và vecto

Ta có:$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=2.\overrightarrow{i}+1.\overrightarrow{j}+0.\overrightarrow{k}\iff M\left(2;1;0\right)$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\left(2\overrightarrow{j}-3\overrightarrow{i}\right)-\left(2\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}\right)=-3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}$

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(-3;0;1\right)$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:$\overrightarrow{BA}=(0-1;-2-0;3+1)=(-1;-2;4)$ Suy ra A sai.

Suy ra$\overrightarrow{AB}=(1;2;-4)$ D sai.

Có $AB=\sqrt{1^2+2^2+{(-4)}^2}=\sqrt{21}$B đúng.

Mà M là trung điểm của AB nên $M\left(\frac{1}{2};-1;1\right)$C sai.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có$\overrightarrow{MN}=(6-2;-4+3;-1-5)=(4;-1;-6)$

Do đó$\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{4^2+{(-1)}^2+{(-6)}^2}=\sqrt{53}$

Đáp án cần chọn là: B

Kiểm tra lần lượt các điều kiện

$\left\{\begin{array}{c}\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{{(-1)}^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}\\ \left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}\\ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(-1).1+1.1+0.0=0\Rightarrow \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\end{array}\right.$

Lại có:$\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=1.1+1.1+0.1=2\ne 0$  nên $\overrightarrow{b}$và $\overrightarrow{c}$ không vuông góc.

Đáp án cần chọn là: D

Tính$\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}5& 4\\ 3& 3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}4& 2\\ 3& 1\end{array}\right|\right)=\left(1;3;-2\right)$.Suy ra loại A

Tính$\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right].\overrightarrow{c}=\left(1;3;-2\right).\left(2;0;1\right)=0$.Suy ra $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

Đáp án cần chọn là: C

MM thuộc mặt phẳng (Oxy), giả sử M(m;n;0).

Ta có

$\begin{array}{l}MA=\sqrt{{(m-1)}^2+{(n-1)}^2+{(0-1)}^2}=\sqrt{{(m-1)}^2+{(n-1)}^2+1}\\ MB=\sqrt{{(m+1)}^2+{(n+1)}^2+{(0-0)}^2}=\sqrt{{(m+1)}^2+{(n+1)}^2}\\ MC=\sqrt{{(m-3)}^2+{(n-1)}^2+{(0+1)}^2}=\sqrt{{(m-3)}^2+{(n-1)}^2+1}\end{array}$

Vì M cách đều ba điểm A,B,C nên ta có $MA=MB=MC$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{c}MA=MB\\ MA=MC\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}M{A}^2=M{B}^2\\ M{A}^2=M{C}^2\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{c}{(m-1)}^2+{(n-1)}^2+1={(m+1)}^2+{(n+1)}^2\\ {(m-1)}^2+{(n-1)}^2+1={(m-3)}^2+{(n-1)}^2+1\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{c}4m+4n=1\\ 4m=8\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{c}m=2\\ n=-\frac{7}{4}\end{array}\right.\end{array}$

M nằm trên trục Oz, giả sử M(0;0;m).

Ta có

$\begin{array}{l}MA=\sqrt{{(0-1)}^2+{(0-4)}^2+{(m-2)}^2}=\sqrt{{(m-2)}^2+17}\\ MB=\sqrt{{(0+1)}^2+{(0-2)}^2+{(m-4)}^2}=\sqrt{{(m-4)}^2+5}\end{array}$

Theo giả thiết $M{A}^2+M{B}^2=32$ suy ra ta có

${(m-2)}^2+17+{(m-4)}^2+5=32$

$\iff {(m-2)}^2+{(m-4)}^2=10$

$\iff 2m^2-12m+20=10$

$\iff 2m^2-12m+10=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}m=1\\ m=5\end{array}\right.$

Vậy M(0;0;1) hoặc M(0;0;5)

Đáp án cần chọn là: A

Hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(m;2;3\right),\overrightarrow{b}=\left(1;n;2\right)$ cùng phương khi

$\frac{m}{1}=\frac{2}{n}=\frac{3}{2}\iff \left\{\begin{array}{c}m=\frac{3}{2}\\ n=\frac{4}{3}\end{array}\right.$

$\Rightarrow 2m+3n=7.$

Đáp án cần chọn là: D

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

Do tính chất trọng tâm có$\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$.Suy ra$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$

Mà$\overrightarrow{AG}=\left(2-2;1-4;0-(-3)\right)=\left(0;-3;3\right)$.Suy ra$3\overrightarrow{AG}=(0;-9;9)$

Đáp án cần chọn là: A

Chú ý rằng$\left(5\overrightarrow{a},-2\overrightarrow{b}\right)={180}^0-\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)={150}^0.$

Sử dụng công thức$\left|\left[m\overrightarrow{a},n\overrightarrow{b}\right]\right|=\left|m.n\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\sin \left(m\overrightarrow{a},n\overrightarrow{b}\right)$, ta được$\left|\left[5\overrightarrow{a},-2\overrightarrow{b}\right]\right|=\left|5.\left(-2\right)\right|.2\sqrt{3}\mathrm{.3.}\sin {150}^0=30\sqrt{3}.$

Đáp án cần chọn là: C

Có$\overrightarrow{AB}=\left(2-1;-1-2;3+1\right)=\left(1;-3;4\right)$ và

$\overrightarrow{DC}=(-3-x_D;5-y_D;1-z_D)$

ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff \left\{\begin{array}{c}-3-x_D=1\\ 5-y_D=-3\\ 1-z_D=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_D=-4\\ y_D=8\\ z_D=-3\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: D

Có $\overrightarrow{AB}=\left(1-2;1-4;-3+4\right)=\left(-1;-3;1\right)$và

$\overrightarrow{AC}=\left(-2-2;0-4;5+4\right)=\left(-4;-4;9\right)$

Tính$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-3& 1\\ -4& 9\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 9& -4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& -3\\ -4& -4\end{array}\right|\right)=\left(-23;5;-8\right)$

Áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành có

$S_{ABCD}=\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\right|=\sqrt{{(-23)}^2+5^2+{(-8)}^2}=\sqrt{618}$

Đáp án cần chọn là: C

Có$\overrightarrow{AB}=\left(3-1;3-2;4-3\right)=\left(2;1;1\right)$và

$\overrightarrow{AC}=\left(-1-1;1-2;2-3\right)=\left(-2;-1;-1\right)$

Nhận thấy$\overrightarrow{AB}$ và$\overrightarrow{AC}$ là hai vectơ đối nhau.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

$\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-1& -2\\ 2& m\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& 3\\ m& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 2\end{array}\right|\right)=\left(-m+4;-2-3m;7\right)$

$\overrightarrow{c}=\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]\iff \left\{\begin{array}{c}-m+4=5\\ -2-3m=1\\ 7=7\end{array}\right.\iff m=-1$

Đáp án cần chọn là: A

M nằm trên trục Ox, giả sử M(m;0;0).

Ta có

$\begin{array}{l}MA=\sqrt{{(m-0)}^2+{(0-2)}^2+{(0+1)}^2}=\sqrt{m^2+5}\\ MB=\sqrt{{(m-2)}^2+{(0-0)}^2+{(0-1)}^2}=\sqrt{{(m-2)}^2+1}\end{array}$

Suy ra

$M{A}^2+M{B}^2=m^2+5+{(m-2)}^2+1=2m^2-4m+10$

$=2(m^2-2m+1)+8=2{(m-1)}^2+8\ge 8$

Vậy M(1;0;0)

Đáp án cần chọn là: B

Gọi D là chân đường phân giác trong góc  của tam giác ABC

Ta có$\overrightarrow{DA}=-\frac{BA}{BC}\overrightarrow{DC}$.  Tính được$BA=\sqrt{26},BC=\sqrt{104}$

Suy ra$\overrightarrow{DA}=-\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{104}}\overrightarrow{DC}\iff \overrightarrow{DC}=-2\overrightarrow{DA}$

Gọi D(x;y;z). Từ $\overrightarrow{DC}=-2\overrightarrow{DA}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}-4-x=-2(1-x)\\ 7-y=-2(2-y)\\ 5-z=-2(-1-z)\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x=-2/3\\ y=11/3\\ z=1\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có$\overrightarrow{AB}=(1;1;1),\overrightarrow{AD}=(0;-1;0)$

$ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ là hình hộp$\Rightarrow ABCD$ là hình bình hành. Khi đó ta có$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$

Giả sử C(x;y;z). Ta có:$\overrightarrow{BC}=(x-2;y-1;z-2)$

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\iff \left\{\begin{array}{c}x-2=0\\ y-1=-1\\ z-2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=2\\ y=0\\ z=2\end{array}\Rightarrow C(2;0;2)\right.$

Ta có$\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\left(2;5;-7\right),\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right]=(1;0;-1)$

Theo công thức tính thể tích ta có$V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}D}=\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right].\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}\right|=\left|1.2+0.5+\left(-1\right).\left(-7\right)\right|=9$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có H(0;0;4) và K(0;4;0) là hình chiếu của A trên Oz và B trên Oy

Gọi$A^{\text{'}}\left(0;-4;4\right);B^{\text{'}}\left(0;4;-2\right)$

Xét hai tam giác vuông $AHM;AH{A}^{\text{'}}$ có chung

$HM;HA=H{A}^{\text{'}}=4\Rightarrow \text{Δ}AHM=\text{Δ}{A}^{\text{'}}HM$ (2 cạnh góc vuông)

$\Rightarrow AM=A^{\text{'}}M$

Chứng minh tương tự ta có $BN=B^{\text{'}}N$

Độ dài đường gấp khúc AMNB là

$AM+MN+NB=A^{\text{'}}M+MN+N{B}^{\text{'}}\ge A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=10$

(Lưu ý rằng các điểm$A^{\text{'}},M,N,B^{\text{'}}$ cùng nằm trên mặt phẳng Oyz).

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}m& 2\\ 2& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& m+1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& m\\ m+1& 2\end{array}\right|\right)=\left(m-4;2m+1;2-m^2-m\right)$

$\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right].\overrightarrow{c}=(2m+1)(m-2)+2(2-m^2-m)$

$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng khi

$\begin{array}{l}\left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right].\overrightarrow{c}=0\iff (2m+1)(m-2)+2(2-m^2-m)=0\\ \iff 2m^2-4m+m-2+4-2m^2-2m=0\\ \iff -5m+2=0\\ \iff m=\frac{2}{5}\end{array}$

Đáp án cần chọn là: B

Có

$\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}=(1-1;0-2;2-5)=(0;-2;-3)\\ \overrightarrow{AC}=(4-1;7-2;-1-5)=(3;5;-6)\\ \overrightarrow{AD}=(4-1;1-2;a-5)=(3;-1;a-5)\end{array}\right.$

$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-2& -3\\ 5& -6\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-3& 0\\ -6& 3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& -2\\ 3& 5\end{array}\right|\right)=(27;-9;6)$

$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right].\overrightarrow{AD}==(27;-9;6).(3;-1;a-5)=60+6a$

A,B,C,D đồng phẳng khi$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right].\overrightarrow{AD}=0\iff 60+6a=0\iff a=-10$

Đáp án cần chọn là: A