ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Mặt phẳng và đường thẳng

Mặt phẳng (P) có VTPT $\overrightarrow{n_P}=\left(2;-5;4\right)$

Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với (P) nên có VTCP $\overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{n_P}=\left(2;-5;4\right)$

Do đó $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-5}=\frac{z-2}{4}$

Khi đó tọa độ hình chiếu H thỏa mãn hệ 

$\left\{\begin{array}{c}\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-5}=\frac{z-2}{4}\\ 2x-5y+4z-36=0\end{array}\right.\Rightarrow H(1;-2;6)$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:

$\left\{\begin{array}{c}\left(P\right)\perp \left(d\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_P}=\overrightarrow{u_d}=(1;1;-2)\\ A(1;2;-3)\in \left(d\right)\end{array}\Rightarrow d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+3}{-2}\right.$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:$\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{u_1}=(1;-1;-1)\\ \overrightarrow{u_2}=(2;-3;0)\end{array}\right.\Rightarrow \left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=(-3;-2;-1)$

Vì $\left(P\right)//d_1,d_2\Rightarrow \overrightarrow{n_P}=\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=(-3;-2;-1)$

Ta có:$\left(P\right):\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{n_P}(-3;-2;-1)\\ A(1;2;3)\end{array}\right.\Rightarrow -3(x-1)-2(y-2)-(z-3)=0$

$\iff -3x-2y-z+10=0$
Đáp án cần chọn là: B

Đường thẳng d đi qua A(1;3;1) và có VTCP $\overrightarrow{u_d}=\left(-3;2;-2\right)$

Mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P) nên $\overrightarrow{n_Q}=\left[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{u_d}\right]$

Ta có:$\overrightarrow{n_P}=\left(1;-3;1\right)$ và $\overrightarrow{u_d}=\left(-3;2;-2\right)\Rightarrow \left[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{u_d}\right]=\left(4;-1;-7\right)$

Mặt phẳng (Q) đi qua A(1;3;1) và nhận $\overrightarrow{n_Q}=\left(4;-1;-7\right)$ làm VTPT nên$\left(Q\right):4\left(x-1\right)-\left(y-3\right)-7\left(z-1\right)=0\iff 4x-y-7z+6=0$

Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của (P),(Q).

Dễ thấy điểm (0;−1;1) thuộc cả hai mặt phẳng và $\left[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}\right]=\left(2;1;1\right)$

Do đó d′ đi qua A(0;−1;1) và có VTCP $\overrightarrow{u_{d^{\text{'}}}}=\left(2;1;1\right)$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:$\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{n_P}=(1;-1;-1)\\ \overrightarrow{u_d}=(2;1;3)\end{array}\right.\Rightarrow [\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{u_d}]=(-2;-5;3)$

Vì $\text{Δ}$ vuông góc với d và song song với $\left(P\right)\Rightarrow \overrightarrow{u_{\text{Δ}}}=\left[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{u_d}\right]=\left(-2;-5;3\right)$

Ta có:

$\left(\Delta \right):\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{u_{\Delta }}=(-2;-5;3)\\ A(1;1;-2)\in \left(\Delta \right)\end{array}\right.\Rightarrow \frac{x-1}{-2}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{3}$

$\iff \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+2}{-3}$
Đáp án cần chọn là: C

Ta có:$\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{u_d}=(1;2;3)\\ \overrightarrow{n_P}=(1;-1;3)\end{array}\right.\Rightarrow \left[\overrightarrow{u_d},\overrightarrow{n_Q}\right]=(9;0;-3)$

Vì (Q) chứa đường thẳng d và vuông góc với  $\left(P\right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=[\overrightarrow{u_d},\overrightarrow{n_P}]$.Chọn$\overrightarrow{n}=(3;0;-1)$

Lấy $A(2;-1;1)\in \left(d\right)$,suy ra $A\in \left(Q\right)$

Ta có:$\left(Q\right):\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{n}=(3;0;-1)\\ A(2;-1;1)\in \left(Q\right)\end{array}\right.\Rightarrow 3(x-2)-1(z-1)=0$

$\iff 3x-z-5=0$

Đáp án cần chọn là: C

Mặt phẳng (P) có VTPT $\overrightarrow{n_P}=\left(1;2;-3\right)$; d có VTCP $\overrightarrow{u_d}=\left(1;1;-1\right)$

Gọi $A=d\cap \left(P\right)$ tọa độ điểm A thỏa mãn hệ

$\left\{\begin{array}{c}\frac{x+2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1}\\ x+2y-3z+4=0\end{array}\right.\Rightarrow A(-3;1;1)$

Do $\text{Δ}$ nằm trong (P) và vuông góc với dd nên có VTCP $\overrightarrow{u_{\text{Δ}}}=\left[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{u_d}\right]=\left(1;-2;-1\right)$

Khi đó đường thẳng $\text{Δ}$ được xác định là đi qua A(−3;1;1) và có VTCP $\overrightarrow{u_{\text{Δ}}}=\left[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{u_d}\right]=\left(1;-2;-1\right)$ nên có phương trình $\text{Δ}:\frac{x+3}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-1}{-1}$

Đáp án cần chọn là: C

Xét đáp án A có

$1-2.1+3.1-2=0\Rightarrow A\in \left(P\right)$

$4-2.1+3.0-2=0\Rightarrow B\in \left(P\right)$

$d(C,(P\left)\right)=\frac{|-1-8-3-2|}{\sqrt{1+4+9}}=\sqrt{14}$

Đáp án cần chọn là: A

Vì C,D cùng phía so với (P) và khoảng cách từ CC đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) nên ta có $\left(P\right)//CD$

Ta có$\overrightarrow{AB}=(-3;-1;2);\overrightarrow{CD}=(-2;4;0)\Rightarrow \left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right]=(-8;-4;-14)$

Vì $\left(P\right)//CD$ và (P) đi qua hai điểm A,B nên ta có$\overrightarrow{n_P}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right]$. Chọn $\overrightarrow{n_P}=(4;2;7)$

$\Rightarrow \left(P\right):\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{n_P}=(4;2;7)\\ A(1;2;1)\in \left(P\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left(P\right):4(x-1)+2(y-2)+7(z-1)=0$

$\iff 4x+2y+7z-15=0$

Đáp án cần chọn là: C

Mặt phẳng (P) có VTPT $\overrightarrow{n_P}=\left(1;2;0\right)$

Gọi d là đường thẳng cần tìm. Ta có $d\cap Ox=B\left(b;0;0\right)$

Suy ra d có VTCP $\overrightarrow{AB}=\left(b+1;-3;4\right)$

Do $d\parallel \left(P\right)$ nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{n_P}\Rightarrow \left(b+1\right).1+\left(-3\right).2+4.0=0\iff b=5\Rightarrow B\left(5;0;0\right).$

Đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm A,B nên có phương trình $\left\{\begin{array}{c}x=5+6t\\ y=-3t\\ z=4t\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: A

Gọi I(a;b;c) là điểm thỏa mãn đẳng thức :$2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow 2(2-a;-2-b;4-c)+3(-3-a;3-b;-1-c)=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}4-2a-9-3a=0\\ -4-2b+9-3b=0\\ 8-2c-3-3c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}-5a-5=0\\ -5b+5=0\\ -5c+5=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=1\\ b=1\\ c=1\end{array}\right.\Rightarrow I(-1;1;1)$

Ta có :

$\begin{array}{l}2M{A}^2+3M{B}^2=2{\overrightarrow{MA}}^2+3{\overrightarrow{MB}}^2\\ =2{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+3{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2\\ =5M{I}^2+\left(2I{A}^2+3I{B}^2\right)+\overrightarrow{MI}\left(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}\right)\\ =5M{I}^2+\left(2I{A}^2+3I{B}^2\right)\end{array}$

Do I, A, B cố định nên $2I{A}^2+3I{B}^2=const$

$\Rightarrow {\left(2M{A}^2+3M{B}^2\right)}_{\min }\iff 5M{I^2}_{\min }$⇔ M là hình chiếu của I trên (P)

Gọi $\left(\text{Δ}\right)$ là đường thẳng đi qua I vuông góc với (P) , ta có phương trình của

$\left(\Delta \right):\left\{\begin{array}{c}x=-1+2t\\ y=1-t\\ z=1+2t\end{array}\right.$

M là hình chiếu của I lên (P) ⇒$M\in \left(\text{Δ}\right)\Rightarrow M\left(-1+2t;1-t;1+2t\right)$

Lại có $M\in \left(P\right)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 2\left(-1+2t\right)-\left(1-t\right)+2\left(1+2t\right)-8=0\\ \iff -2+4t-1+t+2+4t-8=0\\ \iff 9t-9=0\iff t=1\Rightarrow M\left(1;0;3\right)\end{array}$

Khi đó ta có

$\begin{array}{l}M{I}^2=4+1+4=9;I{A}^2=9+9+9=27;I{B}^2=4+4+4=13\\ \Rightarrow {\left(2M{A}^2+3M{B}^2\right)}_{\min }=5.9+2.27+3.12=135\end{array}$

Đáp án cần chọn là: A

Do $\Delta$ là đường thẳng đi qua M(0;0;2) và song song với mặt phẳng

$\left(P\right):x+y+z+3=0\Rightarrow \text{Δ}\subset \left(Q\right)$ qua M và song song (P).

Phương trình mặt phẳng (Q) là: $x+y+z-2=0$

Dựng . Ta có: $AK\ge AH$  Do đó, khoảng cách từ A(5;0;0) đến đường thẳng  nhỏ nhất và bằng AH khi và chỉ khi K trùng H

Khi đó, đường thẳng $\text{Δ}$ được xác định là đường thẳng đi qua M và H.

Phương trình đường thẳng AH là $\left\{\begin{array}{c}x=5+t\\ y=t\\ z=t\end{array}\right.$

Giả sử$H\left(5+t;t;t\right)\Rightarrow 5+t+t+t-2=0\iff t=-1\Rightarrow H\left(4;-1;-1\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\left(4;-1;-3\right)\Rightarrow \text{Δ}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow{u_3}=\left(4;-1;-3\right)$

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình $BC\equiv Oz:\left\{\begin{array}{c}x=0\\ y=0\\ z=t\end{array}\right.$

Mặt phẳng (AMM′A′) đi qua A′ và vuông góc với BC nên (AMM′A′) đi qua$A^{\text{'}}\left(\sqrt{3};-1;1\right)$ và nhận$\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ làm VTPT hay

$\left(AM{M}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right):0\left(x-\sqrt{3}\right)+0\left(y+1\right)+1\left(z-1\right)=0\iff z=1$

$M=BC\cap \left(AM{M}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\Rightarrow t-1=0\iff t=1\Rightarrow M\left(0;0;1\right)$

Mà $A{A}^{\text{'}}=\mathrm{1,}{A}^{\text{'}}M=\sqrt{{\left(\sqrt{3}-0\right)}^2+{\left(-1-0\right)}^2+{\left(1-1\right)}^2}=2$

$\Rightarrow AM=\sqrt{A^{\text{'}}{M}^2-A^{\text{'}}{A}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$

Tam giác ABC đều có độ dài đường cao$AM=\frac{BC\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow BC=2$

Gọi $B\left(0;0;m\right),C\left(0;0;n\right)$ với$n\ne 0$ thì $BC=2\iff \left|m-n\right|=2$ và M(0;0;1) là trung điểm $BC\iff \frac{m+n}{2}=1\iff m+n=2$

Khi đó$m=\mathrm{0,}n=2$ vì $n\ne 0$ hay C(0;0;2)

$\Rightarrow \overrightarrow{A^{\text{'}}C}=\left(-\sqrt{3};1;1\right)$ hay$2\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\left(-2\sqrt{3};2;2\right)$  là một VTCP của A′C.

Suy ra $a=-2\sqrt{3},b=2\Rightarrow a^2+b^2={\left(-2\sqrt{3}\right)}^2+2^2=16$

Đáp án cần chọn là: B

Gọi $N=d\cap \text{Δ}$. Giả sử $N\left(2-2t;8+t;t\right)\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left(-2t;7+t;t-1\right)$

Đường thẳng $\text{Δ}:\frac{x-2}{-2}=\frac{y-8}{1}=\frac{z}{1}$ có 1 VTCP là$\overrightarrow{u_{\text{Δ}}}=\left(-2;1;1\right)$, đường thẳng d nhận$\overrightarrow{MN}$ là 1 VTPT.

Do $d\perp \text{Δ}$ nên $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{u_{\text{Δ}}}=0$

$\begin{array}{l}\iff -2t.\left(-2\right)+\left(7+t\right).1+\left(t-1\right).1=0\\ \iff 6t+6=0\iff t=-1\\ \Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left(2;6;-2\right)\end{array}$

⇒ Đường thẳng d đi qua M(2;1;1) và có 1 VTCP$\overrightarrow{u_d}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}=\left(1;3;-1\right)$ có phương trình là:$\left\{\begin{array}{c}x=2+t\text{'}\\ y=1+3t\text{'}\\ z=1-t\text{'}\end{array}\right.$

Khi đó, giao điểm của d và mặt phẳng (Oyz) ứng với t′ thỏa mãn

$x=2+t^{\text{'}}=0\iff t^{\text{'}}=-2$

⇒ Tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng (Oyz) là: (0;−5;3).

Đáp án cần chọn là: B

Gọi $M=d\cap {\text{Δ}}_1\Rightarrow M\left(1+t_1;-2+4t_1;2+3t_1\right)$

$N=d\cap {\text{Δ}}_2\Rightarrow N\left(-4+5t_2;-7+9t_2;t_2\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left(5t_2-t_1-5;9t_2-4t_1-5;t_2-3t_1-2\right)$

Vì $d\perp \left(P\right):4y-z+3=0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}\left(0;4;-1\right)$ nên $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{n}$  là 2 vectơ cùng phương.

$\begin{array}{l}\Rightarrow \overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{n}\left(k\ne 0\right)\iff \left\{\begin{array}{c}5t_2-t_1-5=0\\ 9t_2-4t_1-5=4k\\ t_2-3t_1-2=-k\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{t}_1=5t_2-5\\ 9t_2-4t_1-5=4k\\ 4t_2-12t_1-8=-4k\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{c}{t}_1=5t_2-5\\ 13t_2-16t_1-13=0\\ t_2-3t_1-2=-k\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{t}_1=5t_2-5\\ 13t_2-16(5t_2-5)-13=0\\ t_2-3t_1-2=-k\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{c}{t}_1=5t_2-5\\ -67t_2+67=0\\ t_2-3t_1-2=-k\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{t}_2=1\\ t_1=0\\ k=1\end{array}\right.\end{array}$

$\Rightarrow M\left(1;-2;2\right),N\left(1;2;1\right)\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left(0;4;-1\right)$

Vậy phương trình đường thẳng d đi qua M và có 1 VTCP$\overrightarrow{MN}\left(0;4;-1\right)$ là:

$\left\{\begin{array}{c}x=1\\ y=-2+4t\\ z=2-t\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: A