ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Phương trình mặt cầu

I là hình chiếu vuông góc của M(1,−2,3) trên trục Ox. Suy ra I(1,0,0).

Ta có $\overrightarrow{IM}=(\mathrm{0,}-\mathrm{2,3})\Rightarrow R=IM=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$

Suy ra phương trình mặt cầu: ${(x-1)}^2+y^2+z^2=13$
Đáp án cần chọn là: B

Giả sử M là giao điểm của d với mặt phẳng (Oxy).

Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng tham số$\left\{\begin{array}{c}x=t\\ y=1+2t\\ z=-1-t\end{array}\right.$

Ta có M thuộc d nên$M\left(t\mathrm{,2}t+\mathrm{1,}-t-1\right)$

Vì M thuộc $\left(Oxy\right):z=0$ nên có$-t-1=0$ hay$t=-1$ suy ra$M\left(-\mathrm{1,}-\mathrm{1,0}\right)$

Phương trình mặt cầu cần tìm có tâm$M\left(-\mathrm{1,}-\mathrm{1,0}\right)$ bán kính

Đáp án cần chọn là: A

Ta có$EF=\sqrt{{(2-0)}^2+{(1-3)}^2+{(1+1)}^2}=2\sqrt{3}$

Mặt cầu (S) đường kính EF nhận trung điểm I của EF là tâm, có I(1,2,0) và bán kính$R=\frac{1}{2}EF=\sqrt{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:$I(1;-2;2),R=\sqrt{1^2+{(-2)}^2+2^2+m}=\sqrt{9+m}$

Ta có:$R=5\iff \sqrt{9+m}=5\iff m=16$

Đáp án cần chọn là: B

Tâm I(1;2;−5)

Ta có

$\overrightarrow{AI}=(0;0;-4)=\overrightarrow{IM}=(a-1;b-2;b+5)\Rightarrow M(1;2;-9)$

Đáp án cần chọn là: B

Mặt cầu$\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y+1=0$

có bán kính$R=\sqrt{1^2+2^2+0^2-1}=2$

Vậy diện tích của mặt cầu (S) là$4\pi {.2}^2=16\pi$

Đáp án cần chọn là: D

Mặt cầu${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z+2\right)}^2=9$có tâm$I\left(2;-1;-2\right)$

Hình chiếu của I(2;−1;−2) lên trục Oz là I′(0;0;−2).

Đáp án cần chọn là: D

Tâm I thuộc mặt phẳng nên ta có $\left(xOy\right):z=0$.  Suy ra, giả sử $I\left(x,y\mathrm{,0}\right)$

Mặt cầu (S)  qua A,B,C nên ta có$IA=IB=IC=R$

Ta có

${\left\{\begin{array}{c}I{A}^2=I{B}^2\\ I{B}^2=I{C}^2\end{array}\right.}^{}$

$\iff \left\{\begin{array}{c}{(x-1)}^2+{(y-2)}^2+{\left(4\right)}^2={(x-1)}^2+{(y+3)}^2+{(-1)}^2\\ {(x-1)}^2+{(y+3)}^2+{(-1)}^2={(x-2)}^2+{(y-2)}^2+{\left(3\right)}^2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}-4y+4+16=6y+9+1\\ -2x+1+6y+9+1=-4x+4-4y+4+9\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}-10y=-10\\ 2x+10y=6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}y=1\\ x=-2\end{array}\right.$

 Vậy$I\left(-\mathrm{2,1,0}\right)$

Có $IA=\sqrt{26}=R$

Đáp án cần chọn là: B

- Liệt kê các phương trình mặt cầu cho trong 4 đáp án

+ A cho mặt cầu tâm$I_A(\mathrm{1,}-\mathrm{1,1})$ và$R_A=\sqrt{13}$

+ B cho mặt cầu tâm$I_B(\mathrm{2,}-\mathrm{1,3})$và$R_B=4$

+ C cho mặt cầu tâm$I_C(-\mathrm{2,1,}-3)$và$R_C=2\sqrt{3}$

+ D cho mặt cầu tâm$I_D(\mathrm{1,}-\mathrm{1,1})$và$R_D=\sqrt{5}$

- Kiểm tra các tâm có thuộc mặt phẳng $\left(\alpha \right)$hay không. Loại được đáp án C.

- Ta thấy $I_A\equiv I_D=I(\mathrm{1,}-\mathrm{1,1})$nên ta tính bán kính $R=IM$rồi so sánh với$R_A,R_D$

Có$IM=\sqrt{1^2+4^2+2^2}=\sqrt{21}$.Ta thấy$IM\ne R_A\ne R_D$.Loại A và D

Đáp án cần chọn là: B

Giả sử tâm I của mặt cầu (S)  thuộc d, ta có$I\left(1+2t\mathrm{,2}-t\mathrm{,1}+t\right)$.Vì mặt cầu (S)  qua A và B nên ta có $IA=IB=R$

Từ giả thiết$IA=IB$ ta có$I{A}^2=I{B}^2$

$\iff {(2t-1)}^2+{(t+2)}^2+{(2+t)}^2={(1+2t)}^2+{(4-t)}^2+t^2$

$\iff -4t+4t+4+4t+4=4t-8t+16$

$\iff 8t=8$

$\iff t=1$

Suy ra I(3,1,2) . Do đó $R=IA=\sqrt{9+9+1}=\sqrt{19}$

Do đó, đường kính mặt cầu là$2R=2\sqrt{19}$

Đáp án cần chọn là: A

Giả sử tâm I của mặt cầu (S) thuộc Oy, ta có I(0,t,0). Vì mặt cầu (S) qua A và B nên ta có$IA=IB=R$

Từ giả thiết$IA=IB$ ta có$I{A}^2=I{B}^2$

$\iff 2^2+{(t-1)}^2+{(-1)}^2=1^2+t^2+1^2$

$\iff -2t+4=0$

$\iff t=2$

Suy ra I(0,2,0). Do đó$R=IA=\sqrt{6}$

Do đó, đường kính mặt cầu là $2R=2\sqrt{6}$
Đáp án cần chọn là: A

- Thử từng tọa độ các điểm A,B,C,D vào các phương trình cho trong các đáp án A,B,C,D

+ Thay A(1,1,1) vào phương trình cho ở đáp án A có

$1^2+1^2+1^2-3-3-3-6\ne 0$

Loại A

Thay A(1,1,1) vào phương trình cho ở đáp án B có

$1^2+1^2+1^2-3-3-3+6=0$

Thay B(1,2,1)   vào phương trình cho ở đáp án B có

$1^2+2^2+1^2-3-6-3+6=0$

Thay C(1,1,2)  vào phương trình cho ở đáp án B có

$1^2+1^2+2^2-3-3-6+6=0$

Thay D(2,2,1) vào phương trình cho ở đáp án B có

Vậy A,B,C,D thỏa mãn phương trình cho ở đáp án B.

Đáp án cần chọn là: B

) có tâm $I\left(2m,-\mathrm{2,}-m\right)$

Bán kính $R=\sqrt{4m^2+4+m^2-m^2-4m}=\sqrt{4m^2-4m+4}=\sqrt{{(2m-1)}^2+3}\ge \sqrt{3}$

Dấu = xảy ra khi $2m-1=0\iff m=\frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Gọi M(x;y;z)

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}2M{A}^2+M{B}^2=165\\ \iff 2\left[{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2\right]+\left[{\left(x-4\right)}^2+{\left(y+7\right)}^2+{\left(z+9\right)}^2\right]=165\\ \iff 3x^2+3y^2+3z^2-12x+6y+6z+9=0\\ \iff x^2+y^2+z^2-4x+2y+2z+3=0\end{array}$

Do đó tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là mặt cầu tâm I(2;−1;−1)

$\Rightarrow a=\mathrm{2,}b=-\mathrm{1,}c=-1$ ,bán kính$R=\sqrt{4+1+1-3}=\sqrt{3}$

Vậy$T=a^2+b^2+c^2+R^2=4+1+1+3=9$

Đáp án cần chọn là: A