ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Phương trình mặt cầu
23 câu hỏi
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x+4y+2z−3=0. Tính bán kính R của mặt cầu (S).
R=3
R=9
R=3
R=33
Phương trình có dạng(S):x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0vớia=−1,b=2,c=1,d=−3
Ta có công thức
R=a2+b2+c2−d=(−1)2+22+12−(−3)=3
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (x−1)2+(y+2)2+(z−4)2=20
I−1,2,−4vàR=52
I−1,2,−4vàR=25
I1,−2,4vàR=20
I1,−2,4vàR=25
Phương trình có dạng(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2vớia=1,b=−2,c=4vàR=25
có tâm I(1;−2;4).
Đáp án cần chọn là: D
Tìm tâm và bán kính của mặt cầu sau: x2+y2+z2−8x+2y+1=0
Mặt cầu có tâm I(4,−1,0) và bán kính R=4.
Mặt cầu có tâm I(4,−1,0) và bán kính R=16.
Mặt cầu có tâm I(−4,1,0) và bán kính R=16.
Mặt cầu có tâm I(−4,1,0) và bán kính R=4.
Phương trình có dạng(S):x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0 vớia=−4,b=1,c=0,d=1
có tâmI(−a,−b,−c)=(4,−1,0)
cóR=a2+b2+c2−d=(−4)2+12+02−1=4
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tập tất cả giá trị của tham số m để mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2−2x+2my−4z+m+5=0 đi qua điểm A(1;1;1).
∅
−23
C0
12
(S) có dạngx2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0 vớia=−1,b=m,c=−2 vàd=m+5
(S) là phương trình mặt cầu khi ta có
a2+b2+c2−d>0⇔5+m2−(m+5)>0⇔m2−m>0
⇔m>1m<0
Điểm A(1,1,1) thuộc phương trình mặt cầu
S:x2+y2+z2−2x+2my−4z+m+5=0 thì ta có
12+12+12−2.1+2m.1−4.1+m+5=0⇔2+3m=0⇔m=−23 (thỏa mãn)
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(−3,1,2),B(1,−1,0). Phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính có tọa độ tâm là:
(−2,0,2)
(−1,0,1)
(1,0,1)
(1,0,−1)
Mặt cầu nhận AB làm đường kính có tọa độ tâm I là trung điểm của AB. Suy ra ta có:
xI=xA+xB2yI=yA+yB2zI=zA+zB2⇔xI=−1yI=0zI=1
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−4y−6z=0. Trong các điểm O(0;0;0), A(1;2;3), B(2;−1;−1) có bao nhiêu điểm thuộc mặt cầu (S)?
1
0
3
2
Thay tọa độ điểm O(0;0;0) vào phương trình mặt cầu ta có:
02+02+02−2.0−4.0−6.0=0⇒O∈S
Thay tọa độ điểm A(1;2;3) vào phương trình mặt cầu ta có:
12+22+32−2.1−4.2−6.3=−14≠0⇒A∉S
Thay tọa độ điểm B(2;−1;−1) vào phương trình mặt cầu ta có:
22+−12+−12−2.2−4.−1−6.−1=12≠0⇒B∉S
Vậy có 1 điểm thuộc mặt cầu (S).
Đáp án cần chọn là: A
Mặt cầu tâm I(0;0;1) bán kính R=2 có phương trình:
x2+y2+z−12=2
x2+y2+z+12=2
x2+y2+z−12=2
x2+y2+z+12=2
Mặt cầu tâm I(0;0;1) bán kínhR=2 có phương trình
x2+y2+z−12=22=2
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của mm để phương trình x2+y2+z2−2x−2y−4z+m=0 là phương trình của một mặt cầu.
m>6
m≥6
m≤6
m<6
(S) có dạng x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0
vớia=−1,b=−1,c=−2 và d=m
(S) là phương trình mặt cầu khi ta có a2+b2+c2−d>0⇔6−m>0⇔m<6
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(1,2,−3) và đi qua điểm A(1,0,4) có phương trình là
(x+1)2+(y+2)2+(z−3)2=53.
(x+1)2+(y+2)2+(z+3)2=53.
(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=53.
(x−1)2+(y−2)2+(z+3)2=53.
Mặt cầu (S) có tâm I(1,2,−3) và đi qua điểm A(1,0,4) có bán kính
R=IA=(1−1)2+(0−2)2+(4+3)2=53
Do đó(x−1)2+(y−2)2+(z+3)2=53.
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;−2;3). Gọi I là hình chiếu vuông góc của M trên trục Ox. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu tâm I, bán kính IM?
(x−1)2+y2+z2=13
(x−1)2+y2+z2=13
(x+1)2+y2+z2=17
(x+1)2+y2+z2=13
I là hình chiếu vuông góc của M(1,−2,3) trên trục Ox. Suy ra I(1,0,0).
Ta có IM→=(0,−2,3)⇒R=IM=22+32=13
Suy ra phương trình mặt cầu: (x−1)2+y2+z2=13
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x1=y−12=z+1−1 và điểm A(5,4,−2). Phương trình mặt cầu đi qua điểm A và có tâm là giao điểm của d với mặt phẳng (Oxy) là
(S):(x+1)2+(y+1)2+z2=65.
B, (S):(x+1)2+(y−1)2+z2=9.
(S):(x−1)2+(y+2)2+z2=64.
(S):(x+1)2+(y−1)2+(z+2)2=65.
Giả sử M là giao điểm của d với mặt phẳng (Oxy).
Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng tham sốx=ty=1+2tz=−1−t
Ta có M thuộc d nênMt,2t+1,−t−1
Vì M thuộc Oxy:z=0 nên có−t−1=0 hayt=−1 suy raM−1,−1,0
Phương trình mặt cầu cần tìm có tâmM−1,−1,0 bán kính
MA=(5+1)2+(4+1)2+(−2−0)2=65
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz, cho hai điểm E(2,1,1),F(0,3,−1). Mặt cầu (S) đường kính EF có phương trình là:
(x−1)2+(y−2)2+z2=3.
(x−1)2+(y−2)2+z2=9.
(x−2)2+(y−1)2+(z+1)2=9.
(x−1)2+y2+z2=9.
Ta cóEF=(2−0)2+(1−3)2+(1+1)2=23
Mặt cầu (S) đường kính EF nhận trung điểm I của EF là tâm, có I(1,2,0) và bán kínhR=12EF=3
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu(S):x2+y2+z2−2x+4y−4z−m=0 có bán kính R=5. Tìm giá trị của m?
m=−16
m=16.
m=4.
m=-4
Ta có:I(1;−2;2),R=12+(−2)2+22+m=9+m
Ta có:R=5⇔9+m=5⇔m=16
Đáp án cần chọn là: B
Cho mặt cầu (x−1)2+(y−2)2+(z+5)2=16 và điểm A(1;2;−1). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu sao cho độ dài đoạn AM là lớn nhất.
M(3;6;9)
M(1;2;−9)
M(1;2;9)
M(−1;−2;1)
Tâm I(1;2;−5)
Ta có
AI→=(0;0;−4)=IM→=(a−1;b−2;b+5)⇒M(1;2;−9)
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x+4y+1=0. Tính diện tích của mặt cầu (S).
4π
64π
32π3
16π
Mặt cầuS:x2+y2+z2−2x+4y+1=0
có bán kínhR=12+22+02−1=2
Vậy diện tích của mặt cầu (S) là4π.22=16π
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình (x−2)2+(y+1)2+(z+2)2=9. Gọi I là tâm mặt cầu, tọa độ hình chiếu vuông góc của I lên trục Oz là:
(2;−1;0)
(0;0;2)
(2;−1;2)
(0;0;−2)
Mặt cầux−22+y+12+z+22=9có tâmI2;−1;−2
Hình chiếu của I(2;−1;−2) lên trục Oz là I′(0;0;−2).
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1,2,−4);B(1,−3,1)và C(2,2,3) .Mặt cầu (S) đi qua A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (xOy) có bán kính là
34
26
34
26
Tâm I thuộc mặt phẳng nên ta có xOy:z=0. Suy ra, giả sử Ix,y,0
Mặt cầu (S) qua A,B,C nên ta cóIA=IB=IC=R
Ta có
IA2=IB2IB2=IC2
⇔(x−1)2+(y−2)2+(4)2=(x−1)2+(y+3)2+(−1)2(x−1)2+(y+3)2+(−1)2=(x−2)2+(y−2)2+(3)2
⇔−4y+4+16=6y+9+1−2x+1+6y+9+1=−4x+4−4y+4+9
⇔−10y=−102x+10y=6⇔y=1x=−2
VậyI−2,1,0
Có IA=26=R
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm M(2;3;3),N(2;−1;−1),P(−2;−1;3) và có tâm thuộc mặt phẳng α:2x+3y−z+2=0.
x2+y2+z2−2x+2y−2z−10=0
x2+y2+z2−4x+2y−6z−2=0
x2+y2+z2+4x−2y+6z+2=0
x2+y2+z2−2x+2y−2z−2=0
- Liệt kê các phương trình mặt cầu cho trong 4 đáp án
+ A cho mặt cầu tâmIA(1,−1,1) vàRA=13
+ B cho mặt cầu tâmIB(2,−1,3)vàRB=4
+ C cho mặt cầu tâmIC(−2,1,−3)vàRC=23
+ D cho mặt cầu tâmID(1,−1,1)vàRD=5
- Kiểm tra các tâm có thuộc mặt phẳng (α)hay không. Loại được đáp án C.
- Ta thấy IA≡ID=I(1,−1,1)nên ta tính bán kính R=IMrồi so sánh vớiRA,RD
CóIM=12+42+22=21.Ta thấyIM≠RA≠RD.Loại A và D
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2,4,−1),B(0,−2,1) và đường thẳng d có phương trình x=1+2ty=2−tz=1+t. Gọi (S) là mặt cầu đi qua A,B và có tâm thuộc đường thẳng d. Đường kính mặt cầu (S) là
219.
217.
19.
17.
Giả sử tâm I của mặt cầu (S) thuộc d, ta cóI1+2t,2−t,1+t.Vì mặt cầu (S) qua A và B nên ta có IA=IB=R
Từ giả thiếtIA=IB ta cóIA2=IB2
⇔(2t−1)2+(t+2)2+(2+t)2=(1+2t)2+(4−t)2+t2
⇔−4t+4t+4+4t+4=4t−8t+16
⇔8t=8
⇔t=1
Suy ra I(3,1,2) . Do đó R=IA=9+9+1=19
Do đó, đường kính mặt cầu là2R=219
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2,1,−1) và B(1,0,1). Mặt cầu đi qua hai điểm A,B và có tâm thuộc trục Oy có đường kính là
26.
22.
42.
6.
Giả sử tâm I của mặt cầu (S) thuộc Oy, ta có I(0,t,0). Vì mặt cầu (S) qua A và B nên ta cóIA=IB=R
Từ giả thiếtIA=IB ta cóIA2=IB2
⇔22+(t−1)2+(−1)2=12+t2+12
⇔−2t+4=0
⇔t=2
Suy ra I(0,2,0). Do đóR=IA=6
Do đó, đường kính mặt cầu là 2R=26
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các đỉnh là A(1,1,1),B(1,2,1),C(1,1,2) và D(2,2,1). Khi đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình là
x2+y2+z2−3x−3y−3z−6=0.
x2+y2+z2−3x−3y−3z+6=0.
x2+y2+z2−3x+3y−3z+6=0.
x2+y2+z2−3x−3y−3z+12=0.
- Thử từng tọa độ các điểm A,B,C,D vào các phương trình cho trong các đáp án A,B,C,D
+ Thay A(1,1,1) vào phương trình cho ở đáp án A có
12+12+12−3−3−3−6≠0
Loại A
Thay A(1,1,1) vào phương trình cho ở đáp án B có
12+12+12−3−3−3+6=0
Thay B(1,2,1) vào phương trình cho ở đáp án B có
12+22+12−3−6−3+6=0
Thay C(1,1,2) vào phương trình cho ở đáp án B có
12+12+22−3−3−6+6=0
Thay D(2,2,1) vào phương trình cho ở đáp án B có
22+22+12−6−6−3+6=0
Vậy A,B,C,D thỏa mãn phương trình cho ở đáp án B.
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2−4mx+4y+2mz+m2+4m=0 có bán kính nhỏ nhất khi m bằng
12
13
32
0
) có tâm I2m,−2,−m
Bán kính R=4m2+4+m2−m2−4m=4m2−4m+4=(2m−1)2+3≥3
Dấu = xảy ra khi 2m−1=0⇔m=12
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3),B(4;−7;−9), tập hợp các điểm M thỏa mãn 2MA2+MB2=1652 là mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính R. Giá trị biểu thức T=a2+b2+c2+R2 bằng:
T=9
T=13
T=15
T=18
Gọi M(x;y;z)
Theo bài ra ta có:
2MA2+MB2=165⇔2x−12+y−22+z−32+x−42+y+72+z+92=165⇔3x2+3y2+3z2−12x+6y+6z+9=0⇔x2+y2+z2−4x+2y+2z+3=0
Do đó tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là mặt cầu tâm I(2;−1;−1)
⇒a=2, b=−1, c=−1 ,bán kínhR=4+1+1−3=3
VậyT=a2+b2+c2+R2=4+1+1+3=9
Đáp án cần chọn là: A
