ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Mặt cầu và đường thẳng

Bước 1: Gọi (S′) là mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz.

(S) có tâm I(−1;1;2) và R=2

Bước 2: Tìm J là điểm đối xứng của tâm mặt cầu (S) qua OzOz.

Lấy đối xứng điểm I qua trục Oz ta được J(1;−1;2).

Bước 3: Tìm mặt cầu (S′) 

(S′) có tâm J và bán kính R có phương trình là: ${(x-1)}^2+{(y+1)}^2+{(z-2)}^2=4$

Đáp án cần chọn là: A

Tâm I thuộc đường thẳng d nên $I\left(t;-3+t;2t\right)$

Phương trình mặt phẳng $\left(\text{Oxz}\right):y=0$

Ta có bán kính mặt cầu $IM=2\sqrt{2}$  mặt cầu cắt mặt phẳng (Oxz) theo đường tròn có bán kính $HM=2$ suy ra $d\left(I,\left(Oxz\right)\right)=IH=\sqrt{I{M}^2-H{M}^2}=\sqrt{8-4}=2$
Ta có $|-3+t|=2\iff \left[\begin{array}{c}-3+t=2\\ -3+t=-2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}t=5\Rightarrow I(5;2;10)\\ t=1\Rightarrow I(1;-2;2)\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: A

+) Mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=1$ có tâm J(1;1;1), bán kính R=1.

+) Tìm I: $3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\iff 6\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{IA}=-\frac{2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{6}$

$A\left(0;1;1\right),\text{}B\left(3;0;-1\right),\text{}C\left(0;21;-19\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{IA}\left(-x_I;1-y_I;1-z_I\right),\text{}\overrightarrow{AB}\left(3;-1;-2\right),\text{}\overrightarrow{AC}\left(0;20;-20\right)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}-x_I=-\frac{2.3+0}{6}\\ 1-y_I=-\frac{2.(-1)+20}{6}\\ 1-z_I=-\frac{2.(-2)+(-20)}{6}\end{array}\right.\Rightarrow I(1;4;-3)$

 

+) Ta có:

 

$\begin{array}{l}3M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2\\ =3{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+2{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)}^2\\ =6{\overrightarrow{MI}}^2+3{\overrightarrow{IA}}^2+2{\overrightarrow{IB}}^2+{\overrightarrow{IC}}^2+2\overrightarrow{MI}.\left(3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)\\ =6M{I}^2+3I{A}^2+2I{B}^2+I{C}^2+2.\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{0}\\ =6M{I}^2+3I{A}^2+2I{B}^2+I{C}^2\end{array}$

Để tổng trên là nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất ⇒M là giao điểm của đoạn thẳng IJ và  mặt cầu (S).

$\overrightarrow{JI}=\left(0;3;-4\right)$ ⇒ Tọa độ điểm M thuộc đoạn IJ có dạng

Mặt khác $M\in \left(S\right)\Rightarrow {\left(1-1\right)}^2+{\left(1-\left(1+3t\right)\right)}^2+{\left(1-\left(1-4t\right)\right)}^2=1$

$\iff t^2=\frac{1}{25}\iff \left[\begin{array}{c}t=\frac{1}{5}\\ t=-\frac{1}{5}\left(L\right)\end{array}\right.\Rightarrow t=\frac{1}{5}\Rightarrow M\left(1;\frac{8}{5};\frac{1}{5}\right)\Rightarrow OM=\frac{3\sqrt{10}}{5}$

Đáp án cần chọn là: C

Khoảng cách từ tâm I đến trục Oz là: $d\left(I;\left(Oz\right)\right)=\sqrt{3^2+4^2}=5.$

Vì  tiếp xúc với trục Oz nên bán kính mặt cầu R=5.

Vậy phương trình cần tìm là 

$\left(S\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2+{\left(z+2\right)}^2=25.$

Đáp án cần chọn là: A

(S) có tâm I(1;−2;3) và $R=\sqrt{50}$

Gọi M là hình chiếu của I lên trục Ox.

Suy ra $M(1;0;0)\Rightarrow d(I,\text{Ox})=\text{MI}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\ne R\Rightarrow$ loại B.

Gọi N là hình chiếu của I lên trục Oy.

Suy ra $N(0;-2;0)\Rightarrow d(I,\text{Oy) = NI = }\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\ne R\Rightarrow$ loại C

Gọi P là hình chiếu của I lên trục Oz.

Suy ra $P(0;0;3)\Rightarrow d(I,\text{Oz})=\text{PI}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\ne R\Rightarrow$  loại D

Đáp án cần chọn là: A

Lấy $\text{A}\in \text{d}\Rightarrow \text{A}\left(2a;a;4\right)$ và $B\in d^{\text{'}}\Rightarrow B\left(b;3-b;0\right)$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(b-2a;3-a-b;-4\right)$

AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′ khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_d}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d\text{'}}}=0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{c}2.(b-2a)+1.(3-a-b)+0.(-4)=0\\ 1.(b-2a)-1.(3-a-b)+0.(-4)=0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{c}-5a+b+3=0\\ -a+2b-3=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}a=1\\ b=2\end{array}\right.\end{array}$

Suy ra $\text{A}\left(2;1;4\right),B\left(2;1;0\right)$ và $\overrightarrow{AB}=\left(0;0;-4\right)$

Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′

Có tâm I là trung điểm của AB và bán kính $R=\frac{AB}{2}$

Ta có I(2;1;2) và $R=\frac{AB}{2}=\frac{4}{2}=2$

 Vậy ta có ${(x-2)}^2+{(y-1)}^2+{(z-2)}^2=4$

Đáp án cần chọn là: C

$\overrightarrow{u_d}=(1;2;1)$ . Lấy điểm $M(1;0;2)\in d$

$\begin{array}{l}\overrightarrow{MI}=(-1;0;1)\Rightarrow \left[\overrightarrow{MI},\overrightarrow{u}\right]=(-2;2;-2)\\ R=d(I,d)=\frac{\left|\left[\overrightarrow{MI},\overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}=\frac{\sqrt{{\left(2\right)}^2+2^2+{(-2)}^2}}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}}=\sqrt{2}\end{array}$

Vậy phương trình mặt cầu tâm I(2;0;1) bán kính $\sqrt{2}$ là 

${\left(x-2\right)}^2+y^2+{\left(z-1\right)}^2=2$

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình mặt phẳng (P)  qua A , vuông góc (d) là:

$-1.\left(x-2\right)+1.\left(y+1\right)+2.\left(z-1\right)=0\iff -x+y+2z+1=0$

Gọi $I\left(1-t;2+t;-1+2t\right)=d\cap \left(P\right)$ khi đó:

$-\left(1-t\right)+\left(2+t\right)+2\left(-1+2t\right)+1=0\iff t=0\Rightarrow I\left(1;2;-1\right)$

Có $I{A}^2=14$. Phương trình mặt cầu là:

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=14$

Đáp án cần chọn là: D

Tâm mặt cầu I(1;−2;1), bán kính R=3.

Mặt phẳng (P) vuông góc với $\text{Δ}$  có phương trình dạng $2\text{x}-2y+z+D=0$

Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu nên $d(I,(P\left)\right)=R\Rightarrow |D-7|=9\iff \left[\begin{array}{c}D=-2\\ D=16\end{array}\right.$

Phương trình (P) là $2x-2y+z-2=0;2x-2y+z+16=0$
Đáp án cần chọn là: A

Ta có $I\in d\Rightarrow I(t;-1;-t)$

$\Rightarrow d(I,(P\left)\right)=d(I,(Q\left)\right)\iff \frac{|t-2-2t+3|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{|t-2-2t+7|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}$

$\iff |-t+1|=|-t+5|\iff t=3$

$\Rightarrow I(3;-1;-3)$

$\Rightarrow R=\frac{|-3+1|}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow \left(S\right){(x-3)}^2+{(y+1)}^2+{(z+3)}^2=\frac{4}{9}$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

 $\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\left(0;2;-1\right)\\ \overrightarrow{AC}=\left(-1;2;-2\right)\\ \left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(-2;1;2\right)\end{array}$

Mặt phẳng (ABC) có vecto pháp tuyến là $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(-2;1;2\right)$

Suy ra $\left(P\right)//\left(ABC\right)$

Trên mặt phẳng (ABC) có 4 điểm M,N,P,Q cách đều AB,BC,AC là tâm đường tròn nội tiếp, 3 tâm đường tròn bàng tiếp các góc A,B,C do đó có 4 điểm M′,N′,P′,Q′  trên mặt phẳng (P) là hình chiếu vuông góc của M,N,P,Q trên (P) thỏa mãn tính chất cách đều AB,BC,AC.

Tương ứng có 4 mặt cầu tâm M′,N′,P′,Q′ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Dễ thấy $E\in \left(P\right)$.Gọi I(3;2;5) là tâm khối cầu.

Đường thẳng qua I vuông góc với (P): $\left\{\begin{array}{c}x=3+2t\\ y=2+2t\\ z=5-t\end{array}\right.\left(d\right)$

Gọi H là hình chiếu của I lên (P) $\Rightarrow H\in \left(d\right)\Rightarrow H\left(3+2t;2+2t;5-t\right)$

Lại có $H\in \left(P\right)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 2\left(3+2t\right)+2\left(2+2t\right)-5+t-3=0\\ \iff 6+4t+4+4t-5+t-3=0\\ \iff 9t+2=0\iff t=\frac{-2}{9}\Rightarrow H\left(\frac{23}{9};\frac{14}{9};\frac{47}{9}\right)\\ \Rightarrow \overrightarrow{EH}\left(\frac{5}{9};\frac{5}{9};\frac{20}{9}\right)=\frac{5}{9}\left(1;1;4\right)//\left(1;1;4\right)=\overrightarrow{a}\end{array}$

Để đường thẳng $\left(\text{Δ}\right)$ cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm sao cho chúng có khoảng cách nhỏ nhất thì đường thẳng $\left(\text{Δ}\right)$ đi qua E và vuông góc với HE.

Ta có: 

$\left\{\begin{array}{c}\overrightarrow{u_{\Delta }}\perp \overrightarrow{n_P}\\ \overrightarrow{u_{\Delta }}\perp \overrightarrow{a}\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{u_{\Delta }}=\left[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{a}\right]$

$\text{=}\left(\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ 4& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 1\end{array}\right|\right)=(9;-9;0)=9(1;-1;0)$

Vậy đường thẳng $\left(\Delta \right)$ đi qua E và nhận (1;−1;0) là 1 VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng $\left(\Delta \right)$ : $\left\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=1-t\\ z=3\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: C