ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Mặt cầu và mặt phẳng

(S) có tâm I(1;1;1) và bán kính R=8.

Tâm đường tròn giao tuyến (C) là hình chiếu vuông góc H của I trên (P).

Đường thẳng $\Delta$ qua I và vuông góc với  (P) có phương trình là

$\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}$

Do $H\in \Delta$ nên $H(2t+1;2t+1;t+1)$

Ta có $H\in \left(P\right)$ nên:

$2(2t+1)+2(2t+1)+t+1+10=0\iff 9t+15=0\iff t=-\frac{5}{3}$

$\Rightarrow H(\frac{-7}{3};\frac{-7}{3};\frac{-2}{3})$

Đáp án cần chọn là: A

Gọi E là một điểm thuộc đường tròn.

Ta có $IH=d\left(I,\left(\alpha \right)\right);R=IE;r=HE$

$IH=\sqrt{1+3^2+{(-2)}^2}=\sqrt{14}$

Tam giác IHE vuông tại H nên $IE=\sqrt{I{H}^2+H{E}^2}=\sqrt{14+4}=\sqrt{18}$

Suy ra phương trình mặt cầu (S) là:

Đáp án cần chọn là: A

Mặt cầu$\left(S\right):x^2+y^2+z^2+6x-4z+9-m^2=0$ có tâm I(−3;0;2) và bán kính$R=\sqrt{m^2+4}$

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là $x=0\Rightarrow d\left(I;\left(Oyz\right)\right)=\frac{\left|-3\right|}{1}=3$

$\Rightarrow R=\sqrt{m^2+4}=3\iff m=\pm \sqrt{5}$

Tích các giá trị của m là $\sqrt{5}.\left(-\sqrt{5}\right)=-5$

Đáp án cần chọn là: A

$\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y-2z-3=0$ có tâm I(1;−2;1)I(1;−2;1) và bán kính R=3.

Do (P) đi qua A,B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên (P) đi qua tâm I của (S)

Ta có: $\overrightarrow{IA}=\left(-1;1;-1\right),\overrightarrow{IB}=\left(0;3;-2\right);\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}=\left[\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB}\right]=\left(1;-2;-3\right)$

Phương trình mặt phẳng $\left(P\right):1(x–0)–2(y+1)–3(z–0)=0$ hay$x–2y–3z–2=0$
Đáp án cần chọn là: B

Gọi O là tâm của đường tròn thiết diện, E là một điểm thuộc đường tròn.

Ta có:$IO=d\left(I,\left(P\right)\right);R=IE$

$IO=d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.\right(-1)-2.2+5+10|}{\sqrt{2^2+2^2+1}}=3$

$S=3\pi =\pi .O{E}^2\iff O{E}^2=3$

Tam giác IOE vuông tại O nên$R^2=I{E}^2=I{O}^2+O{E}^2=3+9=12.$

Suy ra phương trình mặt cầu (S) là:

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+5\right)}^2=12$hay

Đáp án cần chọn là: A

(S) có tâm I(–1;2;1) và R=1.

Gọi$\overrightarrow{v}\left(t;0;t\right)$là vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}\left(1;0;1\right)$sao cho phép tịnh tiến vectơ đó biến (S) thành (S′) tiếp xúc với (P)

Phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow{v}\left(t;0;t\right)$ biến I thành $I^{\text{'}}(–1+t;2;1+t)$

Suy ra (S′) có tâm I′ và bán kính$R^{\text{'}}=R=1$

(S′) tiếp xúc (P)

$\iff d(I;(P\left)\right)=1\iff \frac{|-1+t-2.2+2(1+t)-3|}{\sqrt{1+4+4}}=1$

$\iff |3t-6|=3\iff \left[\begin{array}{c}t=3\\ t=1\end{array}\right.$

Với$t=3\Rightarrow \overrightarrow{v}\left(3;0;3\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{v}\right|=3\sqrt{2}$

Với$t=1\Rightarrow \overrightarrow{v}\left(1;0;1\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{2}$

Vậy giá trị lớn nhất của MN là $3\sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Vì $I\in \text{Δ}:\frac{x-1}{-2}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{1}$ nên ta gọi$I\left(1-2t;2t;2+t\right)$

Vì (S) tiếp xúc với$\left(P\right):2x-y+z-3=0$  tại điểm H(1;−1;0) nên ta có:$d\left(I;\left(P\right)\right)=IH=R$

$\begin{array}{l}\iff \frac{\left|2.\left(1-2t\right)-2t+2+t-3\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+1^2}}=\sqrt{{\left(2t\right)}^2+{\left(-1-2t\right)}^2+{\left(-2-t\right)}^2}\\ \iff \frac{\left|-5t+1\right|}{\sqrt{6}}=\sqrt{9t^2+8t+5}\\ \iff 25t^2-10t+1=54t^2+48t+30\\ \iff 29t^2+58t+29=0\\ \iff t^2+2t+1=0\\ \iff {\left(t+1\right)}^2=0\\ \iff t=-1\end{array}$

$\Rightarrow I\left(3;-2;1\right)$ và $R=IH=\sqrt{6}$

Vậy phương trình mặt cầu (S) là:${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=6$

Đáp án cần chọn là: C

Đường thẳng$\text{Δ}:\frac{x-1}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z+2}{-1}$ có 1 VTCP là$\overrightarrow{u}=\left(3;-2;-1\right)$

Vì $\left(\alpha \right)\perp \text{Δ}$ nên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có 1 VTPT là$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}=\left(3;-2;-1\right)$.Khi đó phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có dạng $3x-2y-z+d=0$

Mặt cầu$\left(S\right):x^2+y^2+z^2-8x+2y+2z-3=0$ có tâm I(4;−1;−1), bán kính$R=\sqrt{16+1+1+3}=\sqrt{21}$

Gọi r là bán kính đường tròn$\left(C\right),d=d\left(I;\left(\alpha \right)\right)$

Áp dụng định lí Pytago ta có:$R^2=r^2+d^2$ do đó để r đạt GTLN thì d phải đạt GTNN (vì$R=\sqrt{21}$ không đổi).

Ta có: $d=\frac{\left|3.4-2.\left(-1\right)-1.\left(-1\right)+d\right|}{\sqrt{3^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\left|15+d\right|}{\sqrt{14}}\ge 0$ suy ra$d_{\min }=0\iff d=-15$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ cần tìm là:$3x-2y-z-15=0$

Đáp án cần chọn là: D

Bước 1:

Dễ dàng nhận thấy O,A,B đều nằm ngoài mặt cầu (C) nên (OAB) không cắt mặt cầu (C).

Mặt cầu (C) ta có tâm I(−1;3;2), bán kính R=1.

Ta có$\overrightarrow{OA}=\left(2;1;0\right),\overrightarrow{OB}=\left(0;2;0\right)\Rightarrow \left[\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right]=\left(0;0;4\right)$

$\Rightarrow S_{\text{Δ}OAB}=\frac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right]\right|=2$

Bước 2:

$\Rightarrow V_{S.OAB}=\frac{1}{3}d\left(S;\left(OAB\right)\right).S_{\text{Δ}OAB}$

Vì$S_{\text{Δ}OAB}$ không đổi nên$V_{S.OAB}$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 
$d\left(S;\left(OAB\right)\right)$ lớn nhất, khi đó $d\left(S;\left(OAB\right)\right)=R+d\left(I;\left(OAB\right)\right)$

Bước 3:

Mặt phẳng (OAB) nhận$\overrightarrow{n}=\frac{1}{4}\left[\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right]=\left(0;0;1\right)$ là 1 VTPT nên có phương trình: z = 0.

$\Rightarrow d\left(I;\left(OAB\right)\right)=\left|z_I\right|=2\Rightarrow d{\left(S;\left(OAB\right)\right)}_{\max }=1+2=3$

Vậy $\max V_{S.OAB}=\frac{1}{3}\mathrm{.3.2}=2$

Đáp án cần chọn là: C

Giả sử M(a;b;c) là điểm cần tìm.

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) bán kính R=3.
Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua I và vuông góc với mp(P).

$\Rightarrow \Delta :\left\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=2-2t\\ z=3+t\end{array}\right.$

Đường thẳng $\Delta$ cắt mặt cầu tại 2 điểm A,B. Toạ độ A,B là nghiệm của hệ:

$\left\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=2-2t\\ z=3+t\\ {(x-1)}^2+{(y-2)}^2+{(z-3)}^2=9\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}t=1\\ t=-1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}A(3;0;4)\\ B(-1;4;2)\end{array}\right.$

Ta có: $d\left(A;\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.3-2.0+4+3\right|}{\sqrt{2^2+2^2+1}}=\frac{13}{3}$

và$d\left(B;\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.(-1)-2.4+2+3\right|}{\sqrt{2^2+2^2+1}}=\frac{5}{3}$

Do đó điểm cần tìm là điểm$A\equiv M\Rightarrow a+b+c=3+0+4=7$

Đáp án cần chọn là: C

(S) có tâm I(5;−3;7) và bán kính $R=6\sqrt{2}$

Theo đề bài ta có phương trình (P) có dạng $x+m(y-8)+n(z-2)=0$

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên

$\text{d}(I,(P\left)\right)=\frac{\left|5+m(-3-8)+n(7-2)\right|}{\sqrt{1+m^2+n^2}}=\frac{\left|5-11m+5n\right|}{\sqrt{1+m^2+n^2}}=6\sqrt{2}$

$\begin{array}{l}\iff \left|5-11m+5n\right|=6\sqrt{2}.\sqrt{1+m^2+n^2}\\ \iff 25+121m^2+25n^2-110m+50n-110mn=72(1+m^2+n^2)\\ \iff 49m^2-110m+50n-110mn-47n^2-47=0\\ \iff 49m^2-110m(n+1)-47n^2+50n-47=0\left(1\right)\\ =3025{(n+1)}^2-49(-47n^2+50n-47)=5328n^2+3600n+5328>0\end{array}$

Phương trình (*) luôn có  nghiệm

$\begin{array}{l}\text{d}(B,(P\left)\right)=\frac{\left|1+m(1-8)+n(-9-2)\right|}{\sqrt{1+m^2+n^2}}=\frac{\left|1-7m-11n\right|}{\sqrt{1+m^2+n^2}}\\ =>d(B,(P\left)\right)\max =AB\iff \frac{\left|1-7m-11n\right|}{\sqrt{1+m^2+n^2}}=3\sqrt{19}\iff \sqrt{1+m^2+n^2}=\frac{\left|1-7m-11n\right|}{3\sqrt{19}}\end{array}$

Mặt khác $\frac{\left|5-11m+5n\right|}{6\sqrt{2}}=\sqrt{1+m^2+n^2}$

$\frac{\left|1-7m-11n\right|}{3\sqrt{19}}=\frac{\left|5-11m+5n\right|}{6\sqrt{2}}$

$\begin{array}{l}72(1+49m^2+121n^2-14m-22n+154mn)=171(25+121m^2+25n^2-110m+50n-110mn)\\ \iff 8(1+49m^2+121n^2-14m-22n+154mn)=19(25+121m^2+25n^2-110m+50n-110mn)\\ \iff -1907m^2+493n^2+1978m-1126n+3322mn-467=0\left(2\right)\end{array}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow m.n=\frac{276}{49}$
Đáp án cần chọn là: A