ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Mặt cầu và mặt phẳng
21 câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(2;1;−1) và tiếp xúc với mặt phẳng α có phương trình 2x−2y−z+3=0. Bán kính của (S) là:
2
23
29
43
Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng (α) nên ta có R=d(I,α)
Suy ra R=d(I,α)=2.2−2.1−(−1)+34+4+1=63=2
Đáp án cần chọn là: A
Mặt phẳng (Oyz) cắt mặt cầu S:x2+y2+z2+2x−2y+4z−3=0 theo một đường tròn có tọa độ tâm là
(−1;0;0)
(0;−1;2)
(0;2;−4)
(0;1;−2)
Phương trình mặt phẳng (Oyz):x=0 nên ta loại được đáp án A.
Véc tơ pháp tuyến của Oyz:n→=(1;0;0)
Tọa độ của mặt cầu (S) là I(−1;1;−2)
Gọi điểm O là điểm cần tìm có O(0;b;c)
Do IO vuông góc với (Oyz) nên OI→ cùng phương với n→=(1;0;0)
Suy ra b=1;c=−2
Đáp án cần chọn là: D
Viết phương trình mặt cầu có tâm I(−1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):2x−y−2z+1=0
x+12+y−22+z−32=2
x+12+y−22+z−32=3
x+12+y−22+z−32=4
x+12+y−22+z−32=9
Khoảng cách từ I đến (P) được tính theo công thức
dI;P=2.−1−2−2.3+122+−12+−22=3
Phương trình mặt cầu cần tìm là x+12+y−22+z−32=9
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I(−3;2;−4) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)?
x−32+y+22+z−42=2
x+32+y−22+z+42=9
x+32+y−22+z+42=4
x−32+y+22+z−42=16
Vì mặt cầu có tâm I(−3;2;−4) tiếp xúc với mp(Oxz) nên r=2.
Phương trình mặt cầu cần tìm là :x+32+y−22+z+42=4
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian vớ hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(3;2;−1) và đi qua điểm A(2;1;2). Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với (S) tại A?
x+y−3z−8=0
x−y−3z+3=0
x+y+3z−9=0
x+y−3z+3=0
(P) là mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A nếu và chỉ nếu (P) đi qua A và IA→⊥P
Ta có:IA→=(−1;−1;3) là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Mà (P) lại đi qua A(2;1;2) nên:P:−1x−2−1y−1+3z−2=0⇔x+y−3z+3=0
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu S:x−12+y+12+z+22=4 và 2 đường thẳng Δ1:x=2ty=1−tz=t và Δ2:x−1−1=y1=z−1. Một phương trình mặt phẳng (P) song song với Δ1,Δ2 và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:
x+z+3−22=0
y+z−3−22=0
x+y+3+22=0
y+z+3+22=0
(S) có tâmI(1;−1;−2);R=2
Vì (P) song song với Δ1,Δ2 có vtcp tương ứng làu1→=2;−1;1;u2→=−1;1;−1
ta cónP→=[u1→,u2→]=−111−1;12−1−1;2−1−11=(0;1;1)
Gọi (P):y+z+d=0
d(I;P)=|−1−2+d|2=|d−3|2
⇒|d−3|2=2⇔d−3=22d−3=−22⇔d=3+22d=3−22⇔y+z+3+22=0y+z+3−22=0
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua điểm A(2;−2;5) và tiếp xúc với các mặt phẳng α:x=1,β:y=−1,γ:z=1. Bán kính của mặt cầu (S) bằng:
33
1
32
3
Gọi I(a;b;c). Do mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng(α),β,γnên ta có dI,α=dI,β=dI,γ=R
Suy raa−1=b+1=c−1=R
Do điểm A(2;−2;5) thuộc miềnx>1;y<−1;z>1 nên I(a;b;c) cũng thuộc miềnx>1;y<−1;z>1
Khi đóIR+1;−1−R;R+1.
Mặt khác IA=R⇒R−12+R−12+R−42=R2⇔R=3
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x−22+y+12+z−42=10 và mặt phẳng P:−2x+y+5z+9=0 . Gọi (Q) là tiếp diện của (S) tại M(5;0;4) . Tính góc giữa (P) và (Q).
45∘
60∘
120∘
30∘
Gọi mặt cầu tâm I(2;−1;4).
Mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) (tâm I, bán kính R) tại điểm M chính là mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với bán kính IM tại tiếp điểm M
Mặt phẳng qua M(5;0;4) vuông góc với IMIM→=(3;1;0)có phương trình:
(Q):3x−5+ y =0⇔3x+y−15=0.
Có:n→P(−2;1;5);n→Q(3;1;0)
Nên ta có:
cos(P);(Q)^=cosnP→;nQ→^=−6+110.10=12⇒(P);(Q)^=600
Đáp án cần chọn là: B
Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ tâm I của đường tròn giao tuyến của mặt cầu S:x−12+y−12+z−12=64 với mặt phẳngα:2x+2y+z+10=0.
−73;−73;−23
−2;−2;−2
−23;−73;−73
−73;−23;−73
(S) có tâm I(1;1;1) và bán kính R=8.
Tâm đường tròn giao tuyến (C) là hình chiếu vuông góc H của I trên (P).
Đường thẳng Δ qua I và vuông góc với (P) có phương trình là
x−12=y−12=z−11
Do H∈Δ nên H(2t+1;2t+1;t+1)
Ta có H∈(P) nên:
2(2t+1)+2(2t+1)+t+1+10=0⇔9t+15=0⇔t=−53
⇒H(−73;−73;−23)
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ tâm I của đường tròn giao tuyến của mặt cầu S:x−12+y−12+z−12=64 với mặt phẳngα:2x+2y+z+10=0.
−73;−73;−23
−2;−2;−2
−23;−73;−73
−73;−23;−73
(S) có tâm I(1;1;1) và bán kính R=8.
Tâm đường tròn giao tuyến (C) là hình chiếu vuông góc H của I trên (P).
Đường thẳng Δ qua I và vuông góc với (P) có phương trình là
x−12=y−12=z−11
Do H∈Δ nên H(2t+1;2t+1;t+1)
Ta có H∈(P) nên:
2(2t+1)+2(2t+1)+t+1+10=0⇔9t+15=0⇔t=−53
⇒H(−73;−73;−23)
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,(α) cắt mặt cầu (S) tâm I(1;−3;3) theo giao tuyến là đường tròn tâm H(2;0;1) , bán kính r=2 . Phương trình (S) là:
x−12+y+32+z−32=18
x+12+y−32+z+32=4
x+12+y−32+z+32=18
x−12+y+32+z−32=4
Gọi E là một điểm thuộc đường tròn.
Ta có IH=dI,(α); R=IE; r=HE
IH=1+32+(−2)2=14
Tam giác IHE vuông tại H nên IE=IH2+HE2=14+4=18
Suy ra phương trình mặt cầu (S) là:
x−12+y+32+z−32=18
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầS:x2+y2+z2+6x−4z+9−m2=0. Gọi T là tập các giá trị của m để mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz). Tích các giá trị của m trong T bằng:
−5
5
0
4
Mặt cầuS:x2+y2+z2+6x−4z+9−m2=0 có tâm I(−3;0;2) và bán kínhR=m2+4
Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là x=0⇒dI;Oyz=−31=3
⇒R=m2+4=3⇔m=±5
Tích các giá trị của m là 5.−5=−5
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;−1;0),B(1;1;−1) và mặt cầu S:x2+y2+z2−2x+4y−2z−3=0. Mặt phẳng (P) đi qua A,B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:
x−2y+3z−2=0
x−2y−3z−2=0
x+2y−3z−6=0
2x−y−1=0
(S):x2+y2+z2−2x+4y−2z−3=0 có tâm I(1;−2;1)I(1;−2;1) và bán kính R=3.
Do (P) đi qua A,B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên (P) đi qua tâm I của (S)
Ta có: IA→=−1;1;−1,IB→=0;3;−2;n(P)→=IA→,IB→=1;−2;−3
Phương trình mặt phẳng (P):1(x–0)–2(y+1)–3(z–0)=0 hayx–2y–3z–2=0
Đáp án cần chọn là: B
Mặt cầu (S) có tâm I(−1;2;−5) cắt mặt phẳng theo thiết diện là hình tròn có diện tích 3π. Phương trình của (S) là:
x2+y2+z2+2x−4y+10z+18=0
(x+1)2+(y−2)2+(z+5)2=25
(x+1)2+(y−2)2+(x−5)2=16
x2+y2+z2+2x−4y+10z+12=0
Gọi O là tâm của đường tròn thiết diện, E là một điểm thuộc đường tròn.
Ta có:IO=dI,(P);R=IE
IO=dI,(P)=|2.(−1)−2.2+5+10|22+22+1=3
S=3π=π.OE2⇔OE2=3
Tam giác IOE vuông tại O nênR2=IE2=IO2+OE2=3+9=12.
Suy ra phương trình mặt cầu (S) là:
x+12+y−22+z+52=12hay
x2+y2+z2+2x−4y+10z+18=0
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P:x−2y+2z−3=0 và mặt cầu S:x2+y2+z2+2x−4y−2z+5=0. Giả sử M∈P và N∈S sao cho MN→ cùng phương với vectơ u→=1;0;1 và khoảng cách MN lớn nhất. Tính MN
MN = 3
MN=1+22
MN=32
MN=14
(S) có tâm I(–1;2;1) và R=1.
Gọiv→t;0;tlà vectơ cùng phương với vectơ u→1;0;1sao cho phép tịnh tiến vectơ đó biến (S) thành (S′) tiếp xúc với (P)
Phép tịnh tiến vectơ v→t;0;t biến I thành I'(–1+t;2;1+t)
Suy ra (S′) có tâm I′ và bán kínhR'=R=1
(S′) tiếp xúc (P)
⇔d(I;(P))=1⇔|−1+t−2.2+2(1+t)−3|1+4+4=1
⇔|3t−6|=3⇔t=3t=1
Vớit=3⇒v→3;0;3⇒v→=32
Vớit=1⇒v→1;0;1⇒v→=2
Vậy giá trị lớn nhất của MN là 32
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ:x−1−2=y2=z−21 và mặt phẳng P:2x−y+z−3=0. Gọi (S) là mặt cầu có tâm I thuộc và tiếp xúc với (P) tại điểm H(1;−1;0). Phương trình của (S) là:
x−32+y+22+z−12=36
x−32+y−22+z−12=36
x−32+y+22+z−12=6
x−32+y−22+z−12=6
Vì I∈Δ: x−1−2=y2=z−21 nên ta gọiI1−2t; 2t; 2+t
Vì (S) tiếp xúc vớiP: 2x−y+z−3=0 tại điểm H(1;−1;0) nên ta có:dI;P=IH=R
⇔2.1−2t−2t+2+t−322+−12+12=2t2+−1−2t2+−2−t2⇔−5t+16=9t2+8t+5⇔25t2−10t+1=54t2+48t+30⇔29t2+58t+29=0⇔t2+2t+1=0⇔t+12=0⇔t=−1
⇒I3;−2;1 và R=IH=6
Vậy phương trình mặt cầu (S) là:x−32+y+22+z−12=6
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x2+y2+z2−8x+2y+2z−3=0 và đường thẳng Δ:x−13=y−2=z+2−1. Mặt phẳng α vuông góc với Δ và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính lớn nhất. Phương trình α là:
3x−2y−z−5=0
3x−2y−z+5=0
3x−2y−z+15=0
3x−2y−z−15=0
Đường thẳngΔ: x−13=y−2=z+2−1 có 1 VTCP làu→=3;−2;−1
Vì α⊥Δ nên mặt phẳng α có 1 VTPT làn→=u→=3;−2;−1.Khi đó phương trình mặt phẳng α có dạng 3x−2y−z+d=0
Mặt cầuS: x2+y2+z2−8x+2y+2z−3=0 có tâm I(4;−1;−1), bán kínhR=16+1+1+3=21
Gọi r là bán kính đường trònC,d=dI;α
Áp dụng định lí Pytago ta có:R2=r2+d2 do đó để r đạt GTLN thì d phải đạt GTNN (vìR=21 không đổi).
Ta có: d=3.4−2.−1−1.−1+d32+−22+−12=15+d14≥0 suy radmin=0⇔d=−15
Vậy phương trình mặt phẳng α cần tìm là:3x−2y−z−15=0
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (C):(x+1)2+(y−3)2+(z−2)2=1 và hai điểm A(2;1;0), B(0;2;0). Khi điểm S thay đổi trên mặt cầu (C), thể tích của khối chóp S.OAB có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?
6
4
2
1
Bước 1:
Dễ dàng nhận thấy O,A,B đều nằm ngoài mặt cầu (C) nên (OAB) không cắt mặt cầu (C).
Mặt cầu (C) ta có tâm I(−1;3;2), bán kính R=1.
Ta cóOA→=2;1;0, OB→=0;2;0⇒OA→;OB→=0;0;4
⇒SΔOAB=12OA→;OB→=2
Bước 2:
⇒VS.OAB=13dS;OAB.SΔOAB
VìSΔOAB không đổi nênVS.OAB đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
dS;OAB lớn nhất, khi đó dS;OAB=R+dI;OAB
Bước 3:
Mặt phẳng (OAB) nhậnn→=14OA→;OB→=0;0;1 là 1 VTPT nên có phương trình: z = 0.
⇒dI;OAB=zI=2⇒dS;OABmax=1+2=3
Vậy maxVS.OAB=13.3.2=2
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x−y−2z−2=0 và mặt phẳng (Q):2x−y−2z+10=0 song song với nhau. Biết A(1;2;1) là điểm nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Gọi (S) là mặt cầu qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Biết rằng khi (S) thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó
r=253
r=423
r=223
r=53
Bước 1: Tính d((P),(Q))
Ta thấy M(1;0;0) là một điểm thuộc (P)
Vì P//Q nên d((P),(Q))=d(M,(Q))=|2+10|22+(−1)2+(−2)2=4
Bước 2: Giả sử I(a;b;c) là tâm của (S). Chứng minh I luôn thuộc mặt phẳng (R)
Giả sử I(a;b;c) là tâm của (S). Vì (S) tiếp xúc với cả (P) và (Q) nên bán kính mặt cầu (S) là
R=d((P),(Q))2=42=2
Do đó IA=2 nên I luôn thuộc mặt cầu (T) tâm A, bán kính 2
Ngoài ra,
d(I,(P))=d(I,(Q))⇔|2a−b−2c−2|22+(−1)2+(−2)2=|2a−b−2c+10|22+(−1)2+(−2)2
⇔|2a−b−2c−2|=|2a−b−2c+10|
⇔2a−b−2c+4=0.
Do đó, I luôn thuộc mặt phẳng (R):2x−y−2z+4
Bước 3: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (R).Tính HI và tính bán kính r
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (R). Vì A,
Ta cóAH=d(A,(R))=|2.1−2−2.1+4|22+(−1)2+(−2)2=23
Mà AH⊥(R)⇒AH⊥HI,do đó ΔAHI vuông tại H nên
HI=AI2−AH2=22−232=423
Vậy I luôn thuộc đường tròn tâm H, nằm trên mặt phẳng (R), bán kínhr=423
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x−12+y−22+z−32=9 và mặt phẳng P:2x−2y+z+3=0. Gọi M(a;b;c) là điểm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. Khi đó:
a+b+c=5
a+b+c=6
a+b+c=7
a+b+c=8
Giả sử M(a;b;c) là điểm cần tìm.
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) bán kính R=3.
Gọi Δ là đường thẳng qua I và vuông góc với mp(P).
⇒Δ:x=1+2ty=2−2tz=3+t
Đường thẳng Δ cắt mặt cầu tại 2 điểm A,B. Toạ độ A,B là nghiệm của hệ:
x=1+2ty=2−2tz=3+t(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=9⇔t=1t=−1
⇔A(3;0;4)B(−1;4;2)
Ta có: dA;P=2.3−2.0+4+322+22+1=133
vàdB;P=2.(−1)−2.4+2+322+22+1=53
Do đó điểm cần tìm là điểmA≡M⇒a+b+c=3+0+4=7
Đáp án cần chọn là: C
Cho điểm A(0;8;2) và mặt cầu (S) có phương trình (S):(x−5)2+(y+3)2+(z−7)2=72 và điểm B(1;1;−9). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Giả sử n→=1;m;n là véctơ pháp tuyến của (P). Lúc đó:
mn=27649
mn=−27649
mn=4
mn=−4
(S) có tâm I(5;−3;7) và bán kính R=62
Theo đề bài ta có phương trình (P) có dạng x+m(y−8)+n(z−2)=0
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên
d(I,(P))=5+m(−3−8)+n(7−2)1+m2+n2=5−11m+5n1+m2+n2=62
⇔5−11m+5n=62.1+m2+n2⇔25+121m2+25n2−110m+50n−110mn=72(1+m2+n2)⇔49m2−110m+50n−110mn−47n2−47=0⇔49m2−110m(n+1)−47n2+50n−47=0(1)=3025(n+1)2−49(−47n2+50n−47)=5328n2+3600n+5328>0
Phương trình (*) luôn có nghiệm
d(B,(P))=1+m(1−8)+n(−9−2)1+m2+n2=1−7m−11n1+m2+n2=>d(B,(P))max=AB⇔1−7m−11n1+m2+n2=319⇔1+m2+n2=1−7m−11n319
Mặt khác 5−11m+5n62=1+m2+n2
1−7m−11n319=5−11m+5n62
72(1+49m2+121n2−14m−22n+154mn)=171(25+121m2+25n2−110m+50n−110mn)⇔8(1+49m2+121n2−14m−22n+154mn)=19(25+121m2+25n2−110m+50n−110mn)⇔−1907m2+493n2+1978m−1126n+3322mn−467=0(2)
Từ (1) và (2) ⇒m.n=27649
Đáp án cần chọn là: A
