ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Hệ tọa độ trong không gian

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\iff \left\{\begin{array}{c}a=-2\\ 0=0\\ 1=c\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:$\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{{\overrightarrow{u}}^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Đáp án cần chọn là: B

Cô sin của góc hợp bởi hai véc tơ $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ là:

$\cos \left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right)=\frac{\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|.\left|\overrightarrow{u_2}\right|}=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}.\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

$\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\frac{-1.2-1.1-1.0}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-1\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{2^2+1^2+0^2}}=-\frac{3}{\sqrt{15}}=-\frac{3\sqrt{15}}{15}=-\frac{\sqrt{15}}{5}$

Đáp án cần chọn là: A

$\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{j}-\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}\Rightarrow M\left(-1;2;1\right)$.Do đó tung độ của M bằng 2.

Đáp án cần chọn là: C

Hình chiếu của M(0;2;1) lên mặt phẳng (Oxy) là N(0;2;0).

Do đó N nằm trên trục Oy.

Đáp án cần chọn là: B

Điểm M là trung điểm đoạn thẳng AB nên

$\left\{\begin{array}{c}{x}_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-3+1}{2}=-1\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{1+1}{2}=1\\ z_M=\frac{z_A+z_B}{2}=\frac{2+0}{2}=1\end{array}\Rightarrow M(-1;1;1)\right.$

Đáp án cần chọn là: A

Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ thỏa mãn:

$\left\{\begin{array}{c}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{2-1+1}{3}=\frac{2}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{1+0+2}{3}=1\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{0+3+3}{3}=2\end{array}\right.\Rightarrow G\left(\frac{2}{3};1;2\right)$

Đáp án cần chọn là: B

Điểm G là trọng tâm tam giác ABC nếu:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\end{array}\right.\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}_C=3x_G-x_A-x_B=3.4-0-(-1)=13\\ y_C=3y_G-y_A-y_B=3.(-1)-2-3=-8\\ z_C=3z_G-z_A-z_B=3.3-(-1)-2=8\end{array}\right.\end{array}$

$\Rightarrow C\left(13;-8;8\right)$

Đáp án cần chọn là: D

Tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD là

$G\left(\frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4};\frac{y_A+y_B+y_C+y_D}{4};\frac{z_A+z_B+z_C+z_D}{4}\right)$

Đáp án cần chọn là: B

Điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD nếu tọa độ điểm G thỏa mãn:\

$\left\{\begin{array}{c}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C+x_D}{4}=\frac{1+0-1+0}{4}=0\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C+y_D}{4}=\frac{0+1+2+0}{4}=\frac{3}{4}\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C+z_D}{4}=\frac{0+1+0+3}{4}=1\end{array}\right.$

$\Rightarrow G\left(0;\frac{3}{4};1\right)$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

$\overrightarrow{OA}=\left(-1;2;-3\right),\overrightarrow{OB}=\left(2;-1;0\right)\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\left(1;1;-3\right)$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:$m=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-2.1+3.1+1.1=2\Rightarrow m\in \left(1;3\right)$

Đáp án cần chọn là: D

$\overrightarrow{n}=3\left(2;3;-5\right)+2\left(0;-3;4\right)-\left(1;-2;3\right)=\left(5;5;-10\right)$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:$\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\iff \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=2.0+1.b+\left(-3\right).1=0\iff b=3$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:$\overrightarrow{AB}=\left(-4;0;4\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+0^2+4^2}=4\sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:$AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2+{\left(z_B-z_A\right)}^2}$

$=\sqrt{{\left(4-2\right)}^2+{\left(-1-1\right)}^2+{\left(1-0\right)}^2}=\sqrt{9}=3$

Do đó độ dài đoạn thẳng là một số nguyên dương.

Đáp án cần chọn là: C

Góc giữa $\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}$ bằng 45⁰ khi$\cos \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)=\cos {45}^0$

Mà $\cos \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}$

$\Rightarrow cos{45}^0=\frac{1.1+1.0-2.m}{\sqrt{1^2+1^2+{(-2)}^2}.\sqrt{1^2+0^2+m^2}}$

$\iff \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1-2m}{\sqrt{6}.\sqrt{1+m^2}}$

$\iff \sqrt{6(1+m^2)}=\sqrt{2}(1-2m)$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{c}6(1+m^2)=2{(1-2m)}^2\\ 1-2m\ge 0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{c}6+6m^2=2(1-4m+4m^2)\\ m\le \frac{1}{2}\end{array}\right.\end{array}$

$\iff \left\{\begin{array}{c}6+6m^2=2-8m+8m^2\\ m\le \frac{1}{2}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}2m^2-8m-4=0\\ m\le \frac{1}{2}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}m=2\pm \sqrt{6}\\ m\le \frac{1}{2}\end{array}\right.\iff m=2-\sqrt{6}$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có AD // B’C’, AD = B’C’ nên AB’C’D là hình bình hành, do đó AB’ // DC’ và AB’ = DC’.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB\text{'}}=\overrightarrow{DC\text{'}}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}1-0=1-x_D\\ 0-0=1-y_D\\ 0-1=0-z_D\end{array}\right.\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}_D=0\\ y_D=1\\ z_D=1\end{array}\right.\end{array}$

Vậy D(0;1;1).

Đáp án cần chọn là: A