ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Hệ tọa độ trong không gian
30 câu hỏi
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;−2;4). Hình chiếu vuông góc của A trên trục Oy là điểm
P(0;0;4)
Q(1;0;0)
N(0;−2;0)
M(0;−2;4)
Hình chiếu vuông góc của A(1;−2;4) trên trục Oy là điểm N(0;−2;0).
Đáp án cần chọn là: C
Điểm M(x;y;z) nếu và chỉ nếu:
OM→=x.i→+y.j→+z.k→
OM→=z.i→+y.j→+x.k→
OM→=x.j→+y.k+z.i→
OM→=x.k→+y.j→+z.i→
Điểm Mx;y;z⇔OM→=x.i→+y.j→+z.k→
Đáp án cần chọn là: A
Điểm N là hình chiếu của M(x;y;z) trên trục tọa độ OzOz thì:
N(x;y;z)
N(x;y;0)
N(0;0;z)
N(0;0;1)
Chiếu M lên trục Oz thì x=0;y=0và giữ nguyên z nên N(0;0;z).
Đáp án cần chọn là: C
Hình chiếu của điểm M(1;−1;0) lên trục Oz là:
N(−1;−1;0)
N(1;−1;0)
N(−1;1;0)
N(0;0;0)
Vì chiếu điểm M lên trục Oz nên giữ nguyên z và cho x=y=0. Do đó ta được hình chiếu của điểm M(1;−1;0) lên trục Oz là N(0;0;0)
Đáp án cần chọn là: D
Khi chiếu điểm M(−4;3;−2) lên trục Ox được điểm N thì:
ON¯=−4
ON¯=3
ON¯=4
ON¯=2
Khi chiếu điểm M(−4;3;−2) lên trục Ox được điểm N có tọa độ N(−4;0;0) nênON¯=−4
Đáp án cần chọn là: A
Điểm M∈(Oxy) thì tọa độ của M là:
M(x;y;0)
M(0;x;y)
M(0;0;z)
M(0;0;1)
Điểm M∈Oxy thì cao độ z=0. Do đó M(x;y;0).
Đáp án cần chọn là: A
Hình chiếu của điểm M(2;2;−1) lên mặt phẳng (Oyz) là:
N(0;2;−1)
N(2;0;0)
N(0;2;0)
N(0;2;1)
Hình chiếu của điểm M(2;2;−1) lên mặt phẳng (Oyz) là N(0;2;−1).
Đáp án cần chọn là: A
Tọa độ điểm M là trung điểm đoạn thẳng AB là:
M−xA+xB2;−yA+yB2;−zA+zB2
MxA+xB3;yA+yB3;zA+zB3
MxA−xB2;yA−yB2;zA−zB2
MxA+xB2;yA+yB2;zA+zB2
Điểm M là trung điểm đoạn thẳng AB nếu và chỉ nếu
MxA+xB2;yA+yB2;zA+zB2
Đáp án cần chọn là: D
Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là:
GxA+xB+xC3;yA+yB+yC3;zA+zB+zC3
GxA+xB+xC4;yA+yB+yC4;zA+zB+zC4
GxA−xB+xC3;yA−yB+yC3;zA−zB+zC3
GxA−xB−xC3;yA−yB−yC3;zA−zB−zC3
Công thức tọa độ trọng tâm tam giác
GxA+xB+xC3;yA+yB+yC3;zA+zB+zC3
Đáp án cần chọn là: A
Cho hai véc tơ u→=a;0;1,v→=−2;0;c. Biết u→=v→ khi đó:
a=0
c=1
a=−1
a=c
u→=v→⇔a=−20=01=c
Đáp án cần chọn là: B
Công thức tính độ dài véc tơ u→=a;b;c là:
u→=a+b+c
u→=a2+b2+c2
u→=a2+b2+c2
u→=a+b+c2
Ta có:u→=u→2=a2+b2+c2
Đáp án cần chọn là: B
Cho các véc tơ u1→x1;y1;z1 và u2→(x2;y2;z2),, khi đó cô sin góc hợp bởi hai véc tơ u1→,u2→ là:
u1→.u2→u1→.u2→
x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12.x22+y22+z22
x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12.x22+y22+z222
u1→.u2→u1→.u2→
Cô sin của góc hợp bởi hai véc tơ u1→,u2→ là:
cosu1→,u2→=u1→.u2→u1→.u2→=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12.x22+y22+z22
Đáp án cần chọn là: A
Cho hai véc tơ u→=−1;−1;−1,v→=2;1;0, khi đó cô sin của góc hợp bởi hai véc tơ đó là:
−155
315
−53
415
Ta có:
cosu→,v→=−1.2−1.1−1.0−12+−12+−12.22+12+02=−315=−31515=−155
Đáp án cần chọn là: A
Tung độ của điểm M thỏa mãn OM→=2j→−i→+k→ là:
−1
1
2
−2
OM→=2j→−i→+k→=−i→+2j→+k→⇒M−1;2;1.Do đó tung độ của M bằng 2.
Đáp án cần chọn là: C
Hình chiếu của điểm M(0;2;1) trên mặt phẳng (Oxy) thuộc:
trục Ox
trục Oy
trục Oz
trùng điểm O
Hình chiếu của M(0;2;1) lên mặt phẳng (Oxy) là N(0;2;0).
Do đó N nằm trên trục Oy.
Đáp án cần chọn là: B
Cho hai điểm A(−3;1;2),B(1;1;0), tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB là:
M(−1;1;1)
M(−2;2;2)
M(−2;0;1)
M(−1;2;1)
Điểm M là trung điểm đoạn thẳng AB nên
xM=xA+xB2=−3+12=−1yM=yA+yB2=1+12=1zM=zA+zB2=2+02=1⇒M(−1;1;1)
Đáp án cần chọn là: A
Cho tam giác ABC có A(2;1;0),B(−1;0;3),C(1;2;3). Tọa độ trọng tâm tam giác là:
G2;1;3
G23;1;2
G23;13;−2
G1;1;2
Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ thỏa mãn:
xG=xA+xB+xC3=2−1+13=23yG=yA+yB+yC3=1+0+23=1zG=zA+zB+zC3=0+3+33=2⇒G23;1;2
Đáp án cần chọn là: B
Gọi G(4;−1;3) là tọa độ trọng tâm tam giác ABC với A(0;2;−1),B(−1;3;2). Tìm tọa độ điểm C.
C(−1;3;2)
C(11;−2;10)
C(5;−6;2)
C(13;−8;8)
Điểm G là trọng tâm tam giác ABC nếu:
xG=xA+xB+xC3yG=yA+yB+yC3zG=zA+zB+zC3⇒xC=3xG−xA−xB=3.4−0−(−1)=13yC=3yG−yA−yB=3.(−1)−2−3=−8zC=3zG−zA−zB=3.3−(−1)−2=8
⇒C13;−8;8
Đáp án cần chọn là: D
Tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD là:
GxA+xB+xC+xD3;yA+yB+yC+yD3;zA+zB+zC+zD3
GxA+xB+xC+xD4;yA+yB+yC+yD4;zA+zB+zC+zD4
GxA+xB+xC+xD2;yA+yB+yC+yD2;zA+zB+zC+zD2
GxA+xB−xC+xD4;yA+yB−yC+yD4;zA−zB+zC+zD4
Tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD là
GxA+xB+xC+xD4;yA+yB+yC+yD4;zA+zB+zC+zD4
Đáp án cần chọn là: B
Cho tứ diện ABCD có A(1;0;0),B(0;1;1),C(−1;2;0),D(0;0;3). Tọa độ trọng tâm tứ diện G là:
G0;34;1
G0;3;4
G12;−12;−12
G0;32;2
Điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD nếu tọa độ điểm G thỏa mãn:\
xG=xA+xB+xC+xD4=1+0−1+04=0yG=yA+yB+yC+yD4=0+1+2+04=34zG=zA+zB+zC+zD4=0+1+0+34=1
⇒G0;34;1
Đáp án cần chọn là: A
Cho hai véc tơ OA→=−1;2;−3,OB→=2;−1;0, khi đó tổng hai véc tơ OA→,OB→ là:
(1;1;−3)
(−3;3;−3)
(1;3;−3)
(1;−1;3)
Ta có:
OA→=−1;2;−3,OB→=2;−1;0⇒OA→+OB→=1;1;−3
Đáp án cần chọn là: A
Cho hai véc tơ u→=−2;3;1 và v→=1;1;1. Khi đó số thực m=u→.v→ thỏa mãn:
m=0
m∈0;2
m∈−2;0
m∈1;3
Ta có:m=u→.v→=−2.1+3.1+1.1=2⇒m∈1;3
Đáp án cần chọn là: D
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectoa→=2;3;−5;b→=0;−3;4;c→=1;−2;3. Tọa độ vector n→=3a→+2b→−c→ là:
n→=5;1;−10
n→=7;1;−4
n→=5;5;−10
n→=5;−5;−10
n→=32;3;−5+20;−3;4−1;−2;3=5;5;−10
Đáp án cần chọn là: C
Cho hai véc tơ u→=2;1;−3,v→=0;b;1, nếu u→⊥v→ thì:
b=2
b=−3
b=3
b=1
Ta có:u→⊥v→⇔u→.v→=2.0+1.b+−3.1=0⇔b=3
Đáp án cần chọn là: C
Cho hai điểm A(5;3;1),B(1;3;5). Độ dài véc tơ AB→ là:
−4;0;4
42
0
63
Ta có:AB→=−4;0;4⇒AB→=−42+02+42=42
Đáp án cần chọn là: B
Độ dài đoạn thẳng AB với A(2;1;0),B(4;−1;1) là một số:
nguyên âm
vô tỉ
nguyên dương
bằng 0
Ta có:AB=xB−xA2+yB−yA2+zB−zA2
=4−22+−1−12+1−02=9=3
Do đó độ dài đoạn thẳng là một số nguyên dương.
Đáp án cần chọn là: C
Cho hai vectơ a→=1;1;−2, b→=1;0;m. Góc giữa chúng bằng 450 khi:
m=2+5
m=2±6
m=2−6
m=2+6
Góc giữa u→;v→ bằng 450 khicosu→;v→=cos450
Mà cosu→;v→=u→.v→u→.v→
⇒cos450=1.1+1.0−2.m12+12+(−2)2.12+02+m2
⇔12=1−2m6.1+m2
⇔6(1+m2)=2(1−2m)
⇔6(1+m2)=2(1−2m)21−2m≥0⇔6+6m2=2(1−4m+4m2)m≤12
⇔6+6m2=2−8m+8m2m≤12
⇔2m2−8m−4=0m≤12
⇔m=2±6m≤12⇔m=2−6
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;1), B’(1;0;0), C’(1;1;0). Tìm tọa độ điểm D.
D(0;1;1)
D(0;-1;1)
D(0;1;0)
D(1;1;1)
Ta có AD // B’C’, AD = B’C’ nên AB’C’D là hình bình hành, do đó AB’ // DC’ và AB’ = DC’.
⇒AB'→=DC'→
⇒1−0=1−xD0−0=1−yD0−1=0−zD⇒xD=0yD=1zD=1
Vậy D(0;1;1).
Đáp án cần chọn là: A
Cho 3 điểm A(0;0;1), B(1;0;0); C(1;1;0). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
32
34
3
33
Bước 1: Tính độ dài cạnh AB, BC, CA.
Ta có:
AB=12+02+−12=2BC=02+12+02=1CA=12+12+−12=3
⇒ΔABC là tam giác vuông tại B.
Bước 2: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có R=AC2=32
Đáp án cần chọn là: A
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1;1),B(4;1;1),C(1;1;5). Tìm tọa độ điểm II là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
I(−2;1;−2)
I(2;1;2)
I(2;1;−2)
I(−2;−1;−2)
Bước 1:
Gọi I(a;b;c) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Khi đó BC⋅IA→+CA⋅IB→+AB⋅IC→=0→
Bước 2: Thay tọa độ I vào công thức, tìm a, b, c.
Áp dụng, với I(a;b;c)AB=3;BC=5;AC=4 ta có:
5IA→+4IB→+3IC→=0→⇔12IA→=4BA→+3CA→
⇔12IA→=(−12;0;−12)⇔IA→=(−1;0;−1)
⇔1−a=−11−b=01−c=−1⇔a=2b=1c=2⇔I(2;1;2)
