Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Thừa Thiên Huế có đáp án

a) Biểu thức\[A = \sqrt {x - 1} \] có nghĩa khi \[x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\]

b)\[\begin{array}{l}B = \sqrt 9  - \sqrt 4  + \sqrt {16} \\ \Leftrightarrow B = \sqrt {{3^2}}  - \sqrt {{2^2}}  + \sqrt {{4^2}} \\ \Leftrightarrow B = 3 - 2 + 4\\ \Leftrightarrow B = 5\end{array}\]

Vậy \[B = 5\]

c)\[\begin{array}{l}C = \frac{x}{{x - 4}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}\\ \Leftrightarrow C = \frac{x}{{x - 4}} + \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\ \Leftrightarrow C = \frac{{x + \sqrt x  - 2 - \sqrt x  - 2}}{{x - 4}}\\ \Leftrightarrow C = \frac{{x - 4}}{{x - 4}} = 1\end{array}\]

Vậy \[C = 1\]

a)Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y = 5}\\{x - y = 1\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = 6\,\,\,\,\,}\\{x - y = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.\]

Vậy hệ phương trình có nghiệm \[(x;y) = (2;1)\]

b)Đường thẳng \[\left( d \right)\] cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, suy ra:

\[x = 0;y = 2\]

Thay \[x = 0;y = 2\] vào \[\left( d \right)\], ta được \[2 = 0 - m \Leftrightarrow m =  - 2\]

Vậy \[m =  - 2\] thì đường thẳng \[\left( d \right)\] cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

Gọi \[x\]      là vận tốc của người đi xe đạp đi từ A đến B \[(x > 0)\]

\[x + 3\]là vận tốc của người đi xe đạp đi từ B đến A

Thời gian của Thời gian của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là: \[\frac{{36}}{x}\]    (giờ)

người đi xe đạp kho đi từ B đến A là: \[\frac{{36}}{{x + 3}}\] (giờ)

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút nên ta có phương trình:

\[\frac{{36}}{x} = \frac{{36}}{{x + 3}} + \frac{{36}}{{60}}\]

Giải phương trình, ta được:

\[x = 12\] (thỏa mãn)                                                  \[x =  - 15\] (loại)

Vậy vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là: \[12km/h\]

a) Khi \[m =  - 2\], phương trình trở thành \[{x^2} - 2x - 3 = 0\]

Ta có: \[a = 1,b =  - 2,c =  - 3\]

Vì \[a - b + c = 0\] nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1} =  - 1,{x_2} = 3\]

Vậy khi, phương trình (1) có hai nghiệm là: \[{x_1} =  - 1,{x_2} = 3\]

b)Ta có:

\[\begin{array}{l}\Delta ' = b{'^2} - ac = {\left[ { - \left( {m + 3} \right)} \right]^2} - 1.(2m + 1)\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} + 6m + 9 - 2m - 1\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} + 4m + 8\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} + 2.2m + {2^2} + 4\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {m + 2} \right)^2} + 4 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\end{array}\]

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \[m\]

c)Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

                     \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} =  - \frac{{ - 2(m + 3)}}{1} = 2\left( {m + 3} \right)}\\{{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{2m + 1}}{1} = 2m + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}(3)} \right.\]

Theo đề bài, ta có:      \[x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1} - 2{x_2} = 10\]

                        \[ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 10\]

Thay (3) vào phương trình, ta có:

                     \[\begin{array}{l}{\left[ {2\left( {m + 3} \right)} \right]^2} - 2\left( {2m + 1} \right) - 2.2(m + 3) = 10\\ \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} + 6m + 9} \right) - 2\left( {2m + 1} \right) - 4\left( {m + 3} \right) - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 24m + 36 - 4m - 2 - 4m - 12 - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 16m + 12 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\]

Ta có: \[4 - 16 + 12 = 0\] nên phương trình (*) có 2 nghiệm là \[{m_1} =  - 1;{m_2} =  - 3\]

Vậy, với \[m =  - 1\] hoặc \[m =  - 3\] thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{x_2}\] thỏa mãn \[x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1} - 2{x_2} = 10\]

a)Xét tứ giác \[AOED\], ta có: \[\widehat {OAD} = 90^\circ \] (tính chất tiếp tuyến )

                                                \[\widehat {OED} = 90^\circ \]( giả thuyết )

\[ \Rightarrow \widehat {OAD} + \widehat {OED} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \]

Vậy tứ giác \[AOED\]nội tiếp đường tròn

b)Ta có \[AOFD\] là tứ giác nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {OFD} = 90^\circ \]

Suy ra \[DF\] là tiếp tuyến của đường tròn \[\left( O \right)\]

Xét \[\Delta DFB\] và \[\Delta DCF\], ta có:

\[\widehat D\]:góc chung

\[\widehat {DFB} = \widehat {DCF}\] ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )

Suy ra: \[\Delta DFB \sim \Delta DCF(g - g) \Rightarrow \frac{{DF}}{{DC}} = \frac{{FB}}{{FC}}\left( 1 \right)\]

Xét \[\Delta DAB\] và \[\Delta DCA\], ta có:

\[\widehat D\]:góc chung

\[\widehat {DAB} = \widehat {ACB}\] ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )

Suy ra: \[\Delta DAB \sim \Delta DCA(g - g) \Rightarrow \frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\left( 2 \right)\]

Vì \[DF = DA\] ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \[\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\]

c)Ta có: \[GC = GB\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

               \[OC = OB\]  (bán kính)

Nên \[OG\] là đường trung trực của \[BC\], suy ra \[OG \bot BC\]

Mặt khác: \[OE \bot BC\], nên ba điểm \[O,E,G\] thẳng hàng.

Ta có: \[OA = {\rm{OF; DA = DF}}\]; nên \[{\rm{OD}}\] là đường trung trực của \[{\rm{AF}}\]

Do đó \[{\rm{OD}} \bot {\rm{AF}}\] tại  \[H\](5)

Tam giác \[OCG\] vuông tại  \[C\] nên \[OE.OG = O{C^2}\]

Tam giác \[OAD\] vuông tại \[H\] nên \[O{A^2} = OH.OD\]

Mà \[OA = OC\] nên  \[OE.OG = OH.OD\]. Suy ra \[EHDG\] là tứ giác nội tiếp.

Mà  \[\widehat {GED} = 90^\circ \] nên \[\widehat {GHD} = 90^\circ \] (6)

Từ (5) và (6), suy ra \[A,F,G\] thẳng hàng.

Khi quay tam giác  \[OBC\] một vòng cạnh \[OB\] cố định thì

                        \[{V_1} = \frac{1}{3}\pi .O{C^2}.OB = 800\pi \]

Khi quay tam giác \[OBC\] một vòng cạnh \[OC\] cố định thì

                     \[{V_2} = \frac{1}{3}\pi .O{B^2}.OC = 1920\pi \]

Ta có:           \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{1}{3}\pi .O{C^2}.OB}}{{\frac{1}{3}\pi .O{B^2}.OC}} = \frac{{800\pi }}{{1920\pi }} \Leftrightarrow \frac{{OC}}{{OB}} = \frac{5}{{12}} \Rightarrow OC = \frac{5}{{12}}OB\]

Suy ra:          \[{V_1} = \frac{1}{3}\pi .{\left( {\frac{5}{{12}}.OB} \right)^2}.OB = 800\pi  \Rightarrow \frac{{25}}{{144}}.O{B^2} = 2400 \Rightarrow OB = 24(cm)\]

Do đó:          \[OC = \frac{5}{{12}}.OB = \frac{5}{{12}}.24 = 10\left( {cm} \right)\]

Vậy độ dài của \[OB\] và \[OC\] lần lượt là \[24\left( {cm} \right)\] và \[10\left( {cm} \right)\]