Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Thành phố Hồ Chí Minh có đáp án
8 câu hỏi
Cho parabol \(\left( P \right):y = \frac{{{x^2}}}{2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x + 4\).
a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) bằng phép tính.
a) Xét hàm số: \[\left( d \right):y = x + 4\]
Ta có bảng giá trị:
\[x\] | \[0\] | \[ - 4\] |
\[\left( d \right):y = x + 4\] | \[4\] | \[0\] |
Xét hàm số: \[\left( P \right):y = \frac{{{x^2}}}{2}\]
Ta có bảng giá trị:
\[x\] | \[ - 4\] | \[ - 2\] | \[0\] | \[2\] | \[4\] |
\[\left( P \right):y = \frac{{{x^2}}}{2}\] | \[8\] | \[2\] | \[0\] | \[2\] | \[8\] |
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\] ta có:
\[\frac{{{x^2}}}{2} = x + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 2\end{array} \right.\]
Với \[x = - 2 \Rightarrow y = 2\].
Với \[x = 4 \Rightarrow y = 8\]
Vậy tọa độ giao điểm của \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\] là \[\left( { - 2;2} \right)\] và \[\left( {4;8} \right)\].
Cho phương trình \(2{x^2} - 13x - 6 = 0\) có \(2\) nghiệm là \({x_1},\,\,{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1} + 2{x_2}} \right) - x_2^2\).
Áp dụng định lí Vi – et ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{13}}{2}\\{x_1}{x_2} = - 3\end{array} \right.\]
Ta có:
\[A = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1} + 2{x_2}} \right) - x_2^2\]\[ = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_2}} \right] - x_2^2\]\[ = \frac{{13}}{2}\left( {\frac{{13}}{2} + {x_2}} \right) - x_2^2\]\[ = \frac{{169}}{4} + \frac{{13}}{2}{x_2} - x_2^2\]
\[ \Rightarrow - 2A = - 2x_2^2 + 13{x_2} + \frac{{169}}{2}\]\[ \Leftrightarrow - 2A = \left( { - 2x_2^2 + 13{x_2} - 6} \right) - \frac{{157}}{2}\]\[ \Leftrightarrow - 2A = - \frac{{157}}{2}\]\[ \Leftrightarrow A = \frac{{157}}{4}\]
Một nhà khoa học đã đưa ra công thức tính số cân nặng lý tưởng của con người theo chiều cao và giới tính như sau: \(M = T - 100 - \frac{{T - 150}}{N}\). Trong đó \(M\) là cân nặng (kg). \(T\) là chiều cao (cm), \(N = 4\) nếu là nam, \(N = 2\) nếu là nữ.
a) Bạn Hạnh (nữ) cao \(1,58\) mét. Hỏi cân nặng lý tưởng của bạn Hạnh là bao nhiêu?
b) Bạn Phúc (nam) có cân nặng \(68\) kg. Để cân nặng này là lý tưởng thì chiều cao cần đạt của bạn Phúc là bao nhiêu?
a) Đổi \[1,58m = 158cm\].
Cân nặng lý tưởng của bạn Hạnh là: \[M = T - 100 - \frac{{T - 150}}{N} = 158 - 100 - \frac{{158 - 150}}{2} = 54(kg)\]
Vậy cân nặng lý tưởng của bạn Hạnh là \[54(kg)\].
b) Từ công thức: \[M = T - 100 - \frac{{T - 150}}{N}\]\[ \Leftrightarrow MN = NT - 100N - T + 150\]
\[ \Leftrightarrow T\left( {N - 1} \right) = MN + 100N - 150 \Leftrightarrow T = \frac{{MN + 100N - 150}}{{N - 1}}\]
Để cân nặng của bạn Phúc là lý tưởng thì chiều cao bạn Phúc cần đạt là:
\[T = \frac{{MN + 100N - 150}}{{N - 1}} = \frac{{68.4 + 100.4 - 150}}{{4 - 1}} = 174(cm) = 1,74(m)\].
Vậy để cân nặng của bạn Phúc là lý tưởng thì chiều cao bạn Phúc cần đạt là \[1,74(m)\]
Cửa hàng A niêm yết giá một bông hồng là \(15000\) đồng. Nếu khách hàng mua nhiều hơn \(10\) bông thì từ bông thứ \(11\) trở đi, mỗi bông được giảm thêm \(10\% \) trên giá niêm yết. Nếu mua nhiều hơn \(20\) bông thì từ bông thứ \(21\) trở đi, mỗi bông được giảm thêm \(20\% \) trên giá đã giảm.
a) Nếu khách mua \(30\) bông hồng tại cửa hàng A thì phải trả bao nhiêu tiền?
b) Bạn Thảo đã mua một số bông hồng tại cửa hàng A với số tiền \(555.000\) đồng.
Hỏi bạn Thảo đã mua bao nhiêu bông hồng?
a) Nếu mua nhiều hơn 10 bông hồng thì từ bông thứ 11 trở đi, mỗi bông được giảm \[10\% \] trên giá niêm yết. Nên giá một bông hồng sau khi giảm từ bông hồng thứ 11 là:
\[15000\left( {100\% - 10\% } \right) = 13500\](đồng)
Nếu mua nhiều hơn 20 bông hồng thì từ bông thứ 21 trở đi, mỗi bông được giảm \[20\% \] trên giá đã giảm. Nên giá một bông hồng sau khi giảm từ bông hồng thứ 21 là:
\[13500\left( {100\% - 20\% } \right) = 10800\](đồng)
Khách hàng mua 30 bông hồng tại cửa hàng \[A\] thì phải trả bao nhiêu tiền là:
\[10.15000 + 10.13500 + 10.10800 = 393000\](đồng).
Vậy khách hàng phải trả cho cửa hàng \[A\] số tiền là \[393000\](đồng).
b) Ta thấy số tiền Thảo đã trả lớn hơn số tiền mua 30 bông hồng nên gọi số bông hồng từ bông thứ 21 trở đi là \[x\] (\[x \in {\mathbb{N}^*},\]bông).
Ta có: \[10.15000 + 10.13500 + x.10800 = 555000 \Leftrightarrow x.10800 = 270000 \Leftrightarrow x = 25\]
Vậy số bông hồng bạn Thảo đã mua là: \[20 + 25 = 45\](bông).
Chị Lan đun sôi nước bằng ấm điện. Biết rằng mối liên hệ giữa công suất hao phí \(P\left( {\rm{W}} \right)\)của ấm điện và thời gian đun \(t\) (giây) được mô hình hóa bởi một hàm số bậc nhất có dạng \(P = at + b\) và đồ thị như hình bên.
a) Hãy xác định các hệ số \(a\) và \(b\).
b) Nếu đun nước sôi với công suất hao phí là \(105\left( {\rm{W}} \right)\) thì thời gian đun là bao lâu?
a) Quan sát đồ thị ta có:
Đường thẳng \[P = at + b\] đi qua điểm \[\left( {75;110} \right)\] nên ta có: \[75a + b = 110\,\,\,\,(1)\]
Đường thẳng \[P = at + b\] đi qua điểm \[\left( {180;145} \right)\] nên ta có: \[180a + b = 145\,\,\,\,(2)\]
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}75a + b = 110\\180a + b = 145\,\,\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = 85\end{array} \right.\].
Vậy \[a = \frac{1}{3}\] và \[b = 85\] hay \[P = \frac{1}{3}t + 85\,\,\left( * \right)\].
b) Ta có công suất hao phí là \[105\left( W \right)\] hay \[P = 105\].
Thay \[P = 105\] vào phương trình (*) ta được: \[105 = \frac{1}{3}t + 85\,\, \Rightarrow t = 60\].
Vậy thời gian đun là 60 giây.
Bạn Nam dự định tổ chức buổi tiệc sinh nhật và chọn loại ly có phần chứa nước dạng hình nón với bán kính đáy \(R = 4cm\) và độ dài đường sinh \(l\) để khách uống nước trái cây.
a) Tính thể tích phần chứa nước của ly (ghi kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Biết công thức thể tích hình nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\) (với \(R\) là bán kính đáy hình nón; \(h\) là chiều cao hình nón).
b) Bạn Nam cần chuẩn bị một số hộp nước trái cây có lượng nước trong mỗi hộp là \(1,2\) lít. Biết rằng buổi tiệc sinh nhật có \(14\) người (đã bao gồm Nam). Nếu mỗi người trung bình uống \(3\) ly nước trái cây và lượng nước rót bằng \(90\% \) thể tích ly thì bạn Nam cần chuẩn bị ít nhất bao nhiêu hộp nước trái cây?
Biết \(1\) lít \( = 1000c{m^3}\).
a) Chiều cao phần chứa nước của ly là: \(h = \sqrt {{l^2} - {R^2}} = 2\sqrt {21} \,(cm)\).
Thể tích phần chứa nước của ly là: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.4^2}.2\sqrt {21} \approx 154\,\,(c{m^3})\).
b) Lượng nước mỗi người uống là: \(3.90\% V = 415,8\,(c{m^3})\).
Đổi \(1,2\) lít \( = 1200\,c{m^3}\)
Ta thấy \(\frac{{14.415,8}}{{1200}} \approx 4,8\).
Vậy bạn Nam cần chuẩn bị ít nhất \(5\) hộp nước trái cây.
Nhà bạn Khanh có hai thùng đựng sữa, thùng thứ nhất có thể tích \(10\) lít, thùng thứ hai có thể tích \(8\) lít. Biết rằng cả hai thùng đều đang chứa một lượng sữa và tổng lượng sữa ở hai thùng lớn hơn \(10\) lít. Bạn Khanh muốn xác định lượng sữa ở mỗi thùng nhưng không có dụng cụ đo thể tích nên bạn đã nghĩ ra cách làm như sau:
- Đầu tiên, Khanh đổ sữa từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai cho đầy thì lượng sữa còn lại ở thùng thứ nhất bằng \(\frac{1}{2}\) lượng sữa so với ban đầu.
- Sau đó, Khanh đổ sữa từ thùng thứ hai sang thùng thứ nhất cho đầy thì lượng sữa còn lại ở thùng thứ hai bằng \(\frac{1}{5}\) lượng sữa so với thời điểm ban đầu.
Hỏi thời điểm ban đầu mỗi thùng sữa chứa bao nhiêu lít sữa?
Gọi lượng sữa ở thùng thứ nhất và thùng thứ hai ở thời điểm ban đầu lần lượt là \(x,y\) lít sữa\(\left( {0 < x \le 10;\,0 < y \le 8;\,x + y > 10} \right)\).
Vì sau khi đổ sữa từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai cho đầy thì lượng sữa còn lại ở thùng thứ nhất bằng \(\frac{1}{2}\) lượng sữa so với ban đầu nên ta có phương trình:
\(\frac{1}{2}x + 8 = x + y\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}x + y = 8\,\,(1)\)
Vì sau khi đổ sữa từ thùng thứ hai sang thùng thứ nhất cho đầy thì lượng sữa còn lại ở thùng thứ hai bằng \(\frac{1}{5}\) lượng sữa so với thời điểm ban đầu nên ta có phương trình:
\(10 + \frac{1}{5}y = x + y\)\( \Leftrightarrow x + \frac{4}{5}y = 10\,\,(2)\)
Từ \(\,(1)\) và \(\,(2)\) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}x + y = 8\\x + \frac{4}{5}y = 10\,\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 16\\x + \frac{4}{5}y = 10\,\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 5\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy thời điểm ban đầu thùng thứ nhất chứa \(6\) lít sữa, thùng thứ hai chứa \(5\) lít sữa.
Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB < AC\)) có đường cao \(AH\) và nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên các cạnh \(AB,AC\). Đường kính \(AD\) của \(\left( O \right)\) cắt \(EF\) tại \(K\) và \(DH\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(L\) (\(L\) khác \(D\)).
a) Chứng minh các tứ giác \(AEHF\) và \(ALHF\) nội tiếp.
b) Chứng minh tứ giác \(BEFC\) nội tiếp và \(AD\) vuông góc với \[EF\] tại \[K\].
c) Tia \[FE\] cắt \(\left( O \right)\) tại \(P\) và cắt \(BC\) tại \(M\). Chứng minh \(AP = AH\) và ba điểm \(A,L,M\) thẳng hàng.
a) Xét tứ giác \(AEHF\) có \(\widehat {AEF} = \widehat {AFH} = {90^ \circ }\) nên tứ giác này nội tiếp được.
Xét tứ giác \(ALHF\) có \(\widehat {ALH} = \widehat {ALD} = {90^ \circ }\) do chắn đường kính \(AD\).
Và \(\widehat {ALH} = \widehat {AFH} = {90^ \circ }\) nên tứ giác này nội tiếp được.
b) Ta có \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) nên \(AE.AB = A{H^2}\)(hệ thức lượng)
Ta lại có \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\) nên \(AF.AC = A{H^2}\)(hệ thức lượng)
\( \Rightarrow AE.AB = AF.AC\) hay \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\)
\( \Rightarrow \Delta AEF \sim \Delta ACB\) (c.g.c)\( \Rightarrow \widehat {AEF} = \widehat {ACB}\)
Nên \(\widehat {ACB} + \widehat {FEB} = \widehat {AEF} + \widehat {FEB} = {180^ \circ }\). Mà 2 góc đối nhau nên tứ giác \(BCFE\) nội tiếp.
Xét \(\widehat {EAD} + \widehat {FEA} = \widehat {BAD} + \widehat {ACB} = \widehat {BAD} + \widehat {ADB} = {90^ \circ }\)\( \Rightarrow AD \bot EF\) tại \(K\).
c) \(\Delta APD\) vuông ở \(P\), có \(PK\) là đường cao \( \Rightarrow A{P^2} = AK.AD\).
Mà \(DKEB\) là tứ giác nội tiếp (do \(\widehat K + \widehat B = {90^ \circ }\)) \( \Rightarrow AK.AD = AE.AB\) (tính chất cát tuyến)
Mà \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) và có đường cao từ đỉnh vuông là \(AE\) suy ra \(AE.AB = A{H^2}\).
Từ trên suy ra \(A{P^2} = AK.AD = AE.AB = A{H^2}\)
Hay \(AP = AH\).
Giả sử \(MA\) cắt đường tròn tại \(L'\) khác \(A\). Khi đó \(ML'.MA = MB.MC\)
Ta có \(BCFE\) nội tiếp được nên \(MB.MC = ME.MF\)
Lại có \(ALEE\) nội tiếp được nên \(ME.MF = ML.MA\)
Từ trên suy ra \(ML'.MA = ML.MA\)\( \Rightarrow ML' = ML\) hay \(L' \equiv L\).
Vậy \(M,L,A\) thẳng hàng.
