Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Phú Thọ có đáp án

Khi a=16 thì giá trị biểu thức

\[A = \frac{{5\sqrt {16}  + 4}}{{\sqrt {16}  - 1}} = \frac{{5.4 + 4}}{{4 - 1}} = \frac{{24}}{3} = 8\]

VẬY với a=16 thì A=8.

B, với a>0, \[a \ne 1,a \ne 4\]

\[B = \left( {\frac{1}{{\sqrt a }} + \frac{1}{{1 - \sqrt a }}} \right).\frac{{\sqrt a  - a}}{{\sqrt a  - 2}} = \frac{{1 - \sqrt a  + \sqrt a }}{{\sqrt a .\left( {1 - \sqrt a } \right)}}.\frac{{\sqrt a .\left( {1 - \sqrt a } \right)}}{{\sqrt a  - 2}} = \frac{1}{{\sqrt a  - 2}}\]

c, với a>0, \[a \ne 1,a \ne 4\]ta có:

\[A.B < 0 \Leftrightarrow \frac{{5\sqrt a  + 4}}{{\sqrt a  - 1}}.\frac{1}{{\sqrt a  - 2}} < 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt a  - 1} \right).\left( {\sqrt a  - 2} \right) < 0\](vì \[5\sqrt a  + 4\]>0)

\[ \Leftrightarrow 1 < \sqrt a  < 2 \Leftrightarrow 1 < a < 4\]

Vì \[a \in z\]nên \[a \in \left\{ {2;3} \right\}\]

Vậy \[a \in \left\{ {2;3} \right\}\]

a, vì M(1;2) \[ \in P\]: y=ax2 nên a.12=2 \[ \Leftrightarrow \]a=2

Với a=2 \[ \Rightarrow \](p):y=2x2   .Pt hoành độ giao điểm của (d) và (p) là  2x2=3x-1\[ \Leftrightarrow \]2x2-3x+1=0\[ \Leftrightarrow \](x-1).(2x-1)=0\[ \Leftrightarrow \]\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\]

Với x=1 \[ \Rightarrow \]y=2;x=\[\frac{1}{2}\]\[ \Rightarrow \]y=\[\frac{1}{2}\] .            Vậy tọa độ  giao điểm của (d) và (p) là  M(1;2) và B(\[\frac{1}{2}\];\[\frac{1}{2}\]).

b, xét hệ phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + y = 5m + 15}\\{x = y = 3m + 9}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = 2m + 6}\\{x + y = 3m + 9}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = m + 3}\\{y = 2m + 6}\end{array}} \right.\]

xét Q=xy-2x+1=(m+3).(2m+6)-2(m+3)-1=2m2+10m+11

\[ \Rightarrow \]\[Q = 2{\left( {1 + \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{3}{2} \ge  - \frac{3}{2}\]  .               Từ đó suy ra minQ=\[ - \frac{3}{2}\]khi \[m =  - \frac{5}{2}\]

a, do \[AB \bot CD\]tại O nên \[\widehat {POD} = \widehat {BOC} = \widehat {AOC} = {90^0}(1)\]

Xét (O) có \[\widehat {MCD} = {90^0} \Rightarrow DM \bot PC\]TẠI M          \[ \Rightarrow \widehat {PMD} = {90^0}\]

Xét tứ giác OMPD có \[ \Rightarrow \widehat {POD} = \widehat {PMD} = {90^0} \Rightarrow \]TỨ giác OMPD nội tiếp .

b, từ (1) \[ \Rightarrow \] \[\widehat {BOJ} = {90^0}\]

             XÉT (O) có \[\widehat {AMB} = {90^0}\](GOCs nội tiếp chắn nửa đường tròn)

             Xét \[\Delta \]BOJ VÀ  \[\Delta \]BMA có :

              \[\widehat {B{\rm{OJ}}} = \widehat {BMA} = {90^0}\]

               \[\widehat {{\rm{OBJ}}} = \widehat {MBA}\](góc chung)

Do đó \[\Delta B{\rm{OJ}} \sim \Delta BMA\left( {g.g} \right)\] \[ \Rightarrow \frac{{BJ}}{{BO}} = \frac{{BA}}{{BM}} \Rightarrow BJ.BM = BO.BA = R.2R = 2{R^2}\]

c, XÉT (O) có \[\widehat {BMD} = \widehat {BAC}\]( TÍNH CHẤT góc nội tiếp)                                                              \[ \Rightarrow \widehat {IMQ} = \widehat {IAQ}\]

\[ \Rightarrow \]tứ giác AMIQ nội tiếp

\[ \Rightarrow \] \[\widehat {IAQ} + \widehat {AMI} = {180^0} \Rightarrow \widehat {IAQ} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \widehat {IAQ} = {90^0}\]

XÉT \[\Delta AOC\]Có \[\widehat {AOC} = {90^0};OA = OC = R \Rightarrow \Delta AOC\]vuông cân tại O

\[ \Rightarrow \widehat {OAC} = {45^0} \Rightarrow \widehat {IAQ} = {45^0}\]

Xét \[\Delta AQI\]có \[\widehat {AQI} = {90^0};\widehat {IAQ} = {45^0} \Rightarrow \Delta AQI\]vuông cân tại Q

d, tứ giác AOJM nội tiếp nên \[\widehat {MIC} = \widehat {MAQ}\]mà \[\widehat {AMQ} = \widehat {CMB}\](tính chất góc nội tiếp)

do đó \[\Delta MJC \sim \Delta MAQ(g.g) \Rightarrow \frac{{MJ}}{{MC}} = \frac{{MA}}{{MQ}} \Rightarrow MJ.MQ = MA.MC\]

\[{S_{MQJ}} = \frac{1}{2}MJ.MQ.\sin \widehat {MQJ} = \frac{1}{2}MA.MC.\sin {45^0} \le \frac{{\sqrt 2 }}{4}.\frac{{{{\left( {MA + MC} \right)}^2}}}{4}\]

Gọi X là điểm chính giữa của cung nhỏ AC \[ \Rightarrow \]MA+MC\[ \le \]XA+XC(không đổi)

\[{S_{MQJ}} \le \frac{{\sqrt 2 }}{4}.\frac{{{{\left( {XA + XC} \right)}^2}}}{4} = \frac{{{R^2}\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}}{2}\](không đổi)

Dấu bằng xảy ra khi \[M \equiv X\]\[ \Rightarrow \]M là điểm chính giữa cung nhỏ AC.

Vậy \[\max {S_{MQJ}} = \frac{{{R^2}\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}}{2}\]. Khi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC.

\[8{x^2} - 13x + 11 = \frac{2}{x} + \left( {1 + \frac{3}{x}} \right)\sqrt[3]{{3{x^2} - 2}}.\](ĐKXĐ: \[x \ne 0\])

PT đã cho \[ \Leftrightarrow x\left( {8{x^2} - 13x + 11} \right) = 2 + \left( {x + 3} \right)\sqrt[3]{{3{x^2} - 2}}\]

\[ \Leftrightarrow 8{x^3} - 13{x^2} + 11x = 2 + \left( {x + 3} \right)\sqrt[3]{{3{x^2} - 2}}\]

\[ \Leftrightarrow \left( {\left. {8{x^3} - 15{x^2} + 6x + 1} \right)} \right. + \left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1 - \sqrt[3]{{3{x^2} - 2}}} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {8x + 1} \right) + \frac{{\left( {x + 3} \right)\left[ {{{\left( {2x - 1} \right)}^3} - \left( {3{x^2} - 2} \right)} \right]}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + \left( {2x - 1} \right)\sqrt[3]{{3{x^2} - 2}} + \sqrt[3]{{{{\left( {3{x^2} - 2} \right)}^2}}}}} = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {8x + 1} \right)\left[ {1 + \frac{{\left( {x + 3} \right)}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + \left( {2x - 1} \right)\sqrt[3]{{3{x^2} - 2}} + \sqrt[3]{{{{\left( {3{x^2} - 2} \right)}^2}}}}}} \right] = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {8x + 1} \right)\left[ {\frac{{\left( {x + 3} \right) + {{\left( {2x - 1} \right)}^2} + \left( {2x - 1} \right)\sqrt[3]{{3{x^2} - 2}} + \sqrt[3]{{{{\left( {3{x^2} - 2} \right)}^2}}}}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + \left( {2x - 1} \right)\sqrt[3]{{3{x^2} - 2}} + \sqrt[3]{{{{\left( {3{x^2} - 2} \right)}^2}}}}}} \right] = 0\]

\[ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {8x + 1} \right)\frac{{{{\left[ {\sqrt[3]{{3{x^2} - 2}} + \frac{1}{2}\left( {2x - 1} \right)} \right]}^2} + \frac{1}{4}\left[ {12{{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)}^2} + \frac{{41}}{3}} \right]}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + \left( {2x - 1} \right)\sqrt[3]{{3{x^2} - 2}} + \sqrt[3]{{{{\left( {3{x^2} - 2} \right)}^2}}}}} = 0\]

Dễ thấy \[\frac{{{{\left[ {\sqrt[3]{{3{x^2} - 2}} + \frac{1}{2}\left( {2x - 1} \right)} \right]}^2} + \frac{1}{4}\left[ {12{{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)}^2} + \frac{{41}}{3}} \right]}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + \left( {2x - 1} \right)\sqrt[3]{{3{x^2} - 2}} + \sqrt[3]{{{{\left( {3{x^2} - 2} \right)}^2}}}}} \ge 0,\forall x \ne 0\]

Từ đó suy ra \[{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {8x + 1} \right) = 0 \Rightarrow x \in \left\{ {1; - \frac{1}{8}} \right\}\] .vậy tập nghiệm S=\[\left\{ {1; - \frac{1}{8}} \right\}\]