Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Tây Ninh có đáp án

 \(P = \sqrt 4  + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2 + 2 = 4\)

\({x^2} - 5x + 6 = 0\)

\(\Delta  = {5^2} - 4.1.6 = 25 - 24 = 1 > 0\), \(\sqrt \Delta   = 1\)

\({x_1} = \frac{{5 + 1}}{2} = 3\); \({x_2} = \frac{{5 - 1}}{2} = 2\)

Vậy \(S = \left\{ {3; 2} \right\}\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 5}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = 9}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{6 + y = 4}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{y =  - 2}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x; y} \right) = \left( {3;  - 2} \right)\)

Ta có BGT

Đồ thị

Tính độ dài BC

\(\Delta ABH\) vuông ở H có

\(HB = \sqrt {A{B^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\) (Pitago\(\Delta ABH\))

Vì \(\Delta ABC\) cân ở A và \(AH \bot BC\) nên \(HB = HC\).

Do đó \(BC = 2BH = 2.4 = 8\).

Vậy \(BC = 8\).

Thay hoành độ \(x = 4\) vào \(y = 5x - 3\) ta có:

\(y = 5.4 - 3 = 17\)

Vậy tọa độ điểm cần tìm là \(M\left( {4; 17} \right)\)

\({x^2} + \left( {m - 8} \right)x + 3m + 9 = 0\)

\(\Delta  = {\left( {m - 8} \right)^2} - 4.1.\left( {3m + 9} \right) = {m^2} - 16m + 64 - 12m - 36 = {m^2} - 28m + 28\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \)\(\Delta  > 0\) \( \Leftrightarrow \)\({m^2} - 28m + 28 > 0\) \(\left( * \right)\)

Khi đó theo Vi-ét, ta có: \({x_1} + {x_2} = 8 - m\);  \({x_1}{x_2} = 3m + 9\)

Theo đề \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 25\)

\({x_1}^2 + {x_2}^2 = 25\) \( \Leftrightarrow \)\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 25\)

\( \Leftrightarrow \)\({\left( {8 - m} \right)^2} - 2\left( {3m + 9} \right) = 25\)

\( \Leftrightarrow \)\(64 - 16m + {m^2} - 6m - 18 = 25\)

\( \Leftrightarrow \)\({m^2} - 22m + 21 = 0\)

\( \Leftrightarrow \)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1           \left( {tho\^u a \left( * \right)} \right) }\\{m = 21  \left( {kho\^a ng tho\^u a \left( * \right)} \right) }\end{array}} \right.\)

Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.

Chú ý: \(\Delta  > 0\). Có thể trình bày \(\Delta  > 0\) \( \Leftrightarrow \)\({m^2} - 28m + 28 > 0\) \( \Leftrightarrow \)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 14 - 2\sqrt {42} }\\{m > 14 + 2\sqrt {42} }\end{array}} \right.\) \(\left( * \right)\)

Gọi số cabin của tuyến Vân Sơn là \(x\) (cabin) \(\left( {x \in {\mathbb{Z}^ + }, x < 191} \right)\)

Gọi số cabin của tuyến Chùa Hang là \(y\) (cabin) \(\left( {y \in {\mathbb{Z}^ + }, y < 191} \right)\)

Hai tuyến Vân Sơn và Chùa Hang có tổng cộng 191 cabin nên:

\(x + y = 191\)

Vì số người ở tuyến Vân Sơn nhiều hơn số người ở tuyến Chùa Hang là 350 người (nếu mỗi cabin chứa đủ 10 người) nên:

\(10x - 10y = 350\) hay \(x - y = 35\)

Ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 191}\\{x - y = 35}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 191}\\{2x = 226}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 113  (nha\"a n)}\\{y = 78  (nha\"a n)}\end{array}} \right.\)

Vậy tuyến Vân Sơn có 113 cabin tuyến Chùa Hang có 78 cabin.

Ta có \(OA \bot BC\) tại F (vì \(OB = OC\) và \(AB = AC\))

\(\Delta ACF\) vuông ở F, trung tuyến FD

\( \Rightarrow \)\(DF = DC = \frac{1}{2}AC\) \( \Rightarrow \)\(\widehat {DFC} = \widehat {DCF}\) (1)

 (vì \(\widehat {BDC}\) chung, )

\( \Rightarrow \)\(\widehat {DEC} = \widehat {DCB}\) hay \(\widehat {DEC} = \widehat {DCF}\) (2)

(1), (2) suy ra \(\widehat {DEC} = \widehat {DFC}\)

\( \Rightarrow \)Tứ giác CDEF nội tiếp được.

Hay bốn điểm C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.

Cách 2:

Ta có OA là trung trực của đoạn BC (vì \(OB = OC\) và \(AB = AC\))

\(OA \bot BC\) tại F và \(FB = FC\)

DF là đường trung bình của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow \)\(DF\parallel AB\)

 \( \Rightarrow \)\(\widehat {EDF} = \widehat {ABD}\) (so le trong,  \(DF\parallel AB\))           (1)

\( \Rightarrow \)                         (2)

(1), (2) suy ra \(\widehat {EDF} = \widehat {ECF}\) \( \Rightarrow \)Tứ giác CDEF nội tiếp được.

Hay bốn điểm C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.