Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Tây Ninh có đáp án
10 câu hỏi
Tính giá trị của biểu thức \(P = \sqrt 4 + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}\)
\(P = \sqrt 4 + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2 + 2 = 4\)
Giải phương trình \({x^2} - 5x + 6 = 0\)
\({x^2} - 5x + 6 = 0\)
\(\Delta = {5^2} - 4.1.6 = 25 - 24 = 1 > 0\), \(\sqrt \Delta = 1\)
\({x_1} = \frac{{5 + 1}}{2} = 3\); \({x_2} = \frac{{5 - 1}}{2} = 2\)
Vậy \(S = \left\{ {3; 2} \right\}\)
Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 5}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 5}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = 9}\\{2x + y = 4}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{6 + y = 4}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{y = - 2}\end{array}} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x; y} \right) = \left( {3; - 2} \right)\)
Vẽ đồ thị của hàm số \(y = - 2{x^2}\)
Ta có BGT
\(x\) | \( - 2\) | \( - 1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
\(y = - 2{x^2}\) | \( - 8\) | \( - 2\) | \(0\) | \( - 2\) | \( - 8\) |
Đồ thị
Cho tam giác ABC cân tại A, \(AB = AC = 5\) và đường cao \(AH = 3\). Tính độ dài BC.
Tính độ dài BC
\(\Delta ABH\) vuông ở H có
\(HB = \sqrt {A{B^2} - A{H^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\) (Pitago\(\Delta ABH\))
Vì \(\Delta ABC\) cân ở A và \(AH \bot BC\) nên \(HB = HC\).
Do đó \(BC = 2BH = 2.4 = 8\).
Vậy \(BC = 8\).
Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\left( d \right): y = 5x - 3\). Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) biết điểm M có hoành độ bằng 4.
Thay hoành độ \(x = 4\) vào \(y = 5x - 3\) ta có:
\(y = 5.4 - 3 = 17\)
Vậy tọa độ điểm cần tìm là \(M\left( {4; 17} \right)\)
Cho phương trình \({x^2} + \left( {m - 8} \right)x + 3m + 9 = 0\). Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\) thỏa mãn \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 25\).
\({x^2} + \left( {m - 8} \right)x + 3m + 9 = 0\)
\(\Delta = {\left( {m - 8} \right)^2} - 4.1.\left( {3m + 9} \right) = {m^2} - 16m + 64 - 12m - 36 = {m^2} - 28m + 28\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \)\(\Delta > 0\) \( \Leftrightarrow \)\({m^2} - 28m + 28 > 0\) \(\left( * \right)\)
Khi đó theo Vi-ét, ta có: \({x_1} + {x_2} = 8 - m\); \({x_1}{x_2} = 3m + 9\)
Theo đề \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 25\)
\({x_1}^2 + {x_2}^2 = 25\) \( \Leftrightarrow \)\({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 25\)
\( \Leftrightarrow \)\({\left( {8 - m} \right)^2} - 2\left( {3m + 9} \right) = 25\)
\( \Leftrightarrow \)\(64 - 16m + {m^2} - 6m - 18 = 25\)
\( \Leftrightarrow \)\({m^2} - 22m + 21 = 0\)
\( \Leftrightarrow \)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1 \left( {tho\^u a \left( * \right)} \right) }\\{m = 21 \left( {kho\^a ng tho\^u a \left( * \right)} \right) }\end{array}} \right.\)
Vậy \(m = 1\) là giá trị cần tìm.
Chú ý: \(\Delta > 0\). Có thể trình bày \(\Delta > 0\) \( \Leftrightarrow \)\({m^2} - 28m + 28 > 0\) \( \Leftrightarrow \)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 14 - 2\sqrt {42} }\\{m > 14 + 2\sqrt {42} }\end{array}} \right.\) \(\left( * \right)\)
Hệ thống cáp treo núi Bà Đen tỉnh Tây Ninh gồm hai tuyến Vân Sơn và Chùa Hang có tổng cộng 191 cabin, mỗi cabin có sức chứa 10 người. Nếu tất cả các cabin của hai tuyến đều chứa đủ số người theo qui định thì số người ở tuyến Vân Sơn nhiều hơn số người ở tuyến Chùa Hang là 350 người. Tính số cabin của mỗi tuyến.
Gọi số cabin của tuyến Vân Sơn là \(x\) (cabin) \(\left( {x \in {\mathbb{Z}^ + }, x < 191} \right)\)
Gọi số cabin của tuyến Chùa Hang là \(y\) (cabin) \(\left( {y \in {\mathbb{Z}^ + }, y < 191} \right)\)
Hai tuyến Vân Sơn và Chùa Hang có tổng cộng 191 cabin nên:
\(x + y = 191\)
Vì số người ở tuyến Vân Sơn nhiều hơn số người ở tuyến Chùa Hang là 350 người (nếu mỗi cabin chứa đủ 10 người) nên:
\(10x - 10y = 350\) hay \(x - y = 35\)
Ta có hệ phương trình
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 191}\\{x - y = 35}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 191}\\{2x = 226}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 113 (nha\"a n)}\\{y = 78 (nha\"a n)}\end{array}} \right.\)
Vậy tuyến Vân Sơn có 113 cabin tuyến Chùa Hang có 78 cabin.
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O) (B và C là các tiếp điểm). Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AC, BD cắt (O) tại E (khác B) và BC cắt OA tại F. Chứng minh bốn điểm C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.
Ta có \(OA \bot BC\) tại F (vì \(OB = OC\) và \(AB = AC\))
\(\Delta ACF\) vuông ở F, trung tuyến FD
\( \Rightarrow \)\(DF = DC = \frac{1}{2}AC\)\( \Rightarrow \)\(\widehat {DFC} = \widehat {DCF}\) (1)
(vì \(\widehat {BDC}\) chung, )
\( \Rightarrow \)\(\widehat {DEC} = \widehat {DCB}\) hay \(\widehat {DEC} = \widehat {DCF}\) (2)
(1), (2) suy ra \(\widehat {DEC} = \widehat {DFC}\)
\( \Rightarrow \)Tứ giác CDEF nội tiếp được.
Hay bốn điểm C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.
Cách 2:
Ta có OA là trung trực của đoạn BC (vì \(OB = OC\) và \(AB = AC\))
\(OA \bot BC\) tại F và \(FB = FC\)
DF là đường trung bình của \(\Delta ABC\)\( \Rightarrow \)\(DF\parallel AB\)
\( \Rightarrow \)\(\widehat {EDF} = \widehat {ABD}\) (so le trong, \(DF\parallel AB\)) (1)
\( \Rightarrow \) (2)
(1), (2) suy ra \(\widehat {EDF} = \widehat {ECF}\)\( \Rightarrow \)Tứ giác CDEF nội tiếp được.
Hay bốn điểm C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HB và HC. Kẻ MK vuông góc với AN tại K, MK cắt AH tại I. Tính tỉ số \(\frac{{AH}}{{AI}}\).
Lấy điểm L đối xứng với H qua I.
\(MI\parallel BL\) (MI là đường trung bình \(\Delta HBL\))
\(MI \bot AN\) (vì \(MK \bot AN\))
Do đó \(BL \bot AN\)
\(\Delta ABN\) có L là trực tâm (giao điểm 2 đường cao AH và BL)
Suy ra \(NL \bot AB\)
\(NL \bot AB\), \(AC \bot AB\) suy ra \(NL\parallel AC\)
\(\Delta HAC\) có \(NH = NC\)và \(NL\parallel AC\) nên \(AL = LH\)
Từ đó \(AL = LH = 2.IH\), suy ra \(AH = 4.IH\) và \(AI = 3.IH\).
Do đó \(\frac{{AH}}{{AI}} = \frac{4}{3}\).
