Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Quảng Ninh có đáp án
5 câu hỏi
a) Thực hiện phép tính \(2\sqrt 9 - \sqrt {16} \).
b) Xác định hệ số \(a\) của đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\) đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\).
c) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y = 7}\\{x - 2y = - 4}\end{array}} \right.\)
d) Rút gọn biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 3}} + \frac{2}{{\sqrt x + 3}}} \right):\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1,x \ne 9\).
a) \(2\sqrt 9 - \sqrt {16} = 2 \cdot \sqrt {{3^2}} - \sqrt {{4^2}} = 2.3 - 4 = 6 - 4 = 2\)
b) Thay \({\rm{x}} = 1,{\rm{y}} = 2\) vào hàm số \(y = a{x^2}\) ta có:
\(2 = a{.1^2} \Leftrightarrow a = 2\).
Vậy \(a = 2\).
c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y = 7}\\{x - 2y = - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y = 7}\\{x = 2y - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\left( {2y - 4} \right) + y = 7}\\{x = 2y - 4}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4y - 8 + y = 7}\\{x = 2y - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5y = 15}\\{x = 2y - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 3}\\{x = 2y - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {2;3} \right)\).
d) Với \(x \ge 0,x \ne 1,x \ne 9\) ta có:
\(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 3}} + \frac{2}{{\sqrt x + 3}}} \right):\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}\)
\(P = \frac{{\sqrt x + 3 + 2\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}:\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}\)
\(P = \frac{{\sqrt x + 3 + 2\sqrt x - 6}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 1}}\)
\(P = \frac{{3\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 3}} \cdot \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\)
\(\; = \frac{{3\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x + 3}} \cdot \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\)
\(P = \frac{3}{{\sqrt x + 3}}\)
Vậy với \(x \ge 0,x \ne 1,x \ne 9\) thì \(P = \frac{3}{{\sqrt x+ 3}}\).
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 9 = 0\), với \(m\) là tham số.
a) Giải phương trình khi \(m = 3\);
b) Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có nghiệm \(x = 2\);
c) Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) sao cho \({x_1} < {x_2}\) và \(\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| = - 6\).
a) Khi \(m = 3\) phương trình trở thành: \({x^2} - 8x - 9 = 0\),
ta có: \({\rm{\Delta '}} = {( - 4)^2} - 1 \cdot \left( { - 9} \right) = 25 > 0\)
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{4 + \sqrt {25} }}{1} = 9;{x_2} = \frac{{4 - \sqrt {25} }}{1} = - 1\)
Vậy với \(m = 3\) phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 9;{x_2} = - 1\)
b) \(ac = 1.\left( { - 9} \right) < 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Phương trình có nghiệm \(x = 2\) nên thay \(x = 2\) vào phương trình ta có:
\(\begin{array}{l}{2^2} - 2\left( {m + 1} \right)2 - 9 = 0 \Leftrightarrow 4 - 4m - 4 - 9 = 0\\ \Leftrightarrow - 4m - 9 = 0\\ \Leftrightarrow m = - \frac{9}{4}\end{array}\)
Vậy để phương trình có nghiệm \(x = 2\) thì \(m = - \frac{9}{4}\).
c) Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 9 = 0\) có \(a \cdot c = - 9 < 0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu \({x_1},{x_2}\)
Áp dụng hệ thức viet ta có \({x_1} + {x_2} = 2\left( {m + 1} \right)\)
Mà \({x_1} < {x_2} \Rightarrow {x_1} < 0 < {x_2}\)
\(\left| {{x_1}} \right| - \left| {{x_2}} \right| = - 6\)
\( - {x_1} - {x_2} = - 6\)
\( \Leftrightarrow \)\( - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = - 6\)
\( \Leftrightarrow m + 1 = 3\)
\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 6\)
Hai địa điểm \(A\) và \(B\) cách nhau \(280{\rm{\;km}}\). Hai ô tô cùng xuất phát từ \(A\) đến B. Biết vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai \(10{\rm{\;}}\)\(km/h\) và xe thứ nhất đến \(B\) sớm hơn xe thứ hai 30 phút. Tỉnh vận tốc mỗi xe?
Gọi vận tốc của xe thứ hai là \(x({\rm{\;km}}/{\rm{h}},x > 0)\).
Vì vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là \(10{\rm{\;km}}/{\rm{h}}\) nên vận tốc của xe thứ nhất là \(x + 10\) \(\left( {{\rm{km}}/{\rm{h}}} \right)\)
Thời gian xe thứ nhất đi từ \({\rm{A}}\) đến \({\rm{B}}\) là: \(\frac{{280}}{{x + 10}}\) (giờ)
Thời gian xe thứ hai đi từ \({\rm{A}}\) đến \({\rm{B}}\) là: \(\frac{{280}}{x}\) (giờ)
Vi xe thứ nhất đến \({\rm{B}}\) sớm hơn xe thứ hai 30 phút \( = \frac{1}{2}\) giờ nên ta có:
\(\frac{{280}}{x} - \frac{{280}}{{x + 10}} = \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{560\left( {x + 10} \right)}}{{2x\left( {x + 10} \right)}} - \frac{{560x}}{{2x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 10} \right)}}{{2x\left( {x + 10} \right)}}\)
\( \Leftrightarrow 560\left( {x + 10} \right) - 560x = x\left( {x + 10} \right)\)
\( \Leftrightarrow 560x + 5600 - 560x = {x^2} + 10x\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 5600 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 70x + 80x - 5600 = 0\)
\[ \Leftrightarrow x\left( {x - 70} \right) + 80\left( {x - 70} \right) = 0\]
\( \Leftrightarrow \left( {x + 80} \right)\left( {x - 70} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 80 = 0}\\{x - 70 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 80{\rm{\;\;}}\left( {KTM} \right)}\\{x = 70{\rm{(TM)}}}\end{array}} \right)} \right.{\rm{\;}}\)
Vậy vận tốc xe thứ nhất là \(80{\rm{\;km}}/{\rm{h}}\), vận tốc xe thứ hai là \(70{\rm{\;km}}/{\rm{h}}\).
Cho nửa đường tròn tâm \(O\), đường kính \(BC\). Trên nửa đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm \(A\) (\(A\) khác \(B\) và \(C)\), gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\). Trên cung \(AC\) của nửa đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm \(D\) (\(D\) khác \(A\) và \(C\)), gọi \(E\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BD,\) \(I\)là giao điểm của hai đường thẳng \(AH\) và \(BD\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABHE\) nội tiếp;
b) Chứng minh \(BI \cdot BD = BH \cdot BC\);
c) Chứng minh hai tam giác \(AHE\) và \(ACD\) đồng dạng;
d) Hai đường thẳng \(AE\) và \(DH\) cắt nhau tại \(F\). Chứng minh \(IF{\rm{//}}AD\).
a) Do \[AH \bot BC\left( {gt} \right);AE \bot BD\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {AHB} = \widehat {AEB} = 90^\circ \]
Mà \({\rm{E}},{\rm{H}}\) là hai đỉnh kề nhau, cùng nhìn \({\rm{AD}}\) dưới 2 góc bằng nhau nên \({\rm{A}},{\rm{E}},{\rm{H}},{\rm{B}}\) cùng thuộc một đường tròn.
Hay tứ giác \(ABHE\) nội tiếp (đpcm)
b) Ta có \(\widehat {BDC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Xét \(\Delta BIH\) và \(\Delta BCD\) có:
\(\widehat {CBD}\) chung;
\[\widehat {BHI} = \widehat {BDC} = 90^\circ \]
\( \Rightarrow BI \cdot BD = BH \cdot BC\) (đpcm)
c) Do \(ABHE\) nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {AHE} = \widehat {ABE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{AE}}\) )
Mà \(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{AD}}\) )
\( \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {ACD}\).
Do \(ABHE\) nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {HAE = }\widehat {HBE} = \widehat {CBD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE)
Lại có tứ giác \({\rm{ABCD}}\) nội tiếp \(\left( O \right) \Rightarrow \widehat {CBD} = \widehat {CAD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({\rm{CD}}\))
\( \Rightarrow \widehat {HAE} = \widehat {CAD}\)
Xét tam giác \({\rm{AHE}}\) và tam giác \({\rm{ACD}}\) có:
\[\widehat {AHE} = \widehat {ACD}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]
\[\widehat {HAE} = \widehat {CAD}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]
\[ \Rightarrow \Delta AEH \sim \Delta \Delta ADC\left( {g \cdot g} \right)\] \[\begin{array}{*{20}{r}}{}&{}\\{}&{}\\{}&\;\end{array}\]
d) Hai đường thẳng \(AE\) và \(DH\) cắt nhau tại \(F\). Chứng minh \(IF{\rm{//}}AD\).
Một người thợ cơ khí cần cắt vừa đủ một cây sắt dài 100 dm thành các đọan để hàn lại thành khung một hình lập phương và một hình hộp chữ nhật. Biết hình hộp chữ nhật có chiều dài gấp 6 lần chiều rộng và chiều cao bằng chiều rộng (hình vẽ minh họa). Tìm độ dài của các đoạn sắt sao cho tổng thể tích của hai hình thu được nhỏ nhất?
Gọi cạnh hình lập phương bằng \(x\left( {{\rm{dm}}} \right)\). ĐK:
Gọi chiều cao bằng chiều rộng là ĐK: .
Chiều dài hình hộp chữ nhật bằng .
Hình lập phương có 12 cạnh có độ dài bằng .
Hình hộp chữ nhật có 8 cạnh có độ dài bằng và 4 cạnh có độ dài .
Người thợ cắt vừa đủ một cây sắt dài nên ta có:
\({\rm{x}} > 0\)
Thể tích khối lập phương là \({V_1} = {x^3}\).
Thể tích khối hộp chữ nhật là \({V_2} = y \cdot y \cdot 6y = 6{y^3}\).
Tổng thể tích hai hình là: \(V = {V_1} + {V_2} = {x^3} + 6{y^3} = {\left( {\frac{{25 - 8y}}{3}} \right)^3} + 6{y^3}\).
\(12x + 8y + 4.6y = 100 \Leftrightarrow 12x + 32y = 100 \Leftrightarrow 3x + 8y = 25 \Leftrightarrow x = \frac{{25 - 8y}}{3}\)
Ta có: \({x^3} + {3^3} + {3^3} \ge 3\sqrt[3]{{{x^3} \cdot {3^3} \cdot {3^3}}} = 27x\)
\(6\left( {{y^3} + {2^3} + {2^3}} \right) \ge 6 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{{{y^3} \cdot {2^3} \cdot {2^3}}} = 72y\)
Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức ta được:
\({x^3} + 6{y^3} + 150 \ge 27x + 72y\)
\( \Leftrightarrow V + 150 \ge 9\left( {3x + 8y} \right)\)
\( \Leftrightarrow V + 150 \ge 9.25\)
\( \Leftrightarrow V + 150 \ge 225\)
\( \Leftrightarrow V \ge 75\)
Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 2}\end{array}} \right.\).
Vậy tổng thể tích của hai hình thu được nhỏ nhất bằng \(75{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}\) khi độ dài cạnh hình lập phương bằng \(3{\rm{dm}}\), độ dài chiều rộng và chiều cao hình hộp chữ nhật bằng \(2{\rm{dm}}\), chiều dài hình hộp chữ nhật bằng \(12{\rm{dm}}\).
