Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Quảng Bình có đáp án
4 câu hỏi
Cho biểu thức \(A = \frac{1}{{\sqrt a + 2}} + \frac{4}{{a - 4}}\) với \(a \ge 0\) và \(a \ne 4\).
1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm tất cả các giá trị của a để \(A = \frac{1}{2}.\)
1.Với \(a \ge 0\) và \(a \ne 4\) ta có
\(A = \frac{1}{{\sqrt a + 2}} + \frac{4}{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt a - 2 + 4}}{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt a + 2}}{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 2} \right)}}\)
\( = \frac{1}{{\sqrt a - 2}}\)
2.\[A = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt a - 2}} = \frac{1}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt a - 2 = 2\]
\[ \Leftrightarrow \sqrt a = 4\]
\[ \Leftrightarrow a = 16{\rm{ }}\left( {TM} \right)\]. Vậy \(a = 16\).
1. Giải phương trình \({x^2} + 3x - 4 = 0\).
2. Cho phương trình \({x^2} + 3x + m - 3 = 0,\) (m là tham số).
a. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm.
b. Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2},\)tìm tất cả các giá trị của m để \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn hệ thức \(2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 2\).
1.Ta thấy \(a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0\)
nên phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 1\) và \({x_2} = - 4\).
2a.Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta \ge 0\)
\( \Leftrightarrow 9 - 4\left( {m - 3} \right) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow 21 - 4m \ge 0\)
\( \Leftrightarrow m \le \frac{{21}}{4}\). Vậy \(m \le \frac{{21}}{4}\).
b)Khi \(m \le \frac{{21}}{4}\) thì phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)
Theo Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 3\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right.\)
Ta có \(2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 2\) \( \Leftrightarrow 2\left( {m - 3} \right) + 3 = 2\)
\( \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}\left( {TM} \right)\). Vậy \(m = \frac{5}{2}\).
Với \(x \in \mathbb{R},\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 9{x^2} - 2\left| {3x - 2} \right| - 12x + 2028.\)
Ta có \(P = {\left( {3x} \right)^2} - 2.2.3x + {2^2} - 2\left| {3x - 2} \right| + 2024\)
\( = {\left( {3x - 2} \right)^2} - 2\left| {3x - 2} \right| + 1 + 2023\)
\( = {\left( {\left| {3x - 2} \right| - 1} \right)^2} + 2023 \ge 2023,\forall x \in \mathbb{R}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
\(\left| {3x - 2} \right| - 1 = 0 \Leftrightarrow \left| {3x - 2} \right| = 1\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 2 = 1\\3x - 2 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{1}{3}\end{array} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 2023 đạt được khi \(x = 1\) hoặc \(x = \frac{1}{3}\).
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm C thuộc nửa đường tròn đó (C khác A và B). Lấy điểm E thuộc cung AC (E khác A và C) sao cho AE<BC, gọi M là giao điểm của AC và BE. Kẻ MH vuông góc với AB tại H.
1. Chứng minh tứ giác BCMH nội tiếp.
2. Chứng minh \(\Delta ACE\) đồng dạng với \(\Delta HCM.\)
3. Gọi K là giao điểm của OE và HC. Chứng minh \(KE.KO = KC.KH.\)
1.Xét tứ giác BCMH có
\(\widehat {BCM} = \widehat {ACB} = {90^0}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\widehat {MHB} = {90^0}\) (vì \(MH \bot AB\))
Suy ra \(\widehat {BCM} + \widehat {MHB} = {180^0}\)nên tứ giác BCMH nội tiếp đường tròn.
2.Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta HCM\) có: \(\widehat {EAC} = \widehat {EBC}\)(Cùng chắn cung )
\(\widehat {MHC} = \widehat {EBC}\)(Cùng chắn cung )
Suy ra \(\widehat {EAC} = \widehat {MHC}{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Tương tự ta có \(\widehat {ACE} = \widehat {MCH}{\rm{ }}\left( 2 \right)\), (cùng bằng \(\widehat {ABE}\))
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\Delta ACE\) ∽ \(\Delta HCM{\rm{ }}\left( {g - g} \right)\) (đpcm)
3.Chứng minh được tứ giác AEMH nội tiếp
Suy ra \(\widehat {CAB} = \widehat {MEH}\) (Cùng chắn cung )
Mà \(\widehat {CAB} = \widehat {CEB}\) (Cùng chắn cung )
Suy ra \(\widehat {CAB} = \widehat {MEH} = \widehat {CEB}\)
Ta có \(\widehat {COB} = 2.\widehat {CAB}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn )
Do đó \(\widehat {COB} = 2.\widehat {CEB} = \widehat {CEH}\) nên tứ giác CEHO nội tiếp
Suy ra \(\widehat {HEO} = \widehat {HCO}\) và \(\widehat {EHC} = \widehat {EOC}\)
Nên \(\Delta EKH\) ∽ \(\Delta CKO{\rm{ }}\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{KE}}{{KC}} = \frac{{KH}}{{KO}}\)\( \Rightarrow KE.KO = KC.KH\)
