Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Lạng Sơn có đáp án

a) Tính giá trị các biểu thức:

\(A = \sqrt {36}  - \sqrt 4 \)= 6-2=4;

\(B = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt {15} } \right)}^2}}  + \sqrt {15} \)=\(\left| {4 - \sqrt {15} } \right| + \sqrt {15}  = 4 - \sqrt {15}  + \sqrt {15}  = 4\);

C=\(\frac{{\sqrt {12}  + \sqrt {27} }}{{\sqrt 3 }}\)\(\frac{{\sqrt {4.3}  + \sqrt {9.3} }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 3  + 3\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 5\).

b) Cho biểu thức P = \(\left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{1}{{x - 9}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 3}}\)   với \(x \ge 0,x \ne 9\).

1) Rút gọn biểu thức P.

Với \(x \ge 0,x \ne 9\). Ta có:

P = \(\left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{1}{{x - 9}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  + 3}} = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} + \frac{1}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}} \right).\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 4}}\)

= \(\frac{{\sqrt x  + 3 + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 4}} = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 4}} = \frac{1}{{\sqrt x  - 3}}.\)

Vậy với \(x \ge 0,x \ne 9\) thì P =\(\frac{1}{{\sqrt x  - 3}}\).

2) Tính giá trị của x để P = \(\frac{1}{2}\).

Với \(x \ge 0,x \ne 9\) để  P =\(\frac{1}{2}\)thì \(\frac{1}{{\sqrt x  - 3}}\)= \(\frac{1}{2}\)\( \Rightarrow 2 = \sqrt x  - 3 \Leftrightarrow \sqrt x  = 5 \Leftrightarrow x = 25\) (thỏa mãn)

Vậy x = 25 thì P = \(\frac{1}{2}\).

a) Vẽ đường thẳng (d): y = \(3x - 2\).

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 2\)

Với \(y = 0 \Rightarrow 3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\)

Vậy (d) là đường thẳng qua \(\left( {0; - 2} \right)\) và \(\left( {\frac{2}{3};0} \right)\)

b) Hoành  độ giao điểm của đồ thị hàm số (P): y = \({x^2}\) và đường thẳng (d): y = \(3x - 2\)là nghiệm của phương trình:

 \({x^2} = 3x - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\)

Vì a+b+c = 1+(-3)+2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = 1;{x_2} = 2\)

Với \({x_1} = 1 \Rightarrow {y_1} = {1^2} = 1;{x_2} = 2 \Rightarrow {y_2} = {2^2} = 4.\)

Vậy (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm là A(1;1) và B(2;4).

a) Giải hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\3x - 2y = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 10\\3x - 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = 15\\y = 5 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5 - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là: \(S = \left\{ {\left( {3;2} \right)} \right\}\).

b) Giải phương trình: \({x^2} - 9x + 14 = 0\).

Ta có \(\)\(\Delta  = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.14 = 81 - 56 = 25\rangle 0\)\(\)

\( \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 9} \right) - \sqrt {25} }}{{2.1}} = 2;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 9} \right) + \sqrt {25} }}{{2.1}} = 7.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là:\(S = \left\{ {2;7} \right\}.\)

c) Cho phương trình: \({x^2} - (m + 2)x + m - 3 = 0\)(*), với m là tham số.

1) Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2}\) > 5.

Xét phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m - 3 = 0(*),\)với m là tham số.

1) Phương trình (*) có: \(\Delta  = {\left[ { - \left( {m + 2} \right)} \right]^2} - 4.1.\left( {m - 3} \right) = {m^2} + 4m + 4 - 4m + 12 = {m^2} + 16\) >0 với mọi m. Vậy (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2) Với mọi m thì phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)thỏa hệ thức Vi-et, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}.{x_2} = m - 3.\end{array} \right.\)

Theo bài ra: \({x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2}\)>5 \( \Leftrightarrow m + 2 + 2\left( {m - 3} \right)\)>5\( \Leftrightarrow m + 2 + 2m - 6\)>5\( \Leftrightarrow 3m > 9 \Leftrightarrow m > 3.\)

Vậy m > 3 là các giá trị cần tìm.

a) Chứng minh rằng tứ giác AFHE nội tiếp.

Tứ giác AFHE có \(\widehat {{\rm{AF}}H} = \widehat {AEH} = {90^0}\)(GT)\( \Rightarrow \)tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH.

b) Chứng minh rằng \(\)∆EAD ~∆EFC

Xét ∆EAD và ∆EFC có:

\(\widehat {EAD} = \widehat {{\rm{EF}}C}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn ,tứ giác AFHE nội tiếp);

Tứ giác CDHE có \(\widehat {CDH} = \widehat {CEH} = {90^0}\)(GT) nên nội tiếp đường tròn đường kính CH \( \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {FCE}\)( hai góc nội tiếp cùng chắn );

c) Kẻ DE cắt đường tròn đường kính AC tại M ( \(M \ne D\)); DF cắt đường tròn đường kính AB tại N( \(N \ne D\)). Gọi \(K = FM \cap EN\). Chứng minh rằng AF = AM và đường thẳng EF đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.

Tứ giác AEDB có\(\widehat {AEB} = \widehat {ADB} = {90^0}\)(GT) nên nội tiếp đường tròn đường kính AB ( gọi là (P))     \( \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {EDC}\)( cùng bù với  ( hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau)

\( \Rightarrow C\) là điểm chính giữa của \( \Rightarrow AC\) là trung trực của FM ( quan hệ vuông góc giũa đường kính và dây) \( \Rightarrow {\rm{AF}} = AM;\)

Tương tự, tứ giác AFDC có \(\widehat {{\rm{AF}}C} = \widehat {ADC} = {90^0}\)(GT) nên nội tiếp đường tròn đường kính AC ( gọi là (Q))\( \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {BDF}\)( cùng bù với  ( hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau) \( \Rightarrow B\)là điểm chính giữa của AB là trung trực của EN ( quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây) \( \Rightarrow AB \bot EN;\) mà \(AB \bot CF\)(GT) NE // CF ( cùng vuông góc với AB) hay HF //EK.

Tương tự:FK // HE ( cùng vuông góc với AC), tứ giác HFKE có các cạnh đối song song nên là hình bình hành suy ra đường chéo EF đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.

Với các số thực a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 3. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

 \(\frac{{{a^3}}}{{{a^2} + b}} = a - \frac{{ab}}{{{a^2} + b}} \ge a - \frac{{ab}}{{2a\sqrt b }} = a - \frac{{\sqrt b }}{2};\)

Tương tự: \(\frac{{{b^3}}}{{{b^2} + c}} = b - \frac{{bc}}{{{b^2} + c}} \ge b - \frac{{bc}}{{2b\sqrt c }} = b - \frac{{\sqrt c }}{2};\)

\(\frac{{{c^3}}}{{{c^2} + a}} = c - \frac{{ca}}{{{c^2} + a}} \ge c - \frac{{ca}}{{2c\sqrt a }} = c - \frac{{\sqrt a }}{2}.\)

Vậy:

\(P = \frac{{{a^3}}}{{{a^2} + b}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + c}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + a}} \ge a - \frac{{\sqrt b }}{2} + b - \frac{{\sqrt c }}{2} + c - \frac{{\sqrt a }}{2} = \left( {a + b + c} \right) - \frac{1}{2}\left( {\sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt c } \right)\)

Mặt khác, ta có:

   \({\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} + {\left( {\sqrt b  - \sqrt c } \right)^2} + {\left( {\sqrt c  - \sqrt a } \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \)

   \( \Leftrightarrow 3\left( {a + b + c} \right) \ge {\left( {\sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt c } \right)^2} \Leftrightarrow \sqrt 3 \sqrt {\left( {a + b + c} \right)}  \ge \sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt c \)

\( \Leftrightarrow  - \left( {\sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt c } \right) \ge  - \sqrt 3 \sqrt {a + b + c}  =  - 3\)

\( \Rightarrow P \ge 3 - \frac{1}{2}.3 = \frac{3}{2}.\)

Vậy \(P \ge \frac{3}{2}.\)

Dấu bằng xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\a + b + c = 3\\{a^2} = b\\{b^2} = c\\{c^2} = a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1.\)