Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Hải Dương có đáp án

1) Ta có \(\frac{{2x + 1}}{5} = \frac{{5 - x}}{3}\)  \( \Leftrightarrow 3\left( {2x + 1} \right) = 5\left( {5 - x} \right)\)

\( \Leftrightarrow 6x + 3 = 25 - 5x\) \( \Leftrightarrow 11x = 22\)

\( \Leftrightarrow x = 2\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 2\).

2) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 5\\2x + 5y = 12\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15x + 5y = 25\\2x + 5y = 12\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13x = 13\\2x + 5y = 12\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)\).

1) Với \(x > 0,x \ne 1\) ta có \(A = \sqrt x .\left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x  + 1}}{{x - 2\sqrt x  + 1}}\)

\(A = \sqrt x .\left[ {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right]:\frac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}\)

\(A = \sqrt x .\frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x  + 1}}{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}\)

\(A = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  + 1}}\)

\(A = \sqrt x  - 1\)

Vậy \(A = \sqrt x  - 1\) với \(x > 0,x \ne 1\).

2) Ta có \(\left( d \right)\) song song với \(\left( {d'} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b \ne 3\end{array} \right.\)

Lại có \(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {1;3} \right)\) \( \Rightarrow 3 = 1.a + b\)

\( \Rightarrow 3 = 1.5 + b\) \( \Leftrightarrow b =  - 2\)

Vậy \(a = 5,b =  - 2\).

1) Gọi số công nhân lúc đầu của đội là \(x\) (người). ĐK: \(x > 4,x \in \mathbb{N}\)

Số công nhân làm việc thực tế là \(x - 4\) (người)

Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo dự định là \(\frac{{96}}{x}\) (cây)

Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo dự định là \(\frac{{96}}{{x - 4}}\) (cây)

Ta có phương trình \(\frac{{96}}{{x - 4}} - \frac{{96}}{x} = 4\)

\( \Rightarrow 96x - 96\left( {x - 4} \right) = 4x\left( {x - 4} \right)\)

\( \Leftrightarrow 96x - 96x + 384 = 4{x^2} - 16x\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 16x - 384 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 96 = 0\)

\(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 96} \right) = 100\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 2 + \sqrt {100}  = 12\) (thỏa mãn), \({x_1} = 2 - \sqrt {100}  =  - 8\) (loại)

Vậy số công nhân lúc đầu của đội là \(12\) (người).

2) Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là:

\({x^2} = 3x + m \Leftrightarrow {x^2} - 3x - m = 0\)   (*)

\(\Delta  = 9 + 4m\)

Để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

\(\Delta  > 0 \Leftrightarrow 9 + 4m > 0 \Leftrightarrow m > \frac{{ - 9}}{4}\)

Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\,\,(1)\\{x_1}{x_2} =  - m\,\,(2)\end{array} \right.\)

Theo đề \({x_1} + 2{x_2} = m + 3\)  (3)

Từ (1), (3) suy ra \(3 + {x_2} = m + 3 \Leftrightarrow {x_2} = m \Rightarrow {x_1} = 3 - m\)

Thay vào (2) ta có \[m\left( {3 - m} \right) =  - m\] \[ \Leftrightarrow m\left( {4 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\4 - m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right.\]

Vậy \[m = 0\] hoặc \[m = 4\].

1) Vì \(BD,CE\) là đường cao nên \(\widehat {BDA} = \widehat {CEA} = 90^\circ \)

Tứ giác \(ADHE\) có \(\widehat {HDA} + \widehat {HEA} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \) nên \(ADHE\) nội tiếp đường tròn, suy ra \(\widehat {DAH} = \widehat {DEH}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HE\))

Vậy \(\widehat {DAH} = \widehat {DEH}\).

2) Tam giác \(ADH\) vuông tại \(D\) có \(DM\) là trung tuyến (là trung điểm \(AH\)), suy ra \(MD = MA = MH = \frac{{AH}}{2}\)

Tương tự: \(ME = MA = MH = \frac{{AH}}{2}\)

Suy ra \(MD = MA = MH = ME\) \( \Rightarrow \Delta MAD\) cân tại \(M\), suy ra \(\widehat {MDA} = \widehat {MAD}\).

Tương tự: \(\widehat {ODC} = \widehat {OCD}\)

Do đó: \(\widehat {MDA} + \widehat {ODC} = \widehat {MAD} + \widehat {OCD} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {MDO} = 90^\circ \)

Tương tự: \(\widehat {MEO} = 90^\circ \)

Tứ giác \(MDOE\) có \(\widehat {MDO} + \widehat {MEO} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \) nên \(MDOE\) nội tiếp đường tròn.

3) Ta có \(A{H^2} = 2MK.\left( {AF + HF} \right)\)   (1)

\( \Leftrightarrow A{H^2} = 2MK.\left( {AH + HF + HF} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4M{H^2} = 2MK.\left( {2HM + 2HF} \right)\)

\( \Leftrightarrow M{H^2} = MK.HM + MK.HF\)

\( \Leftrightarrow M{H^2} - MK.HM = MK.HF\)

\( \Leftrightarrow MH.\left( {MH - MK} \right) = MK.HF\)

\( \Leftrightarrow MH.HK = MK.HF\)

Tam giác \(DKM\) đồng dạng với tam giác \(FDM\) suy ra \(\frac{{MK}}{{MD}} = \frac{{DK}}{{DH}}\)   (2)

Vì (2) được chứng minh nên (1) được chứng minh.

Vậy \(A{H^2} = 2MK.\left( {AF + HF} \right)\).

Xét ba \(a - 1;b - 1;c - 1\) số luôn có hai số cùng dấu.

Giả sử \(a - 1;b - 1\) là hai số cùng dâu, suy ra \(\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 0\)

\( \Rightarrow c\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 0\)

\( \Rightarrow abc - ac - bc + c \ge 0\)

\( \Rightarrow 2abc + 2c \ge 2ac + 2bc\)   (1)

Lại có \({\left( {c - 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {c^2} - 2c + 1 \ge 0\)  (2)

Từ (1), (2) ta có \(2abc + {c^2} + 1 \ge 2ac + 2bc\)

Suy ra \({a^2} + {b^2} + 2abc + {c^2} + 1 \ge 2ab + 2ac + 2bc\) (đpcm)