Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Hà Nam có đáp án
5 câu hỏi
1. Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt 3 - 3\sqrt {27} + 7\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } .\)
2. Cho biểu thức \(P = \frac{1}{{2\sqrt x - 4}} - \frac{1}{{2\sqrt x + 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\) (với \(x \ge 0,\,x \ne 4\)).
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
b) Tìm tất cả các số nguyên \(x\) để \(P\) đạt giá trị nguyên.
1.Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt 3 - 3\sqrt {27} + 7\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } .\)
\(A = 2\sqrt 3 - 9\sqrt 3 + 7\sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} \)
\(A = 2\sqrt 3 - 9\sqrt 3 + 7\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\)
\(A = 14\)
2. Cho biểu thức \(P = \frac{1}{{2\sqrt x - 4}} - \frac{1}{{2\sqrt x + 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\) (với \(x \ge 0,\,x \ne 4\) ).
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
\(P = \frac{8}{{4x - 16}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\)
\(P = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 4}} = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
b) Tìm tất cả các số nguyên \(x\) để \(P\) đạt giá trị nguyên.
\(P\) đạt giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \sqrt x - 2 = \pm 1\)
\(\sqrt x - 2 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = 9\)(thỏa mãn điều kiện \(x \ge 0,\,x \ne 4\)).
\(\sqrt x - 2 = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\)(thỏa mãn điều kiện \(x \ge 0,\,x \ne 4\)).
1. Giải phương trình \({x^2} + 2x - 15 = 0.\)
2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right..\)
1. Giải phương trình \({x^2} + 2x - 15 = 0.\)
\(\Delta ' = 1 + 15 = 16 > 0\) .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = - 1 + \sqrt {16} = 3\) .
\({x_2} = - 1 - \sqrt {16} = - 5\).
2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\2x - 2y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 7\\x - y = 4\end{array} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 3\\x - y = 4\end{array} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 3\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 3} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \((P)\,\) có phương trình \(y = {x^2}\), đường thẳng \((d)\) có phương trình \(y = 2x + {m^2} - 4m + 9\) (với \(m\) là tham số) và đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) có phương trình \(y = \left( {a - 3} \right)x + 4\) (với \(a\) là tham số).
1. Tìm \(a\) để đường thẳng \((d)\) và đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) vuông góc với nhau.
2. Chứng minh đường thẳng \((d)\)luôn cắt parabol \((P)\,\)tại hai điểm phân biệt \(A,\,B\) với mọi \(m\). Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) (với \({x_1} < {x_2}\)), tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho \(\left| {{x_1} - 2023} \right| - \left| {{x_2} + 2023} \right| = {y_1} + {y_2} - 48.\)
1.\((d) \bot \left( \Delta \right) \Leftrightarrow 2.\left( {a - 3} \right) = - 1\)
\( \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}\).
2.Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \((d)\)và \((P)\,\)
\({x^2} = 2x + {m^2} - 4m + 9 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - {m^2} + 4m - 9 = 0\,\left( 1 \right)\)
\(\Delta ' = {m^2} - 4m + 10 = {\left( {m - 2} \right)^2} + 6 > 0\,\forall m\)
Vậy đường thẳng \((d)\)luôn cắt \((P)\,\)tại hai điểm phân biệt \(A,\,B\) với mọi \(m\)
\(a.c = - {m^2} + 4m - 9 = - {\left( {m - 2} \right)^2} - 5 < 0\,\forall m \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm trái dấu \({x_1} < 0 < {x_2}\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} - 2023 < 0\\{x_2} + 2023 > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left| {{x_1} - 2023} \right| - \left| {{x_2} + 2023} \right| = - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)
\[\begin{array}{l}\left| {{x_1} - 2023} \right| - \left| {{x_2} + 2023} \right| = {y_1} + {y_2} - 48 \Leftrightarrow - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = x_1^2 + x_2^2 - 48\\ \Leftrightarrow - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} - 48 \Leftrightarrow - 2 = {2^2} - 2\left( { - {m^2} + 4m - 9} \right) - 48\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 12 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = - 2\end{array} \right..\end{array}\]
Cho đường tròn \(\left( O \right)\). Từ điểm \(M\) bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến \(MA,\,MB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A,\,B\) là các tiếp điểm). Lấy điểm \(C\) trên cung nhỏ \(AB\) (\(C\)không nằm chính giữa cung \(AB\), \(C\) khác \(A\) và \(B\)). Gọi \(D,\,E,\,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên các đường thẳng \(AB,\,AM,\,BM\).
1. Chứng minh tứ giác \(AECD\) nội tiếp đường tròn.
2. Chứng minh rằng \(\widehat {CDE} = \widehat {CFD}.\)
3. Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(ED\), \(K\) là giao điểm của \(CB\) và \(DF\). Chứng minh \(CD \bot IK.\)
4. Đường tròn ngoại tiếp hai tam giác \(CIE\) và \(CKF\) cắt nhau tại điểm thứ hai \(N\) (\(N\) khác \(C\)). Chứng minh đường thẳng \(NC\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).
1.\(DC \bot AD \Rightarrow \widehat {ADC} = 90^\circ \) .
\(AE \bot EC \Rightarrow \widehat {AEC} = 90^\circ \).
\(\widehat {ADC} + \widehat {AEC} = 180^\circ \).
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(AECD\) nội tiếp đường tròn..
2.Tứ giác \(AECD\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CAE}.\).
\(\widehat {CDB} + \widehat {CFB} = 180^\circ \Rightarrow \)Tứ giác \(CDBF\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {CFD} = \widehat {CBD}.\).
Mà \(\widehat {CBD} = \widehat {CAE}\) ( Cùng chắn cung \(AC\) ).
\( \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CFD}.\).
3.Tứ giác \(CDBF\) nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {CFD} = \widehat {CBD}.\)
\(\widehat {CDE} = \widehat {CFD}\)(Chứng minh trên)
\( \Rightarrow \) \(\widehat {CDE} = \widehat {CBD}\) hay \(\widehat {CDI} = \widehat {CBA}\,\left( 1 \right)\)
Tứ giác \(CDBF\) nội tiếp \(\widehat {CDF} = \widehat {CBF}\)
Mà \(\widehat {CBF} = \widehat {CAB}\) (Cùng chắn cung \(BC\))
\( \Rightarrow \widehat {CDK} = \widehat {CAB}\,\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {ICK} + \widehat {IDK} = \widehat {ICK} + \widehat {IDC} + \widehat {CDK}\)=\(\widehat {ACB} + \widehat {CBA} + \widehat {CAB} = {180^0}\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(CIDK\) nội tiếp.
Suy ra \(\widehat {CIK} = \widehat {CDK}\)
Mà \(\widehat {CDK} = \widehat {CAB}\,\)(Chứng minh trên)
\( \Rightarrow \widehat {CIK} = \widehat {CAB}\).
\( \Rightarrow IK\) //\(AB\)
Mà \(CD \bot AB \Rightarrow CD \bot IK.\).
4.Gọi \(NC\) cắt \(IK,\,AB\) lần lượt tại \(P,\,Q\)
\(\widehat {CIK} = \widehat {CAB}\) (Chứng minh trên).
Tứ giác \(AECD\) nội tiếp đường tròn \( \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {CED}\) hay \(\widehat {CAB} = \widehat {CEI}\)
\( \Rightarrow \widehat {CEI} = \widehat {CIK}\)
\( \Rightarrow IK\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CIE\)
Chứng minh tương tự: \(IK\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(CKF\) .
Xét hai tam giác \(PIC,\,PNI\) có
\(\widehat {IPN}\) chung, \(\widehat {PIC} = \widehat {PNI}\) (cùng chắn cung \(IC\))
.
\( \Rightarrow \frac{{PI}}{{PN}} = \frac{{PC}}{{PI}} \Rightarrow P{I^2} = PC.PN\)
Chứng minh tương tự: \(P{K^2} = PC.PN\)
Vậy \(PI = PK\).
\(IK\) // \(AB\)\( \Rightarrow \frac{{IP}}{{AQ}} = \frac{{CP}}{{CQ}} = \frac{{PK}}{{QB}}\)
Mà \(PI = PK \Rightarrow AQ = QB\)
Hay \(Q\) là trung điểm của \(AB\).
Cho \(a,\,b,\,c\) là các số không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1011\). Chứng minh: \(\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le 2022\sqrt 2 .\)
Ta có:
\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} = \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2} - 2bc} \le \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2}} \] (vì bc ≥ 0)
Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} \le \sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {1011 - a} \right)}^2}}}{2}} \]
Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} \le \sqrt {\frac{{{{\left( {1011 + a} \right)}^2}}}{2}} \]
Þ \[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{1011 + a}}{{\sqrt 2 }}\] dấu = xảy ra Û \[\left\{ \begin{array}{l}bc = 0\\a + b + c = 1011\end{array} \right.\]
Tương tự: \[\sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{1011 + b}}{{\sqrt 2 }}\]
\[\sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {c - b} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{1011 + c}}{{\sqrt 2 }}\]
\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{3.1011 + a + b + c}}{{\sqrt 2 }}\]
Þ\[\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}} + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}} \le \frac{{4.1011}}{{\sqrt 2 }} = 2022\sqrt 2 \]
Dấu = xảy ra Û \[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1011\\ab = bc = ca = 0\end{array} \right.\]
(Khi trong ba số \(a,\,b,\,c\) có một số bằng 1011 và hai số bằng 0).
