Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Hà Nam có đáp án

1. Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt 3  - 3\sqrt {27}  + 7\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } .\)

2. Cho biểu thức \(P = \frac{1}{{2\sqrt x  - 4}} - \frac{1}{{2\sqrt x  + 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 4}}\) (với \(x \ge 0,\,x \ne 4\)).

a) Rút gọn biểu thức \(P.\)

b) Tìm tất cả các số nguyên \(x\) để \(P\) đạt giá trị nguyên.

1. Giải phương trình \({x^2} + 2x - 15 = 0.\)

2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x\left( {4 - 2y} \right) = 7 + y - 2xy\\2x - 14 = 2\left( {y - 3} \right)\end{array} \right..\)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \((P)\,\) có phương trình \(y = {x^2}\),  đường thẳng \((d)\) có phương trình \(y = 2x + {m^2} - 4m + 9\) (với \(m\) là tham số) và đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) có phương trình \(y = \left( {a - 3} \right)x + 4\) (với \(a\) là tham số).

1. Tìm \(a\) để đường thẳng \((d)\) và đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) vuông góc với nhau.

2. Chứng minh đường thẳng \((d)\)luôn cắt parabol \((P)\,\)tại hai điểm phân biệt \(A,\,B\) với mọi \(m\).  Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) (với \({x_1} < {x_2}\)), tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho \(\left| {{x_1} - 2023} \right| - \left| {{x_2} + 2023} \right| = {y_1} + {y_2} - 48.\)  

Cho đường tròn \(\left( O \right)\). Từ điểm \(M\) bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến \(MA,\,MB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(A,\,B\) là các tiếp điểm). Lấy điểm \(C\) trên cung nhỏ \(AB\) (\(C\)không nằm chính giữa cung \(AB\), \(C\) khác \(A\) và \(B\)). Gọi \(D,\,E,\,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên các đường thẳng \(AB,\,AM,\,BM\).

1. Chứng minh tứ giác \(AECD\) nội tiếp đường tròn.

2. Chứng minh rằng \(\widehat {CDE} = \widehat {CFD}.\)

3. Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(ED\), \(K\) là giao điểm của \(CB\) và \(DF\). Chứng minh \(CD \bot IK.\)

4. Đường tròn ngoại tiếp hai tam giác \(CIE\) và \(CKF\) cắt nhau tại điểm thứ hai \(N\) (\(N\)  khác \(C\)). Chứng minh đường thẳng \(NC\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).

Cho \(a,\,b,\,c\) là các số không âm thỏa mãn \(a + b + c = 1011\). Chứng minh:   \(\sqrt {2022a + \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}}{2}}  + \sqrt {2022b + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{2}}  + \sqrt {2022c + \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}}  \le 2022\sqrt 2 .\)