Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Đồng Tháp có đáp án
5 câu hỏi
a) Tính giá trị của biểu thức \[A = 2\sqrt {81} - \sqrt {25} \].
b) Rút gọn biểu thức \(B = \frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\) với \(x \ge 0,\,x \ne 1\).
a) Tính giá trị của biểu thức \[A = 2\sqrt {81} - \sqrt {25} \].
\[A = 2\sqrt {{9^2}} - \sqrt {{5^2}} \]
\[A = 2.9 - 5\]
\[A = 18 - 5\]
\[A = 13\]
b) Rút gọn biểu thức: \(B = \frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\) với \(x \ge 0,\,x \ne 1\)
\[B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]
\[B = \frac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]
\[B = \frac{2}{{x - 1}}\]
a) Giải phương trình \(x\left( {x - 4} \right) + 3 = 0.\)
b) Cho phương trình \[{x^2} - 5x - 14 = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\]. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \[P = \frac{{{x_1} + 1}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2} + 1}}{{{x_1}}} \cdot \]
a) Giải phương trình \(x\left( {x - 4} \right) + 3 = 0.\)
\(x\left( {x - 4} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\)
Do \(a + b + c = 0\)
Nên phương trình có nghiệm \(x = 1\)
và nghiệm còn lại \(x = \frac{c}{a} = 3.\)
b) Cho phương trình \[{x^2} - 5x - 14 = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\]. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \[P = \frac{{{x_1} + 1}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2} + 1}}{{{x_1}}} \cdot \]
Theo định lí Viet ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = - 14\end{array} \right.\]
\(P = \frac{{{x_1}\left( {{x_1} + 1} \right) + {x_2}\left( {{x_2} + 1} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\)
\(P = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\)
\(P = \frac{{{5^2} + 28 + 5}}{{ - 14}} = - \frac{{29}}{7}\)
a) Hai bạn An và Nam cùng mang số tiền như nhau đến nhà sách để mua tập. An mua loại tập giá \(11\,000\)đồng một quyển, Nam mua loại tập giá \(12\,000\) đồng một quyển. Khi đến nhà sách, hai bạn mới biết nhân dịp “Ngày sách và văn hóa đọc Việt Nam năm \(2023\)” nhà sách có chương trình giảm giá cho các loại tập, sách, văn phòng phẩm,… trong đó có giảm giá \(20\% \) cho các loại tập. Vì thế, số tập của bạn An mua được nhiều hơn số tập của bạn Nam mua là \(2\) quyển. Tính số tập của mỗi bạn đã mua và số tiền mỗi bạn phải trả.
b) Cho hàm số \(y = - {x^2}\) có đồ thị \(\left( P \right)\). Hãy vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) và tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) với đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x\).
a)Gọi \(x,\,y\) lần lượt là số tập của bạn An và bạn Nam mua (\(x,\,y \in {\mathbb{N}^*}\))
Ta có phương trình: \(x - y = 2\)
Sau giảm giá \(20\% \), giá mỗi quyển tập bạn An là
\(\left( {1 - 20\% } \right).11\,000 = 8\,800\) (đồng)
Số tiền mua tập của An là: \(8\,800x\) (đồng)
Sau giảm giá \(20\% \), giá mỗi quyển tập bạn Nam là
\(\left( {1 - 20\% } \right).12\,000 = 9\,600\) (đồng)
Số tiền mua tập của Nam là: \(9\,600y\) (đồng)
Ta có phương trình: \(8\,800x = 9600y\)
Ta có hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 2\\8\,800x - 9600y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 22\end{array} \right.\)
Vậy số tập của bạn An và bạn Nam mua lần lượt là \(24\) quyển, \(22\) quyển.
Số tiền mỗi bạn phải trả là \(24 \times 8\,\,800 = 211{\rm{ }}200\)(đồng)
b)Bảng giá trị
\(x\).\(0\).\(1\).\(2\)
\(y\).\(0\).\( - 1\).\( - 4\)
Phương trình hoành độ giao điểm \( - {x^2} = 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 0\\x = - 2 \Rightarrow y = - 4\end{array} \right.\)
Vậy toạ độ giao điểm là \(\left( {0;0} \right)\) và \(\left( { - 2; - 4} \right)\).
(Tìm toạ độ giao điểm bằng đồ thị vẫn cho điểm tối đa)
a) Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 4{\rm{ cm}}\), \(AD = 3{\rm{ cm}}\) và \(O\) là giao điểm hai đường chéo. Kẻ đường cao \(AH\) của tam giác \(ABD\) (\(H \in BD\)). Tính độ dài các đoạn thẳng \(BD\), \(AH\) và \(OH\).b) Một khối kim loại đặc có hình dạng là một hình trụ và nửa hình cầu, bán kính nửa hình cầu bằng bán kính đáy hình trụ (tham khảo hình vẽ bên). Biết chiều cao của hình trụ là \(h = 4{\rm{ cm}}\)và bán kính đáy là \(R = 3{\rm{ cm}}\). Tính thể tích của khối kim loại.
a)Áp dụng định lí Pytagore ta có \(A{B^2} + A{D^2} = B{D^2}\)
\(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = 5{\rm{ cm}}\)
\(AH\) là đường cao trong tam giác vuông \(ADB\) nên \(AH = \frac{{AB.AD}}{{BD}} = \frac{{12}}{5}{\rm{ cm}}\)
\(OA = \frac{1}{2}DB\), suy ra \(HO = \sqrt {A{O^2} - A{H^2}} = \frac{7}{{10}}{\rm{ cm}}\)
b)Thể tích của khối trụ là \({V_1} = \pi {R^2}h\).
\( = 36\pi {\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Thể tích của nửa khối cầu là \({V_2} = \frac{1}{2}.\frac{4}{3}\pi {R^3} = 18\pi {\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Thể tích của khối kim loại là \[V = {V_1} + {V_2} = 54\pi {\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\]
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\), \(C\) là điểm nằm trên đường tròn \(\left( O \right)\) (khác \(A,B\)) sao cho \(CB > CA\). Kẻ đường cao \(CH\)(\(H \in AB\)) của tam giác \(ABC\), tiếp tuyến tại \(C\) và \(A\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(M\).
a) Chứng minh rằng tứ giác \(AMCO\) nội tiếp đường tròn.
b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(CH\) và \(BM\). Chứng minh rằng \(I\) là trung điểm của \(CH\).
a) MAO^=90°
MCO^=90°
MAO^+MCO^=180°
Suy ra tứ giác \(AMCO\) nội tiếp đường tròn.
b)Gọi \(N\) là giao điểm của tiếp tuyến tại \(C\) và \(B\).
Theo tính chất tiếp tuyến ta có \(MC = MA,NC = NB\).
Vì \(CI||NB\) nên theo định lí Thalet ta có
\(\frac{{CI}}{{NB}} = \frac{{MC}}{{MN}}\) và \(\frac{{CN}}{{NM}} = \frac{{IB}}{{BM}}\) (1)
\( \Rightarrow \frac{{CI}}{{MC}} = \frac{{NB}}{{MN}} = \frac{{CN}}{{MN}}\) (2)
Vì \(IH||AM\) nên theo định lí Thalet ta có
\(\frac{{IH}}{{AM}} = \frac{{BI}}{{BM}}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có \(\frac{{CI}}{{MC}} = \frac{{IH}}{{MA}} \Rightarrow CI = IH \Rightarrow \)\(I\)là trung điểm của \(CH\).
