Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Bình Dương có đáp án
5 câu hỏi
Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
1) \({x^2} + x - 6 = 0\) 2) \(x - 3\sqrt x = 4\) 3) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = - 1\\2x + 3y = 8\end{array} \right.\)
1) Giải phương trình \({x^2} + x - 6 = 0\).
\(\Delta = 25 > 0\) phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = \frac{{ - 1 + 5}}{2} = 2;\,\,{x_2} = \frac{{ - 1 - 5}}{2} = - 3\).
Tập nghiệm phương trình là \(S = \left\{ {2; - 3} \right\}\).
2) Giải phương trình \(x - 3\sqrt x = 4\).
Đặt \(t = \sqrt x \,\left( {x \ge 0,\,t \ge 0} \right)\) phương trình trở thành \({t^2} - 3t - 4 = 0\).
Ta có \(1 - ( - 3) - 4 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({t_1} = - 1\) (loại), \({t_2} = 4\) (nhận).
Với \[t = 4 \Rightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16\].
Tập nghiệm phương trình là \(S = \left\{ {16} \right\}\).
3) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = - 1\\2x + 3y = 8\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = - 1\\2x + 3y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 3y = - 3\\2x + 3y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = 5\\2x + 3y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\2 + 3y = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\)
Tập nghiệm hệ phương trình là \(S = \left\{ {\left( {1;2} \right)} \right\}\).
Cho Parabol \((P):y = - 0,5{x^2}\) và đường thẳng \((d):y = - 0,5x + 2\).
1) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = - 0,5{x^2}\).
2) Viết phương trình đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) biết \(\left( {{d_1}} \right)\) vuông góc với \(\left( d \right)\) và \(\left( {{d_1}} \right)\) tiếp xúc \(\left( P \right)\).
1) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = - 0,5{x^2}\).
2) \(\left( {{d_1}} \right):y = ax + b\) vuông góc với \((d):y = - 0,5x + 2\) nên có \(a.\left( { - 0,5} \right) = - 1 \Leftrightarrow a = 2\).
\(\left( {{d_1}} \right):y = 2x + b\) tiếp xúc \((P):y = - 0,5{x^2}\) nên phương trình \( - 0,5{x^2} = 2x + b \Leftrightarrow - 0,5{x^2} - 2x - b = 0\) có nghiệm kép nên \(\Delta = 4 - 2b = 0 \Leftrightarrow b = 2\).
Vậy phương trình đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 2x + 2\).
Cho phương trình: \({x^2} - 2(m + 1)x + {m^2} + m = 0\) với m là tham số.
1) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\).
2) Tìm hệ thức liên hệ giữa \({x_1}\) và \({x_2}\) mà không phụ thuộc vào tham số m.
1) Phương trình \({x^2} - 2(m + 1)x + {m^2} + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta ' = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - m = m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1\).
Vậy \(m > - 1\) thì phương trình \({x^2} - 2(m + 1)x + {m^2} + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
2) \({x^2} - 2(m + 1)x + {m^2} + m = 0\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m + 1)\\{x_1}.{x_2} = {m^2} + m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} - 1\\{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} - 1} \right)^2} + \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} - 1\end{array} \right.\) Þ \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4{x_1}{x_2} = 0\) là hệ thức liên hệ giữa \({x_1}\) và \({x_2}\) mà không phụ thuộc vào tham số m.
Bác Tư đến siêu thị mua một cái quạt máy và một ấm đun siêu tốc với tổng số tiền theo giá niêm yết là 630000 đồng. Tuy nhiên, trong tuần lễ tri ân khách hàng nên siêu thị đã giảm giá quạt máy 15% và giảm giá ấm đun siêu tốc 12% so với giá niêm yết của từng sản phẩm. Nên Bác Tư chỉ phải trả 543000 đồng khi mua hai sản phẩm trên. Hỏi giá niêm yết (khi chưa giảm giá) của một cái quạt máy và một ấm đun siêu tốc là bao nhiêu ?
Gọi giá tiền niêm yết (khi chưa giảm giá) của một cái quạt máy và một ấm đun siêu tốc là \(x,\,y\,\left( {x > 0,\,y > 0} \right)\) (đồng).
Ta có phương trình \(x + y = 630000\).
Giá tiền quạt máy sau khi giảm giá là \(x - 15\% x = 85\% x = 0,85x\).
Giá tiền ấm siêu tốc sau khi giảm giá là \(y - 12\% y = 88\% y = 0,88y\).
Ta có phương trình \(0,85x + 0,88y = 543000\).
Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 630000\\0,85x + 0,88y = 543000\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 630000\\0,85x + 0,88y = 543000\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0,88x + 0,88y = 554400\\0,85x + 0,88y = 543000\end{array} \right. \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}0,03x = 11400\\x + y = 630000\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 380000\\380000 + y = 630000\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 380000\\y = 250000\end{array} \right.\)
Vậy giá tiền niêm yết (khi chưa giảm giá) của một cái quạt máy và một ấm đun siêu tốc là 380000 (đồng) và 250000 (đồng).
Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C tùy ý trên (O) (C khác A, B và AC < CB). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D. Dựng CH vuông góc với BD tại H (H nằm trên BD). Đường thẳng DO cắt CH và CB lần lượt tại M và N.
1) Chứng minh tứ giác CNHD nội tiếp được trong đường tròn.
2) Chứng minh CM = CO.
3) Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Chứng minh \(EA.EB = E{C^2}\).
4) Khi quay tam giác DNB một vòng quanh cạnh DN ta được một hình nón. Biết \(OB = 6cm,\,BD = 8cm\). Tính thể tích của hình nón tạo thành.
1) Ta có CH ^ BD Þ H nhìn CD dưới một góc vuông (1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau CD và BD, ta có DC = DB
Hai bán kính OC = OB
Þ OD là trung trực của BC Þ OD ^ CB
Þ N nhìn CD dưới một góc vuông (2)
Từ (1) và (2) Þ tứ giác CNHD nội tiếp được trong đường tròn.
2) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau CD và BD, ta có DC = DB, ta có \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\)
Theo tính chất tiếp tuyến và giả thiết, ta có góc \(\widehat {COD} = \widehat {DMH}\) (cùng phụ với hai góc bằng nhau\(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\))
Mặt khác \(\widehat {DMH} = \widehat {CMO}\) (đối đỉnh) Þ \(\widehat {COD} = \widehat {CMO}\)
DCOM có \(\widehat {COM} = \widehat {CMO}\) Þ cân tại C Þ \(CM = CO\).
3) DEAC và DECB có góc E chung và góc \(\widehat {ECA} = \widehat {CBA}\) (cùng chắn cung AC)
Þ đồng dạng Þ \(\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{EC}}{{EB}} \Rightarrow EA.EB = E{C^2}\).
4) Hình nón được tạo bởi tam giác vuông DNB quay quanh DN
Þ bán kính \(r = NB\) và chiều cao \(h = ND\).
Theo Pitago cho tam giác vuông BOD: \(OD = \sqrt {O{B^2} + B{D^2}} = \sqrt {36 + 64} = 10cm\).
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông BOD, ta có: \(BN.OD = OB.BD \Rightarrow BN = \frac{{6.8}}{{10}} = 4,8cm\).
Và \(B{D^2} = DN.DO \Rightarrow DN = \frac{{64}}{{10}} = 6,4cm\)
Thể tích của hình nón tạo thành \(V = \frac{1}{3}\pi .{r^2}.h = \frac{1}{3}\pi .{(4,8)^2}.6,4 = \frac{{6144}}{{125}}\pi \approx 154,4156\,\left( {c{m^3}} \right)\).
