Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Bến Tre có đáp án

*Bảng giá trị                                                                              

\(3{x^2} + 4x - 9 = 0\)

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {{b'}^2} - ac\\{\rm{   }} = 4 - 3.\left( { - 9} \right) = 31\end{array}\)

Do \(\Delta ' = 31 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - 2 + \sqrt {31} }}{3}\\{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - 2 - \sqrt {31} }}{3}\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - 2 + \sqrt {31} }}{3}\), \({x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - 2 - \sqrt {31} }}{3}\)

 \(A = \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}:\frac{1}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  - 1}}.\sqrt x  = x\)

Vậy \(A = x\) với \(x > 0\) và \(x \ne 1\)

\({x^2} - \left( {m + 1} \right)x - 2023 = 0\)

\(\Delta  = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} + 2023 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 2023 > 0\) với \(\forall m\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} = m + 1\\{x_1}.\,{x_2} = \frac{c}{a} =  - 2023\end{array} \right.\,\,\,\,(1)\)

\(\frac{1}{{{x_1} - 2023}} + \frac{1}{{{x_2} - 2023}} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{{x_2} - 2023 + {x_1} - 2023}}{{\left( {{x_1} - 2023} \right)\left( {{x_2} - 2023} \right)}} = 1\\ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} - 4046 = {x_1}{x_2} - 2023\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {2023^2}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - 2024\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {2023^2} + 4046 = 0\,\,\,\,(2)\)

Thay (1) vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l} - 2023 - 2024\left( {m + 1} \right) + {2023^2} + 4046 = 0\\ \Leftrightarrow  - 2024\left( {m + 1} \right) =  - 4094552\\ \Leftrightarrow m + 1 = 2023\end{array}\)

\( \Leftrightarrow m = 2022\)  (nhận)

Vậy \(m = 2022\) thì phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x - 2023 = 0\)có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\) thỏa: \(\frac{1}{{{x_1} - 2023}} + \frac{1}{{{x_2} - 2023}} = 1.\)

\({a^2} + {b^2} - 14a + 12b + 85 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} - 14a + 49 + {b^2} + 12b + 36 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 7} \right)^2} + {\left( {b + 6} \right)^2} = 0\end{array}\)

Vì \({\left( {a - 7} \right)^2} \ge 0\) với \(\forall a \in \mathbb{R}\); \({\left( {b + 6} \right)^2} \ge 0\) với \(\forall b \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 7 = 0\\b + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b =  - 6\end{array} \right.\)

Do đó \(B = 3a + 2b = 3.7 + 2.\left( { - 6} \right) = 9\)

Vậy \(B = 9\)

Gọi \(x\) là số bài tập mỗi ngày bạn A phải làm theo kế hoạch ban đầu

Điều kiện: \(x \in \mathbb{N},\,0 < x < 80\)

Trên thực tế mỗi ngày bạn A phải làm là \(x + 2\) bài tập

Theo kế hoạch số ngày để bạn A hoàn thành 80 bài tập là \(\frac{{80}}{x}\) (ngày)

Do bạn A hoàn thành sớm hơn 2 ngày so với kế hoạch ban đầu nên ta có phương trình:

\(\frac{{80}}{x} - \frac{{80}}{{x + 2}} = 2\)

Giải phương trình ta được \(x = 8\) (thỏa điều kiện)

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày bạn A phải làm xong 8 bài tập.

a)     Tứ giác \(AEHD\) có:

\(\begin{array}{l}\widehat {AEH} = 90^\circ \,\,\,\,\left( {HE \bot AB} \right)\\\widehat {ADH} = 90^\circ \,\,\,\,\left( {HD \bot AC} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat {AEH} + \widehat {ADH} = 180^\circ \)

Vậy tứ giác \(AEHD\) nội tiếp

b)     Ta có \(\widehat {ACK} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\begin{array}{l}\widehat {EAH} + \widehat {ABH} = 90^\circ \\\widehat {CAK} + \widehat {AKC} = 90^\circ \end{array}\)

mà \[\widehat {ABH} = \widehat {AKC}\] (cùng chắn cung \(AC\))

\( \Rightarrow \widehat {EAH} = \widehat {CAK}\)

Xét \(\Delta EAH\)  và \(\Delta CAK\) có:

\(\widehat {EAH} = \widehat {ACK} = 90^\circ \)

\(\widehat {EAH} = \widehat {CAK}\) (cmt)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AK}}\\ \Rightarrow AE.AK = AH.AC\end{array}\)